Линейные преобразования, линейный оператор

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Линейные преобразования, линейный оператор

Содержание

2. Линейное преобразование Определение 1.2 Пусть U и V - векторные пространства. Пусть u и v -
4. Замечания: (1) Говорят, что линейный оператор сохраняет операции. (2) Линейное преобразование векторного пространства в себя называется
5. Пример 1.3 Доказать, что следующее преобразование :R2 → R2 линейно. (x, y) = (x − y,
6. Пример 1.4 Показать, что следующее преобразование T: R3 → R2 не является линейным. (x, y, z)
7. Пример 1.5 Пусть Pn – векторное пространство действительных многочленов степени ≤ n. Показать, что следующее преобразование
8. Пример 1.6 Обозначим через D оператор дифференцирования для действительных многочленов (D есть то же самое, что
9. Нулевое преобразование: Единичный оператор:
10. Теорема 1.7: (Свойства линейного преобразования) (1) Пусть v – произвольный вектор из V. (0)= (0v) =
11. 2.Матричное преобразование Теорема 2.1. Пусть A есть m×n матрица. Пусть v есть элемент пространства Fn, интерпретируемый
12. Пример 2.2 Рассмотрим матрицу и столбец из R3. Эта матрица задает линейное преобразование (x)=Ax из R3
13. Пример 2.3. Поворот на плоскости Рассмотрим - матричный линейный оператор, заданный матрицей (в полярных координатах) r：
14. r：длина (v) θ +α： угол, отсчитываемый от положительного направления оси 0x до вектора (v) против часовой
15. 3. Матрица линейного оператора Пусть задано линейное преобразование : U→V и произвольный базис {b1 , b2
16. Матрица линейного оператора Пусть задан линейный оператор : V→V и произвольный базис В={b1 , b2 ,
17. Матрица линейного оператора Определение 3.1. Матрица Называется матрицей линейного оператора в базе В.
18. 4. Подобные матрицы Пусть даны два базиса В = и G = векторного пространства V и
19. 4. Подобные матрицы (продолжение) Получим . Определение 4.1. Две квадратные матрицы S и T одного размера
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Линейное преобразование
Определение 1.2 Пусть U и V - векторные пространства.
Пусть

u и v - векторы из U пусть c - скаляр.
Говорят, что преобразование : U → V является линейным, если
(u + v) = (u) + (v) и
(cu) = c (u).

Определение 1.1
Пусть U и V - векторные пространства.
Преобразование : U → V есть отображение, которое каждому вектору u из U ставит в соответствие уникальный вектор v из V.

Слайд 3

Слайд 4

Замечания:
(1) Говорят, что линейный оператор сохраняет операции.
(2) Линейное преобразование векторного пространства

в себя называется линейным оператором.

Слайд 5

Пример 1.3
Доказать, что следующее преобразование :R2 → R2 линейно.
(x, y) =

(x − y, 3x)

“×”: Пусть c - скаляр.
(c(x1, y1)) = (cx1, c y1) = (cx1 − cx2, 3cx1)
= c (x1 − y1, 3x1) = c (x1, y1)
– линейное преобразование.

Слайд 6

Пример 1.4
Показать, что следующее преобразование T: R3 → R2 не является

линейным.
(x, y, z) = (xy, z)

не является линейным преобразованием.

И (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1y1, z1) + (x2y2, z2)

Поэтому ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) ≠ (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2).

Слайд 7

Пример 1.5
Пусть Pn – векторное пространство действительных многочленов степени ≤ n.

Показать, что следующее преобразование : P2 → P1 является линейным.
(ax2 + bx + c) = (a + b)x + c

Решение

“×”: Пусть k – произвольный скаляр.

Слайд 8

Пример 1.6
Обозначим через D оператор дифференцирования для действительных многочленов (D есть

то же самое, что и .)
D можно интерпретировать как отображение Pn в себя.
Например,

Пусть а c - скаляр. Следующие свойства производной показывают, что D есть линейный оператор.
D(f + g) = Df + Dg
D(cf) = cD(f)

Слайд 9

Нулевое преобразование:
Единичный оператор:

Слайд 10

Теорема 1.7: (Свойства линейного преобразования)
(1) Пусть v – произвольный вектор из

V.
(0)= (0v) = 0 (v) = 0
(2) (-v) = ((-1)v) = (-1) (v)= - (v)
(3) (u-v)= (u + (-1)v) = (u) + (-1) (v) = (u) - (v)

Доказательство.

Слайд 11

2.Матричное преобразование
Теорема 2.1. Пусть A есть m×n матрица. Пусть v

есть элемент пространства Fn, интерпретируемый как столбец. Преобразование : Fn→Fm, определенное как (v)=Av, является линейным. Такое линейное преобразование называется матричным преобразованием.

(линейность)

A : m×n матрица, v : n×1 матрица, Av : m×1 матрица ⇒ (x)=Ax определяет преобразование из Fn в Fm.

Пусть u, v ∈ Fn, и c ∈ F.

(u+v)=A(u+v) = Au+Av = (u) + (v )

(cv)=A(cv) = cAv = c (v)

⇒ – линейное преобразование.

Слайд 12

Пример 2.2
Рассмотрим матрицу и столбец из R3.
Эта матрица задает линейное

преобразование (x)=Ax из R3 в R2, использующее матричное умножение.

Например,

Слайд 13

Пример 2.3. Поворот на плоскости
Рассмотрим - матричный линейный оператор, заданный матрицей
(в

полярных координатах)

r： длина v
α：угол, отсчитываемый от положительного направления оси 0x до вектора v против часовой стрелки

Слайд 14

r：длина (v)
θ +α： угол, отсчитываемый от положительного направления оси 0x

до вектора (v) против часовой стрелки.

Следовательно, (v) есть вектор, полученный поворотом вектора v против часовой стрелки на угол θ.

Слайд 15

3. Матрица линейного оператора
Пусть задано линейное преобразование : U→V и произвольный

базис {b1 , b2 , …, bn } пространства U, тогда образ (v) произвольного вектора v из U можно вычислить из образов (b1), (b2), …, (bn)
базисных векторов. Это можно сделать, выражая v как линейную комбинацию базисных векторов
v = c1 b1+ c2 b2+ …+ cn bn
и затем используя Теорему 1.7:
(v) = c1 (b1) + c2 (b2) + … + cn (bn)
Другими словами, линейное преобразование полностью определяется образами векторов из любого из базисов исходного векторного пространства.

Слайд 16

Матрица линейного оператора
Пусть задан линейный оператор : V→V и произвольный базис

В={b1 , b2 , …, bn } пространства V, тогда образ (v) произвольного вектора v = c1 b1+ c2 b2+ …+ cn bn из V равняется (v) = c1 (b1) + c2 (b2) + … + cn (bn)
С другой стороны, векторы (b1), (b2), …, (bn)являются векторами пространства V, поэтому
(b1) = t11 b1 + t21 b2 + … + tn1 bn
(b2) = t12 b1 + t22 b2 + … + tn2 bn
…………………………………………………………………………..
(bn) = t1n b1 + t2n b2 + … + tnn bn

Слайд 17

Матрица линейного оператора
Определение 3.1. Матрица
Называется матрицей линейного оператора в базе В.

Слайд 18

4. Подобные матрицы
Пусть даны два базиса В = и G =

векторного пространства V и Р – матрица перехода от базиса В к базису G:
Пусть Т – матрица линейного оператора в базисе В:
,
а S– матрица линейного оператора в базисе В:

Найдем связь между матрицами одного и того же оператора в различных базах.

Слайд 19

4. Подобные матрицы (продолжение)
Получим .
Определение 4.1. Две квадратные матрицы S и

T одного размера называются подобными, если найдется невырожденная матрица Р, такая что
Теорема 4.2. Матрицы линейного оператора в различных базах подобны.

Линейные преобразования, линейный оператор

Содержание

Линейное преобразованиеОпределение 1.2 Пусть U и V - векторные пространства. Пусть

Замечания:(1) Говорят, что линейный оператор сохраняет операции.(2) Линейное преобразование векторного пространства

Пример 1.3Доказать, что следующее преобразование :R2 → R2 линейно.(x, y) =

Пример 1.4Показать, что следующее преобразование T: R3 → R2 не является

Пример 1.5Пусть Pn – векторное пространство действительных многочленов степени ≤ n.

Пример 1.6Обозначим через D оператор дифференцирования для действительных многочленов (D есть

Нулевое преобразование:Единичный оператор:

Теорема 1.7: (Свойства линейного преобразования)(1) Пусть v – произвольный вектор из

2.Матричное преобразование Теорема 2.1. Пусть A есть m×n матрица. Пусть v

Пример 2.2Рассмотрим матрицу и столбец из R3. Эта матрица задает линейное

Пример 2.3. Поворот на плоскостиРассмотрим - матричный линейный оператор, заданный матрицей(в

r：длина (v)θ +α： угол, отсчитываемый от положительного направления оси 0x

3. Матрица линейного оператораПусть задано линейное преобразование : U→V и произвольный

Матрица линейного оператораПусть задан линейный оператор : V→V и произвольный базис

Матрица линейного оператораОпределение 3.1. МатрицаНазывается матрицей линейного оператора в базе В.

4. Подобные матрицыПусть даны два базиса В = и G =

4. Подобные матрицы (продолжение)Получим .Определение 4.1. Две квадратные матрицы S и

Похожие презентации