Случайная величина и законы распределения

Случайная величина

Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая.

Дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное количество значений.

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина, в противоположность дискретной, принимает бесконечное количество

Мальчики среди шести новорожденных

Случайная величина – число
мальчиков среди шести новорожденных
Принимает значения

Распределение дискретной случайной величины

Для характеристики случайной величины нужно знать совокупность возможных

Вероятностное распределение - график

Распределение числа мальчиков среди шести новорожденных

ГИСТОГРАММА - также
указывает

Вероятностное распределение - формула

Вероятностное распределение случайной величины может быть задано аналитически

Необходимое условие и его проверка

Для любой дискретной случайной величины сумма вероятностей

Лотерея - пример

Лотерея - пример

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее

Свойства математического ожидания

M(C) = C

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно

Математическое ожидание выигрыша

Математическое ожидание выигрыша

Интерпретация

Такую лотерею можно считать несправедливой, поскольку в ней
предусмотрен выигрыш организатора.

Если математическое

Дисперсия

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины

Свойства дисперсии

D(C) = 0

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю

D(CX) = C2*D(X)

Свойство

Стандартное отклонение

Вычисление дисперсии чистого выигрыша

Вычисление стандартного отклонения

Вычисление дисперсии

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение

Геометрическое распределение

Распределение
Пуассона

Биномиальное распределение

где q=1-p.

Случайная величина Х называется распределенной
по биномиальному закону с параметрами

Случайную величину Х, распределенную по биномиальному закону, можно трактовать следующим образом:
Рассмотрим

Составить ряд распределения величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n=4,

Производится серия из n=4 опытов. Случайная величина Х - число опытов,

Вероятность того, что событие А произойдет
в одном опыте (m=1):

Аналогично

Можно убедиться, что суммарная вероятность действительно равна 1.

Таким образом, ряд

Найдем математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

Х - число

Тогда математическое ожидание случайной величины Х:
M[X]=M[Z1]+M[Z2]+…+M[Zn]
Найдем математическое ожидание Zi
Ряд распределения Zi

Найдем дисперсию случайной величины Zi

Так как случайные величины Zi независимы, то

Таким

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение

Геометрическое распределение

Распределение
Пуассона

Геометрическое распределение

где q=1-p.

Случайная величина Х называется распределенной
по закону геометрической прогрессии

Рассмотрим событие А, которое происходит в опыте с вероятностью р.
Проводится

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия такой случайной величины будут

В автосалоне покупатели выбирают
машины. Как правило, первые несколько
автомобилей отвергаются,

Аналогично найдем, что машина будет куплена со второго и третьего раза:

р=1/5,

Тогда ряд распределения этой случайной величины будет иметь вид:

Тогда в общем,

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение

Геометрическое распределение

Распределение
Пуассона

Распределение Пуассона

Случайная величина Х называется распределенной
по закону Пуассона с параметром a>0,

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
Распишем

Вынесем a за знак суммы и переобозначим n-1=m:

Полученная сумма представляет собой

Найдем дисперсию этой случайной величины.
Будем использовать формулу

Первое слагаемое найдем

Вынесем a за знак суммы и сократим одно k:

Переобозначим k-1=m:

Разобьем на

Сумму в первом слагаемом мы уже считали при нахождении математического ожидания.

При работе ЭВМ время от времени возникают
сбои. Среднее число сбоев

Чтобы воспользоваться распределением Пуассона нужно определить параметр a.

Так как он

Так как находится вероятность того, что за 2 суток не

Вероятность этого события снова находим по формуле Пуассона при a=1.5 и

Найдем вероятность того, что за неделю произойдет не менее 3 сбоев.

Биномиальное распределение и распределение Пуассона связаны: распределение Пуассона является предельным для

По цели производится 50 независимых
выстрелов. Вероятность попадания в цель
при

Найдем параметр a распределения Пуассона:

Событие А - попадание при одном выстреле.

Тогда вероятность р1,50 того, что из 50-ти выстрелов будет одно попадание

Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она может быть

F(x)=p(X

функция распределения

1

Функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. если

Свойства функции распределения

2

На минус бесконечности функция
распределения равна нулю:

3

На плюс бесконечности функция
распределения равна единице:

Проиллюстрируем эти свойства с помощью геометрической интерпретации.
Рассмотрим случайную величину Х

Если неограниченно перемещать точку х влево по оси абсцисс (устремлять х

Аналогично, перемещая х вправо до бесконечности, получаем, что попадание точки Х

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование ведется по всем

Рассмотрим вероятность того, что случайная величина примет значение в пределах от

Тогда А=В+С.
По теореме о сложении вероятностей имеем:

Используя определение функции распределения F(x):

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СВ НА ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ

Производится серия из 4 опытов, в каждом
из которых может появится

Случайная величина Х может принять 5 значений:
0, 1, 2, 3,

Тогда ряд распределения случайной величины будет выглядеть следующим образом:

Построим функцию распределения

Так как случайная величина Х дискретна, то функция распределения будет меняться

4

5

6

По найденным значениям строим функцию распределения.