Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Содержание

2. 1. Определения Определение 1.1. Оператор φ n–мерного векторного пространства V называется диагонализируемым, если в V существует
3. 2. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора Пусть φ – оператор n-мерного пространства V
4. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (продолжение) Получили: v – собственный вектор оператора φ
5. Определения 2.1. Матрица A–λI называется характеристической матрицей оператора φ (матрицы A) . Определитель характеристической матрицы, т.е.
6. Теорема 2.2: (Свойства подобных матриц) Пусть матрицы S и T подобны, тогда Доказательство.
7. Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда и только тогда, когда оно является
8. Пример
9. Пример вычисления СЗ для матрицы
10. 3.Свойства собственных векторов 1. Лемма 3.1. Каждый собственный вектор v оператора φ относится к единственному собственному
11. Лемма 3.2. Если v1 и v2 – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому
12. Следствия 3.3. а) каждому собственному значению λ соответствует беско- нечное множество собственных векторов; б) если к
13. Лемма 3.4. Собственные векторы x1,x2,…,xk оператора φ, относящиеся к попарно различным собственным значениям λ1,λ2,…, λk ,
14. Точно также применим оператор φ, умножим на λ2 φ(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk) =с2λ2 (λ2-λ1)x2…+сk
15. Следствия 3.5: а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве V, не может иметь более n
16. Теорема 3.6. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, то есть является инвариантом линейного
17. Теорема 3.8 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) . Матрица A оператора φ в
18. Теорема 3.9. (Условие диагонализуемости оператора) n×n матрица A подобна диагональной т.и т.т.к. она имеет n линейно
19. Таким образом, и столбцы матрицы Р являются собственными векторами матрицы А (матричный линейный оператор). В силу
20. Таким образом, Получили А так как Р - невырожденная матрица, то - диагональная матрица. QED
21. Критерий диагонализируемости оператора: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда в пространстве V существует базис,
22. Пример
23. Пример (продолжение)
25. 4.Линейный оператор с простым спектром Определение 4.1 Набор всех собственных значений оператора называется спектром оператора. Определение
26. Пример: матрица является матрицей оператора с простым спектром
28. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Определения
Определение 1.1. Оператор φ n–мерного векторного пространства V называется диагонализируемым,

если в V существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональная.
Определение 1.2. Пусть φ – оператор пространства V. Если для некоторого ненулевого вектора v∈V и числа λ имеем
φ(v)= λ·v,
то число λ называется собственным значением оператора φ , а вектор v называется собственным вектором оператора φ , относящимся к собственному значению λ.

Слайд 3

2. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора
Пусть φ –

оператор n-мерного пространства V , v – собственный вектор оператора φ , относящийся к собственному значению λ , т.е. φ(v)= λ·v.
Пусть { b1,b2,…,bn }– базис V ,
A – матрица линейного оператора φ в базисе { b1,b2,…,bn } и v = c1b1 + c2b2 + … + cnbn
⇔
φ(v)= φ(c1b1 + c2b2 + … + cnbn v)= c1φ(b1)+ c2φ(b2 )+ … + cnφ(bn) =

Слайд 4

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (продолжение)
Получили:
v – собственный вектор

оператора φ , относящийся к соб- ственному значению λ ⇔ его координаты c1,c2,…,cn являются решением (нетривиальным) системы линейных однородных уравнений (A–λI)X=O.

Слайд 5

Определения 2.1.
Матрица A–λI называется характеристической матрицей оператора φ

(матрицы A) .
Определитель характеристической матрицы, т.е. det(A–λI) – многочлен степени n относительно переменной λ .
Многочлен det(A–λI) называют характеристическим много- членом оператора φ (матрицы A).
Корни многочлена det(A–λI) называют характеристи- ческими корнями оператора φ (матрицы A).

Слайд 6

Теорема 2.2: (Свойства подобных матриц)
Пусть матрицы S и T подобны, тогда
Доказательство.

Слайд 7

Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда

и только тогда, когда оно является его характеристическим корнем.

Слайд 8

Пример

Слайд 9

Пример вычисления СЗ для матрицы

Слайд 10

3.Свойства собственных векторов
1. Лемма 3.1. Каждый собственный вектор v оператора φ

относится к единственному собственному значению.
Доказательство (от противного).
Пусть вектор v относится к двум различным собственным значениям - и :
Но вектор v – ненулевой, поэтому
QED

Слайд 11

Лемма 3.2. Если v1 и v2 – собственные векторы оператора φ,

относящиеся к одному и тому же собственному значению λ , то их линейная комбинация a·v1+b·v2 – собственный вектор оператора φ , относящийся к тому же собственному значению.
Доказательство.
φ (a·v1+b·v2 ) =
a φ (v1)+b φ(v2 ) =
a λv1+b λ v2 =
λ (a·v1+b·v2 )
QED

Слайд 12

Следствия 3.3.
а) каждому собственному значению λ соответствует беско- нечное множество собственных векторов;
б) если к

множеству всех собственных векторов x оператора φ, относящихся к собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получится подпространство простран- ства V. Оно называется собственным подпространством оператора и обозначается Vλ.

Слайд 13

Лемма 3.4. Собственные векторы x1,x2,…,xk оператора φ, относящиеся к попарно различным

собственным значениям λ1,λ2,…, λk , линейно независимы.
Доказательство (от противного).
Предположим x1,x2,…,xk ЛЗ: с1x1+с2x2+…+ сk xk =0 и хотя бы один из коэффициентов – ненулевой, например,
сk - ненулевое число.
Проведем две операции: применим оператор φ и умножим на λ1
φ (с1x1+с2x2+…+ сk xk) = с1λ1x1+с2λ2x2 …+ сk λk xk =0 и
λ1(с1x1+с2x2+…+ сk xk) = с1λ1x1+с2λ1x2 …+ сk λ1 xk =0.
с1λ1x1+с2λ2x2 …+ сk λk xk =0
с1λ1x1+с2λ1x2 …+ сk λ1 xk = 0
Вычтем из первого второе соотношение:
с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk =0.

Слайд 14

Точно также применим оператор φ, умножим на λ2
φ(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk

( λk -λ1)xk) =с2λ2 (λ2-λ1)x2…+сk λk ( λk -λ1)xk =0 и
λ2(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk) = с2λ2 (λ2-λ1)x2…+с2 λk ( λk -λ1)xk =0
и вычтем:
с3 (λ3-λ1) (λ3-λ2) x3…+ сk ( λk -λ1) ( λk –λ2) xk =0.
Продолжая так, в конце концов получим
сk ( λk -λ1) ( λk –λ2) … ( λk –λk-1) xk =0.
Собственные значения различны, собственный вектор – ненулевой.
Отсюда следует сk =0, что противоречит предположению. QED

Слайд 15

Следствия 3.5:
а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве V, не

может иметь более n собственных значений;
б) в пространстве может существовать базис, хотя бы часть которого – собственные векторы оператора.

Слайд 16

Теорема 3.6. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса,

то есть является инвариантом линейного оператора ( таким образом, подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен).

Следствие 3.7. Множество собственных значений линейного оператора не зависит от выбора базиса, то есть является инвариантом линейного оператора ( таким образом, подобные матрицы имеют один и тот же набор собственных значений).

Доказательство.
Пусть Р и Q – матрицы одного и того же линейного оператора в различных базах. Тогда

Слайд 17

Теорема 3.8 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) .
Матрица

A оператора φ в базисе {b1,b2,…,bn} имеет диагональный вид ⇔ все базисные векторы bi являются собственными векторами этого оператора.
Доказательство.
QED

Слайд 18

Теорема 3.9. (Условие диагонализуемости оператора)
n×n матрица A подобна диагональной т.и т.т.к.

она имеет n линейно независимых собственных векторов.

А подобна диагональной матрице D. Тогда существует невырожденная матрица Р такая что . Пусть - столбцы матрицы Р, а - диагональные элементы матрицы D .

Доказательство.

С другой стороны,

Слайд 19

Таким образом, и столбцы матрицы Р являются собственными векторами матрицы А

(матричный линейный оператор). В силу невырожденности P, все эти векторы линейно независимы.

А имеет n линейно независимых собственных столбцов,
обозначим их , относящихся к собственным значениям
Обозначим , тогда Р – невырожденная матрица и

Слайд 20

Таким образом,
Получили
А так как Р - невырожденная матрица, то - диагональная

матрица.
QED

Слайд 21

Критерий диагонализируемости оператора: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда

в пространстве V существует базис, каждый из векторов которого является собственным вектором оператора .

Слайд 22

Пример

Слайд 23

Пример (продолжение)

Слайд 24

Слайд 25

4.Линейный оператор с простым спектром
Определение 4.1 Набор всех собственных значений оператора

называется спектром оператора.
Определение 4.2. Линейный оператор n-мерного векторного пространства, имеющий n попарно различных собственных значений, называется оператором с простым спектром.

Следствие 4.3.
(1) Матрица оператора с простым спектром подобна диагональной матрице, у которой на диагонали стоят собственные значения оператора.

Слайд 26

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Содержание

1. ОпределенияОпределение 1.1. Оператор φ n–мерного векторного пространства V называется диагонализируемым,

2. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора Пусть φ –

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (продолжение)Получили:v – собственный вектор

Определения 2.1. Матрица A–λI называется характеристической матрицей оператора φ

Теорема 2.2: (Свойства подобных матриц)Пусть матрицы S и T подобны, тогдаДоказательство.

Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда

Пример

Пример вычисления СЗ для матрицы

3.Свойства собственных векторов 1. Лемма 3.1. Каждый собственный вектор v оператора φ

Лемма 3.2. Если v1 и v2 – собственные векторы оператора φ,

Следствия 3.3.а) каждому собственному значению λ соответствует беско- нечное множество собственных векторов;б) если к

Лемма 3.4. Собственные векторы x1,x2,…,xk оператора φ, относящиеся к попарно различным

Точно также применим оператор φ, умножим на λ2 φ(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk

Следствия 3.5:а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве V, не

Теорема 3.6. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса,

Теорема 3.8 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) . Матрица

Теорема 3.9. (Условие диагонализуемости оператора)n×n матрица A подобна диагональной т.и т.т.к.

Таким образом, и столбцы матрицы Р являются собственными векторами матрицы А

Таким образом,ПолучилиА так как Р - невырожденная матрица, то - диагональная

Критерий диагонализируемости оператора: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда

Пример

Пример (продолжение)

4.Линейный оператор с простым спектромОпределение 4.1 Набор всех собственных значений оператора

Пример: матрица является матрицей оператора с простым спектром

Похожие презентации

1. Определения
Определение 1.1. Оператор φ n–мерного векторного пространства V называется диагонализируемым,

2. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора
Пусть φ –

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (продолжение)
Получили:
v – собственный вектор

Определения 2.1.
Матрица A–λI называется характеристической матрицей оператора φ

Теорема 2.2: (Свойства подобных матриц)
Пусть матрицы S и T подобны, тогда
Доказательство.

3.Свойства собственных векторов
1. Лемма 3.1. Каждый собственный вектор v оператора φ

Следствия 3.3.
а) каждому собственному значению λ соответствует беско- нечное множество собственных векторов;
б) если к

Точно также применим оператор φ, умножим на λ2
φ(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk

Следствия 3.5:
а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве V, не

Теорема 3.8 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) .
Матрица

Теорема 3.9. (Условие диагонализуемости оператора)
n×n матрица A подобна диагональной т.и т.т.к.

Таким образом,
Получили
А так как Р - невырожденная матрица, то - диагональная

4.Линейный оператор с простым спектром
Определение 4.1 Набор всех собственных значений оператора