Основные теоремы теории вероятностей

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!

2) Сколькими способами можно расставить десять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Теорема: Число сочетаний из n по m равно

Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

Способов выбора былых шаров

Способов выбора черных шаров

По правилу умножения искомое число способов равно

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй-
не более 9 человек ?

Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:

Подгруппа из 3 человек

Подгруппа из 4 человек

Подгруппа из 5 человек

4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ?

Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4·3·2·1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 · 24=576 способами.

Это правило легко распространить на любое конечное число действий

Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.
События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка).

Пример: выпадение герба при бросании монеты - событие, противоположное выпадению решки.

Событие называется противоположным
событию А, если оно происходит только
тогда, когда не происходит событие А.

Ā - событие, противоположное событию А.

Пример.

Рассмотрим событие В - в результате трех выстрелов состоялось одно попадание в цель.

Доказательство:

Следствие 1.

Доказательство:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Отсюда можно выразить вероятность произведения событий А и В:
Р(АВ)= Р(А)+Р(В)- Р(А+В)

Пусть событие А заключается в том, что случайно выбранный сотрудник принадлежит к партии любителей пива, а событие В - что сотрудник принадлежит к партии зеленых.

Решение.

Т.к. эти события несовместны, то применяем теорему о сложении вероятностей в виде: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Эти события называются гипотезами.

Так как гипотезы образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с одной из этих гипотез. Поэтому,

Формула полной вероятности

ПРИМЕР.

Пусть событие А заключается в том, что студент не опоздает на занятия. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Решение:

Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны по условию задачи:
Р(А|Н1)=0.99; Р(А|Н2)=0.98; Р(А|Н3)=0.9
Следовательно, по формуле полной вероятности,

Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А

Сколько бы не было вероятностей:

ПРИМЕР 1.

Событие А в этой задаче заключается в том, что студент благополучно достал шпаргалку. Это событие произошло в результате опыта.
Оно могло осуществиться только вместе с одной из гипотез:

Решение:

По условию задачи все гипотезы равновероятны, следовательно
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3.

В данной задаче требуется определить вероятность того, что студент достал шпаргалку из ботинка, если известно, что он незаметно списал.

Решение:

Найдем вероятности гипотез: Р(Н1)=0.1; Р(Н2)=0.3; Р(Н3)=0.6

Вероятность события В - это условная вероятность гипотезы Н2 : Р(Н2/А). Находим ее по формуле Бейеса:

q=1-p ; q- вероятность противоположного события

или

Формула Бернулли

ПРИМЕР.

1) В данной задаче проводится серия из 5 независимых опытов, причем вероятность того, что монета повиснет в воздухе в каждом опыте составляет р= 1/4.

Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р0,5
Вероятность Р0,5 опять найдем по формуле Бернулли: