Статистические системы

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Статистические системы

Содержание

2. (характеристики системы могут изменяться непредсказуемым и неконтролируемым образом)
3. Флуктуации значений наблюдаемых
4. Чему равно значение энергии частицы, способной взаимодействовать с окружающей средой? Е = ??? Такой вопрос является
5. СИСТЕМЫ МИКРО-наблюдаемые МАКРО-наблюдаемые
6. МАКРО-наблюдаемые Усреднение по времени:
7. Основная идея статистической механики заключается в переходе от МГНОВЕННЫХ значений результатов измерения к СРЕДНИМ ПО ВРЕМЕНИ:
8. РАВНОВЕСНЫЕ макросостояния (долгоживущие) РЕЛАКСАЦИОННЫЕ макросостояния (короткоживущие) Статистические системы и время
9. Модель статистического ансамбля Основная задача СМ установление значений макронаблюдаемых Длинные серии измерений с последующим усреднением по
11. Вычисление среднего значения «Эргодические» системы
12. Определение спектра Определение вероятностей априорные модели Постулат: игральная кость симметрична и, следовательно, все вероятности одинаковы Aa
13. Априорные модели функций распределения МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ ансамбль (МКА) (энергия) E = const; (число частиц) N = const
14. Микроканонический ансамбль Функция распределения МКА Р1 = Р2 = … = Рn = 1/Ω где Ω
15. Пример № 2: «электрон в ящике» Измерение проекции вектора спина SZ
16. Многочастичные системы Пример № 3: «10 электронов в ящике» SZ = (SZ)1 + (SZ)2 + …
17. Глобальные и локальные наблюдаемые Глобальная проекция SZ /  { –5 –4 –3 –2 –1 0
18. Вычисление глобальных вероятностей SZ = +4 Число способов реализации глобального состояния Ω(SZ = +4) = 10
19. Глобальные вероятности: Pi глоб. = Ωi / 1024 Число ЛОКАЛЬНЫХ состояний (различимых «изнутри») Ω = ∑
20. Si — термодинамическая энтропия, k = 1,38⋅10–23 Дж/моль⋅К — постоянная Больцмана Ωi → ln Ωi =
21. Влияние числа частиц в системе
22. Влияние числа частиц в системе
23. При N → ∞ статистическое поведение исчезает (становится незаметным), несмотря на то, что система находится в
24. Направление эволюции изолированной неравновесной системы определяется возрастанием числа Ω или энтропии Релаксация неравновесных систем
25. Второе начало термодинамики а) Все самопроизвольные процессы в изолированных системах сопровождаются возрастанием энтропии; процессы с уменьшением
26. Канонический ансамбль
28. Функция распределения КА
29. Два способа изменения энергии Изменение энергии системы за счет работы не имеет статистического характера (не приводит
30. Модель Л. Больцмана Е = { 0, 1ε, 2ε, 3ε, 4ε, 5ε, 6ε, 7ε } Допустимые
31. Ω = ∑Ω(Е) = 1716 Р(Е) = Ω(Е) / 1716
32. Q = е–Е1/θ + е–Е2/θ + е–Е3/θ + … = ∑е–Еi/θ E — энергия θ —
33. Числовые значения больцмановских факторов е–Еi/θ и статистической суммы Q зависят от калибровки шкалы энергии. Вероятности Pi
34. Температура
35. Модель «частица в ящике»
36. Модель «частица в ящике»
37. Статистическая сумма Еi = R ⋅ (n2 – 1) Соглашение: при вычислении статистических сумм следует пользоваться
38. 1 ≤ Q Статистическая сумма является важной характеристикой системы, показывающей меру ее «статистичности» и степень влияния
39. Модель «частица в ящике» Q = 2,54 Q = 1,05
40. Пример: «электрон в намагниченном ящике»
42. Термическая релаксация Любая система, приведенная в термический контакт с термостатом, вынуждена "подстраиваться" под его температуру
43. Большой канонический ансамбль (БКА) Функция распределения БКА Р = f (E, N)
45. КА № 0 КА № 1 КА № 2 КА № 3 Пример: «Намагниченный ящик в
46. P = f (E, N1, N2, … , Nn) = = (1/Z) ⋅ exp[–(E – μ1⋅N1
47. Химический потенциал ХЕМОСТАТ — резервуар ХИМИЧЕСКОЙ энергии (потенциальной энергии частиц хемостата) ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ — средняя химическая
48. Химическая энергия Частицы одного сорта (одинаковой химической природы), вынужденные находиться в одном и том же объеме
49. Состояние не изменилось ( ΔΕхим = 0 ) Состояние изменилось ( ΔΕхим Процесс обратим Процесс необратим
50. Активность λ = eμ/θ или μ = θ ln λ P = (1/Z) ⋅ e–Е/θ ⋅
51. Вероятности обнаружения системы в свободном (1) и занятом (2) состояниях: P1 = 1/Z и P2 =
52. Диффузионное равновесие Диффузионное равновесие: μсистемы = μхемостата Термическое равновесие: θсистемы = θтермостата
53. Квантовые статистики
54. При большой термической энергии частиц различие в их поведении становится незаметным и мы можем пользоваться классической
55. Статистика Больцмана – Гиббса (для любых частиц) Статистика: Бозе – Эйнштейна (для частиц-бозонов) Ферми-Дирака (для частиц-фермионов)
57. Скачать презентацию

Слайд 2

(характеристики системы могут изменяться непредсказуемым и неконтролируемым образом)

Слайд 3

Флуктуации значений наблюдаемых

Слайд 4

Чему равно значение энергии частицы, способной взаимодействовать с окружающей средой?
Е =

???

Такой вопрос является некорректным в рамках обычной механики, поскольку на него невозможно дать определенный ответ типа: Е = Еi .

Необходимо изменение методологии механики:

МИКРО-наблюдаемые

МАКРО-наблюдаемые

Слайд 5

СИСТЕМЫ
МИКРО-наблюдаемые
МАКРО-наблюдаемые

Слайд 6

МАКРО-наблюдаемые
Усреднение по времени:

Слайд 7

Основная идея статистической механики заключается в переходе от МГНОВЕННЫХ значений результатов

измерения к СРЕДНИМ ПО ВРЕМЕНИ:
Аi → At Bi → Bt Ci → Ct

Ai = f ( Bi, Ci , …) ⎯→ At = f (Bt, Ct , …)

Вся логическая схема механицизма (состояния и уравнения состояния) сохраняется:

Слайд 8

РАВНОВЕСНЫЕ макросостояния (долгоживущие)
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ макросостояния (короткоживущие)
Статистические системы и время

Слайд 9

Модель статистического ансамбля
Основная задача СМ
установление значений макронаблюдаемых
Длинные серии измерений с

последующим усреднением по большому временному интервалу

Использование модели статистического ансамбля (вычисление «средних по ансамблю»)

Слайд 10

Слайд 11

Вычисление среднего значения
«Эргодические» системы

Слайд 12

Определение спектра
Определение вероятностей
априорные модели
Постулат: игральная кость симметрична и, следовательно, все вероятности

одинаковы

Aa = (1/6) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5

Слайд 13

Априорные модели функций распределения
МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ ансамбль (МКА)
(энергия) E = const; (число частиц)

N = const

КАНОНИЧЕСКИЙ ансамбль (КА)
E ≠ const; N = const

БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ ансамбль (БКА)
E ≠ const; N ≠ const

Слайд 14

Микроканонический ансамбль
Функция распределения МКА
Р1 = Р2 = … = Рn

= 1/Ω
где Ω — число допустимых состояний

Пример № 1: «игральная кость»

Слайд 15

Пример № 2: «электрон в ящике»
Измерение проекции вектора спина SZ

Слайд 16

Многочастичные системы
Пример № 3: «10 электронов в ящике»
SZ = (SZ)1 +

(SZ)2 + … + (SZ)10

Слайд 17

Глобальные и локальные наблюдаемые
Глобальная проекция SZ / 
{ –5 –4

–3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 }
{ P1 P2 …………………………………….. P11 }

Локальная проекция
(SZ )i /  = { –1/2 +1/2 }
P = { 1/2 1/2 }

Слайд 18

Вычисление глобальных вероятностей
SZ = +4
Число способов реализации глобального состояния
Ω(SZ = +4)

= 10

Слайд 19

Глобальные вероятности: Pi глоб. = Ωi / 1024
Число ЛОКАЛЬНЫХ состояний

(различимых «изнутри»)
Ω = ∑ Ωi = 1024

Все локальные состояния РАВНОВЕРОЯТНЫ
Pi лок. = 1/1024

Слайд 20

Si — термодинамическая энтропия,
k = 1,38⋅10–23 Дж/моль⋅К — постоянная Больцмана
Ωi

→ ln Ωi = σi

σi — статистическая энтропия i-го глобального состояния

Si = k ⋅ ln Ω i = k ⋅ σi

Числа доступных состояний ( Ωi ) для реальных систем чрезвычайно велики.
Поэтому для удобства вычислений пользуются их логарифмами (натуральными):

Слайд 21

Влияние числа частиц в системе

Слайд 22

Влияние числа частиц в системе

Слайд 23

При N → ∞ статистическое поведение исчезает (становится незаметным), несмотря на

то, что система находится в контакте с окружающей средой.
Макронаблюдаемые фактически перестают быть усредненными величинами — в любой конечной последовательности измерений мы будет получать всегда один и тот же результат:
Sz = {А, А, А, …. }

Слайд 24

Направление эволюции изолированной неравновесной системы определяется возрастанием числа Ω или энтропии
Релаксация

неравновесных систем

Слайд 25

Второе начало термодинамики
а) Все самопроизвольные процессы в изолированных системах сопровождаются возрастанием

энтропии; процессы с уменьшением энтропии могут протекать только вынужденно, за счет внешней работы.
б) Все самопроизвольные процессы в изолированных системах заканчиваются при достижении равновесия — состояния с максимальной энтропией.
(в малых статистических системах этот закон имеет только характер тенденции, его нарушения будут встречаться тем чаще, чем меньше количество частиц имеющихся в системе)

Слайд 26

Канонический ансамбль

Слайд 27

Слайд 28

Функция распределения КА

Слайд 29

Два способа изменения энергии
Изменение энергии системы за счет работы не имеет

статистического характера (не приводит к флуктуациям значений наблюдаемых) и не учитывается в СМ

Слайд 30

Модель Л. Больцмана
Е = { 0, 1ε, 2ε, 3ε, 4ε, 5ε,

6ε, 7ε }

Допустимые состояния термостатированной системы

Каждое состояние может быть реализовано несколькими способами, которые различаются способами распределения оставшейся в термостате энергии между его частицами.

Слайд 31

Ω = ∑Ω(Е) = 1716
Р(Е) = Ω(Е) / 1716

Слайд 32

Q = е–Е1/θ + е–Е2/θ + е–Е3/θ + … = ∑е–Еi/θ

E — энергия
θ — статистическая температура
Q — статистическая сумма

θ = kT

Слайд 33

Числовые значения больцмановских факторов е–Еi/θ и статистической суммы Q зависят от

калибровки шкалы энергии.
Вероятности Pi = е–Еi/θ/Q не зависят от калибровки шкалы энергии.

E = ∑ [ Ei ⋅ е–Еi/θ ] / Q

E = ∑ [ gi ⋅ Ei ⋅ е–Еi/θ ] / Q

Вычисление средних по ансамблю

(суммирование по состояниям)

(суммирование по энергетическим уровням, gi — статистический вес i-го уровня)

Слайд 34

Температура

Слайд 35

Модель «частица в ящике»

Слайд 36

Модель «частица в ящике»

Слайд 37

Статистическая сумма
Еi = R ⋅ (n2 – 1)
Соглашение: при вычислении статистических

сумм следует пользоваться специальной шкалой энергии — статистической

Слайд 38

1 ≤ Q < ∞
Статистическая сумма является важной характеристикой системы, показывающей

меру ее «статистичности» и степень влияния термостата на ее поведение.

свободная энергия F = – θ ln Q
внутренняя энергия U = θ2 (d ln Q / dθ)
энтропия σ = d (θ ln Q) / dθ

Q = Q1 ⋅ Q2 ⋅ … ⋅ Qn

Слайд 39

Модель «частица в ящике»
Q = 2,54
Q = 1,05

Слайд 40

Пример: «электрон в намагниченном ящике»

Слайд 41

Слайд 42

Термическая релаксация
Любая система, приведенная в термический контакт с термостатом, вынуждена "подстраиваться"

под его температуру

Слайд 43

Большой канонический ансамбль (БКА)
Функция распределения БКА
Р = f (E, N)

Слайд 44

Слайд 45

КА № 0
КА № 1
КА № 2
КА № 3
Пример: «Намагниченный ящик

в контакте с электронным газом»

Слайд 46

P = f (E, N1, N2, … , Nn) =
=

(1/Z) ⋅ exp[–(E – μ1⋅N1 – μ2⋅N2 – … – μn⋅Nn)/θ]

Функция распределения БКА

Z — большая статистическая сумма (интеграл)

Слайд 47

Химический потенциал
ХЕМОСТАТ — резервуар ХИМИЧЕСКОЙ энергии (потенциальной энергии частиц хемостата)
ХИМИЧЕСКИЙ

ПОТЕНЦИАЛ

— средняя химическая энергия одной частицы хемостата

Слайд 48

Химическая энергия
Частицы одного сорта (одинаковой химической природы), вынужденные находиться в одном

и том же объеме пространства, мешают друг другу
(частицы разного сорта друг друга «не замечают»)

О2 Не

О2 Не Не

О2 Не Не Не

Слайд 49

Состояние не изменилось ( ΔΕхим = 0 )
Состояние изменилось ( ΔΕхим

< 0 )

Процесс обратим

Процесс необратим

Слайд 50

Активность
λ = eμ/θ или μ = θ ln λ
P =

(1/Z) ⋅ e–Е/θ ⋅ λ1N1 ⋅ λ2N2 ⋅ … ⋅ λnNn

(q — теплота адсорбции)

η — доля занятой поверхности
η = f (T, p)

P1 = 1 – η

P2 = η

Слайд 51

Вероятности обнаружения системы в свободном (1) и занятом (2) состояниях:
P1 =

1/Z и P2 = λ ⋅ exp(– q/θ)/Z

Большая статистическая сумма

Z = exp [– (E1 – μN1)/θ] + exp [– (E2 – μN2)/θ] =
= exp [– (0 – μ0)/θ] + exp [– (q – μ)/θ] =
= 1 + λ ⋅ exp (– q/θ)

где р = λ — давление газа,
b = exp(–q/θ) — адсорбционный коэффициент

Изотерма Лэнгмюра

Слайд 52

Диффузионное равновесие
Диффузионное равновесие: μсистемы = μхемостата
Термическое равновесие: θсистемы = θтермостата

Слайд 53

Квантовые статистики

Слайд 54

При большой термической энергии частиц различие в их поведении становится незаметным

и мы можем пользоваться классической статистикой Больцмана – Гиббса

Слайд 55

Статистика Больцмана – Гиббса (для любых частиц)
Статистика:
Бозе – Эйнштейна (для частиц-бозонов)
Ферми-Дирака

(для частиц-фермионов)

Статистические системы

Содержание

(характеристики системы могут изменяться непредсказуемым и неконтролируемым образом)

Флуктуации значений наблюдаемых

Чему равно значение энергии частицы, способной взаимодействовать с окружающей средой?Е =

СИСТЕМЫМИКРО-наблюдаемыеМАКРО-наблюдаемые

МАКРО-наблюдаемыеУсреднение по времени:

Основная идея статистической механики заключается в переходе от МГНОВЕННЫХ значений результатов

РАВНОВЕСНЫЕ макросостояния (долгоживущие)РЕЛАКСАЦИОННЫЕ макросостояния (короткоживущие)Статистические системы и время

Модель статистического ансамбляОсновная задача СМ установление значений макронаблюдаемыхДлинные серии измерений с

Вычисление среднего значения«Эргодические» системы

Определение спектраОпределение вероятностейаприорные моделиПостулат: игральная кость симметрична и, следовательно, все вероятности

Априорные модели функций распределенияМИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ ансамбль (МКА)(энергия) E = const; (число частиц)

Микроканонический ансамбль Функция распределения МКАР1 = Р2 = … = Рn

Пример № 2: «электрон в ящике»Измерение проекции вектора спина SZ

Многочастичные системыПример № 3: «10 электронов в ящике»SZ = (SZ)1 +

Глобальные и локальные наблюдаемыеГлобальная проекция SZ /  { –5 –4

Вычисление глобальных вероятностейSZ = +4Число способов реализации глобального состоянияΩ(SZ = +4)

Глобальные вероятности: Pi глоб. = Ωi / 1024 Число ЛОКАЛЬНЫХ состояний

Si — термодинамическая энтропия, k = 1,38⋅10–23 Дж/моль⋅К — постоянная БольцманаΩi

Влияние числа частиц в системе

Влияние числа частиц в системе

При N → ∞ статистическое поведение исчезает (становится незаметным), несмотря на

Направление эволюции изолированной неравновесной системы определяется возрастанием числа Ω или энтропииРелаксация

Второе начало термодинамикиа) Все самопроизвольные процессы в изолированных системах сопровождаются возрастанием

Канонический ансамбль

Функция распределения КА

Два способа изменения энергииИзменение энергии системы за счет работы не имеет

Модель Л. БольцманаЕ = { 0, 1ε, 2ε, 3ε, 4ε, 5ε,

Ω = ∑Ω(Е) = 1716Р(Е) = Ω(Е) / 1716

Q = е–Е1/θ + е–Е2/θ + е–Е3/θ + … = ∑е–Еi/θ

Числовые значения больцмановских факторов е–Еi/θ и статистической суммы Q зависят от

Температура

Модель «частица в ящике»

Модель «частица в ящике»

Статистическая суммаЕi = R ⋅ (n2 – 1)Соглашение: при вычислении статистических

1 ≤ Q < ∞Статистическая сумма является важной характеристикой системы, показывающей

Модель «частица в ящике»Q = 2,54Q = 1,05

Пример: «электрон в намагниченном ящике»

Термическая релаксацияЛюбая система, приведенная в термический контакт с термостатом, вынуждена "подстраиваться"

Большой канонический ансамбль (БКА)Функция распределения БКАР = f (E, N)

КА № 0КА № 1КА № 2КА № 3Пример: «Намагниченный ящик

P = f (E, N1, N2, … , Nn) = =

Химический потенциалХЕМОСТАТ — резервуар ХИМИЧЕСКОЙ энергии (потенциальной энергии частиц хемостата) ХИМИЧЕСКИЙ

Химическая энергияЧастицы одного сорта (одинаковой химической природы), вынужденные находиться в одном

Состояние не изменилось ( ΔΕхим = 0 )Состояние изменилось ( ΔΕхим

Активность λ = eμ/θ или μ = θ ln λP =

Вероятности обнаружения системы в свободном (1) и занятом (2) состояниях:P1 =

Диффузионное равновесиеДиффузионное равновесие: μсистемы = μхемостата Термическое равновесие: θсистемы = θтермостата

Квантовые статистики

При большой термической энергии частиц различие в их поведении становится незаметным

Статистика Больцмана – Гиббса (для любых частиц)Статистика:Бозе – Эйнштейна (для частиц-бозонов)Ферми-Дирака

Похожие презентации

Чему равно значение энергии частицы, способной взаимодействовать с окружающей средой?
Е =

СИСТЕМЫ
МИКРО-наблюдаемые
МАКРО-наблюдаемые

МАКРО-наблюдаемые
Усреднение по времени:

РАВНОВЕСНЫЕ макросостояния (долгоживущие)
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ макросостояния (короткоживущие)
Статистические системы и время

Модель статистического ансамбля
Основная задача СМ
установление значений макронаблюдаемых
Длинные серии измерений с

Вычисление среднего значения
«Эргодические» системы

Определение спектра
Определение вероятностей
априорные модели
Постулат: игральная кость симметрична и, следовательно, все вероятности

Априорные модели функций распределения
МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ ансамбль (МКА)
(энергия) E = const; (число частиц)

Микроканонический ансамбль
Функция распределения МКА
Р1 = Р2 = … = Рn

Пример № 2: «электрон в ящике»
Измерение проекции вектора спина SZ

Многочастичные системы
Пример № 3: «10 электронов в ящике»
SZ = (SZ)1 +

Глобальные и локальные наблюдаемые
Глобальная проекция SZ / 
{ –5 –4

Вычисление глобальных вероятностей
SZ = +4
Число способов реализации глобального состояния
Ω(SZ = +4)

Глобальные вероятности: Pi глоб. = Ωi / 1024
Число ЛОКАЛЬНЫХ состояний

Si — термодинамическая энтропия,
k = 1,38⋅10–23 Дж/моль⋅К — постоянная Больцмана
Ωi

Направление эволюции изолированной неравновесной системы определяется возрастанием числа Ω или энтропии
Релаксация

Второе начало термодинамики
а) Все самопроизвольные процессы в изолированных системах сопровождаются возрастанием

Два способа изменения энергии
Изменение энергии системы за счет работы не имеет

Модель Л. Больцмана
Е = { 0, 1ε, 2ε, 3ε, 4ε, 5ε,

Ω = ∑Ω(Е) = 1716
Р(Е) = Ω(Е) / 1716

Статистическая сумма
Еi = R ⋅ (n2 – 1)
Соглашение: при вычислении статистических

1 ≤ Q < ∞
Статистическая сумма является важной характеристикой системы, показывающей

Модель «частица в ящике»
Q = 2,54
Q = 1,05

Термическая релаксация
Любая система, приведенная в термический контакт с термостатом, вынуждена "подстраиваться"

Большой канонический ансамбль (БКА)
Функция распределения БКА
Р = f (E, N)

КА № 0
КА № 1
КА № 2
КА № 3
Пример: «Намагниченный ящик

P = f (E, N1, N2, … , Nn) =
=

Химический потенциал
ХЕМОСТАТ — резервуар ХИМИЧЕСКОЙ энергии (потенциальной энергии частиц хемостата)
ХИМИЧЕСКИЙ

Химическая энергия
Частицы одного сорта (одинаковой химической природы), вынужденные находиться в одном

Состояние не изменилось ( ΔΕхим = 0 )
Состояние изменилось ( ΔΕхим

Активность
λ = eμ/θ или μ = θ ln λ
P =

Вероятности обнаружения системы в свободном (1) и занятом (2) состояниях:
P1 =

Диффузионное равновесие
Диффузионное равновесие: μсистемы = μхемостата
Термическое равновесие: θсистемы = θтермостата

Статистика Больцмана – Гиббса (для любых частиц)
Статистика:
Бозе – Эйнштейна (для частиц-бозонов)
Ферми-Дирака