Сходящаяся система сил (практика)

Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащей стороны к гипотенузе треугольника.

Котангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение, прилежащего катета к противолежащему катету треугольника.

4. Что называется котангенсом, угла прямоугольного треугольника?

Квадрат стороны, противолежащей углу, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

6. Сформулируйте теорему косинусов?

Отсюда следует, что сторона противолежащая углу равна:

Теорема косинусов в таком виде используется для определения величины равнодействующей двух сил, которая является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, (см. рис.)

8. Какие треугольники называются подобными?

Треугольники (а также многоугольники с одинаковым числом сторон) подобны, если у них соответственные углы равны и сходственные стороны пропорциональны.

9. Чему равны sin (90 ±α) ?

2. Полученный вектор спроецировать на ось и присвоить соответствующий знак.

2. Сумма двух сил, приложенных в точке равна замыкающему вектору в силовом треугольнике, построенном на векторах этих сил?

2. Определить модуль главного вектора:

Какая система сил называется сходящейся?

Какое условие должно выполняться при равновесии тела под действием сходящейся системы сил?

Это условие можно выразить одним векторным равенством:

Каким равенством можно выразить это условие?

Как можно получить уравнения равновесия сходящейся системы сил?

Если тело находится в равновесии под действием плоской сходящейся системы сил, то из уравнений (2) останутся два уравнения:

Какие уравнения равновесия имеет плоская сходящаяся система сил?

3. Решение задач

Если тело находится в равновесии под действием плоской сходящейся системы сил, то задачи можно решать тремя способами: графическим, графоаналитическим, аналитическим. Способ решения можно выбрать только после того, как построе-на расчётная схема задачи. В некоторых задачах для построения расчётной схемы применяют теорему о равновесии тела под действием трёх непараллельных сил (теорему о трёх силах). Рассмотрим каждый из названных способов, а также применение теоремы трёх силах.

Как формулируются условия равновесия тела под действием сходящейся системы сил в аналитической форме?

Пример 1. Лампа подвешена в точке С к середине троса АСВ, прикреплённого концами в точках А и В. Известны углы α, β и вес лампы G.
Определить: натяжения ТА и ТВ в частях троса АС и СВ, рис. 3.

Задание № 1. Решить задачи 1 ÷ 4 графическим способом.

Ответ: 866 Н; 500 Н.

3. Мачтовый кран состоит из стрелы АВ, прикреплённой шарниром А к мачте, и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен груз Р = 2 кН; углы ВАС = 15°, АСВ = 135°. Определить натяжение Т цепи СВ и усилие Q в стреле АВ, рис. 8.

Ответ: Т1 = Т2 =7,5 кН.

Ответ: Т = 1,04 кН, Q =2,83 кН кН.

3.2. Графоаналитический способ

При решении задач этим способом также строится силовой треугольник, но построение выполняется не в масштабе. Соблюдается только параллельность сторон треугольника и линий действия сил на расчётной схеме. Затем из силового треугольника с использованием геометрических теорем (теоремы синусов, косинусов, условий подобия) определяются неизвест-ные силы.

Ответ: ND = 52 Н, NЕ = 30 Н.

Отсюда:

Как формулируется теорема о трёх силах?

Пример 2. Однородный брус АВ весом P закреплён в точке А шарниром и опирается на выступ D, рис. 10. Определить направление силы реакции опоры А.

Решение. Брус находится в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести, силы реакции опоры D и силы реакции опоры А.

Опора D – угол (ребро). Сила реакции этой связи направлена перпендикулярно брусу.

Опора А – шарнирная неподвижная. Сила реакции этой связи лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (в плоскости рисунка), направление неизвестно.

5. Однородный стержень АВ прикреплён к вертикальной стенке посредством шарнира А и удерживается под углом 60° к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30°.
Определить величину и направление реакции RA шарнира, если известно, что вес стержня равен 20 Н, рис. 13

6. Оконная рама АВ, изображённая на рис. 14 в разрезе, может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и своим нижним краем В свободно опирается на уступ паза.
Найти реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 89 Н, приложен к середине С рамы и АD = ВD.

Ответ: R = 10 Н (R, AC) = 60o

Ответ: RA = 70,4 Н RB = 31,5 Н

8. Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А. Концом В она положена на катки. В середине балки, под углом 45° к её оси, действует сила Р = 2 кН, рис. 16.
Определить реакции опор, взяв размеры с рисунка и прене-брегая весом балки, рис. 16.

Ответ: RA = 7,9 кН RD = 10,6 кН

Ответ: RA = 1,58 кН RB = 0,71 кН

Составим расчётную схему, рис. 18.

Неизвестные величины найдём из полученных уравнений:

tan α = Q/P; α = arctan Q/P;

9. На рисунке схематически изображены стержни, соединённые между собой и стеной посредством шарниров. К шарнирному болту F подвешен груз Q = 1000 Н. α = 30o
Определить усилия в стержнях, рис. 19.

10. Электрическая лампа весом 20 Н подвеше-на к потолку на шнуре АВ и затем оттянута к стене верёвкой ВС.
Определить натяжения: ТА шнура АВ и ТС верёвки ВС, если известно, что угол α = 60°, а угол β = 135°. Весом шнура и верёвки пренебречь, рис. 20.

Ответ: S1 = 577 Н S2 = -1154 Н

Ответ: TA =14,6 Н TC = 10,35 Н

Ответ: T = 122 Н P = 137 Н

Ответ: Q1 = 0 Н Q2 = -34,6 Н

В уравнения входят проекции сил на оси в пространстве. Чтобы вычислить проекции этих сил довольно часто приходится прибегать к процедуре так называемого двойного проецирования.

Чтобы найти проекцию вектора на ось этим способом, вначале необходимо спроецировать вектор на плоскость, в которой лежит ось, а затем полученную проекцию спроецировать на эту ось.
Пример определения проекций силы на оси методом двойного проецирования показан на рис. 23.

1. Запишем краткое условие задачи и выполним рисунок.
Дано: а, в, d, Q. Определить: SCD, SCB, SCA.

4. Число уравнений соответствует числу неизвестных. Находим из уравнений неизвестные величины:

Рекомендуется реакции стержней всегда строить от узла, предполагая, что все стержни растянуты. Знак подскажет вам, каково истинное состояние стержня.

13. Груз G = 100 Н поддерживается брусом АО, шарнирно закреплённым в точке А и наклонённым под углом 45° к горизонту, и двумя горизонтальными цепями ВО и СО одинаковой длины; ∠СВО = ∠ВСО =45°. Найти усилие S в брусе и натяжения Т цепей, рис. 26.

14. Найти усилия S1 и S2 в стержнях АВ и АС и усилие Т в тросе АD, если дано, что ∠СВА = ∠ВСА = 60°, ∠ЕАD = 30°. Вес груза Р равен 300 Н. Плоскость АВС горизонтальна. Крепления стержней в точках А, В и С шарнирные, рис. 27.

Ответ: S =-141 Н T = 71 Н

Ответ: T =600 Н S1 = S2 -300 Н

16. Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано на рисунке. Крепления стержней в точках А, В и D шарнирные. Определить реакции опор А, В и D, рис. 29.

Ответ: TC = 320 Н, TD = 2400 Н, TB = -580 Н.

Ответ: RA = RB = 2,64 кН, RC = 3,35 кН.