Теоретические основы метода сеток

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Теоретические основы метода сеток

Содержание

2. 09/02/2023 Суть метода сеток Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в виде достаточно
3. 09/02/2023 Результат решения по методу сеток x b 0 α u β x b 0 α
4. 09/02/2023 Построение сетки Сетка представляет собой набор узлов (точек), «равномерно» распределенных по области Ω. Множество таких
5. 09/02/2023 Получение конечноразностной схемы Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки дифференциальное
6. 09/02/2023 Простейший случай x b 0 α u β xi ui ui+1 ui-1 xi+1 xi-1
7. 09/02/2023 Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемы область Ω =[0,b] разобьем на элементарные непересекающиеся подобласти, в центре
8. 09/02/2023 Интегроинтерполяционный способ (продолжение) Преобразуем Окончательно получим переобозначим
9. 09/02/2023 Решение системы конечно-разностных уравнений Стандартная система с трехдиагональной матрицей:
10. 09/02/2023 идея метода прогонки Прямым ходом метода Гаусса приводим систему к виду Ввиду того что матрица
11. 09/02/2023 Метод прогонки 1) прямой ход для 2) обратный ход для i от N до 1
12. 09/02/2023 Реализация метода прогонки c(1)=…; b(1)=…; d(1)=…; for i=2:N a(i)= b(i)= c(i)= d(i)= … end ks(1)=-c(1)/b(1);
13. 09/02/2023 Погрешность аппроксимации При замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая погрешность аппроксимации конечно-разностной
14. 09/02/2023 Нахождение и оценка погрешности аппроксимации После подстановки получаем: Используем начальные члены разложения в ряд Тейлора:
15. 09/02/2023 Оценка погрешности аппроксимации =0 В результате имеем:
16. 09/02/2023 Оценка погрешности решения Понятие устойчивости Погрешность решения : Для сходимости к точному решению кроме необходима
18. Скачать презентацию

Слайд 2

09/02/2023
Суть метода сеток
Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают

в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения.
Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.
Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле
В общем случае
Г - граница многомерной области Ω, внутри которой необходимо получить решение. В рассматриваемом частном случае Ω представляет собой отрезок

Слайд 3

09/02/2023
Результат решения по методу сеток
x
b
0
α
u
β
x
b
0
α
u
β
xi
ui
Искомое решение
Решение в виде таблицы

Слайд 4

09/02/2023
Построение сетки
Сетка представляет собой набор узлов (точек), «равномерно» распределенных по области

Ω.
Множество таких узлов будем обозначать
Одномерный случай
Шаг сетки
Одномерная сетка
Двухмерная
при узлы сетки покрывают все точки Ω, а при конечном h таблица должна обладать хорошими аппроксимационными свойствами

Слайд 5

09/02/2023
Получение конечноразностной схемы
Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах

выбранной сетки
дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах.
Такая система алгебраических уравнений называется конечно-разностной схемой
Обозначим
Имеется много способов получения конечно-разностной схемы

Слайд 6

09/02/2023
Простейший случай
x
b
0
α
u
β
xi
ui
ui+1
ui-1
xi+1
xi-1

Слайд 7

09/02/2023
Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемы
область Ω =[0,b] разобьем на элементарные непересекающиеся

подобласти, в центре каждой из которых имеется узел сетки:
Проинтегрируем:
Обозначим

Xi-1/2

Xi+1/2

Xi-1

Xi+1

Слайд 8

09/02/2023
Интегроинтерполяционный способ (продолжение)
Преобразуем
Окончательно получим
переобозначим

Слайд 9

09/02/2023
Решение системы конечно-разностных уравнений
Стандартная система с трехдиагональной матрицей:

Слайд 10

09/02/2023
идея метода прогонки
Прямым ходом метода Гаусса приводим систему к виду
Ввиду того

что матрица ленточная, формулы преобразования просты и эффективны при вычислениях

Слайд 11

09/02/2023
Метод прогонки
1) прямой ход
для
2) обратный ход
для i от N до 1

вычисляем
Условие устойчивости

Слайд 12

09/02/2023
Реализация метода прогонки
c(1)=…; b(1)=…; d(1)=…;
for i=2:N
a(i)=
b(i)=
c(i)=
d(i)= …
end
ks(1)=-c(1)/b(1); et(1)=d(1)/b(1);
for i=2:N1
z=b(i)+a(i)ks(i-1);
ks(i)=-c(i)/z; et(i)=(d(i)-a(i)et(i-1))/z;
end;
u(N1)=be1;
For

i=N:-1:1
u(i)=ks(i)*u(i+1)+et(i);
End;
Plot(x,u1);

Слайд 13

09/02/2023
Погрешность аппроксимации
При замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая

погрешность аппроксимации конечно-разностной схемой дифференциального уравнения
подставим в конечно-разностную схему вместо значения точного решения .
Ввиду того, что , после такой подстановки получается невязка
Погрешность аппроксимации
Основное требование: при
Ассимптотическая оценка
Порядок погрешности аппроксимации = p

Слайд 14

09/02/2023
Нахождение и оценка погрешности аппроксимации
После подстановки получаем:
Используем начальные члены разложения в

ряд Тейлора:

Рассмотрим нашу простейшую конечноразностную схему

Слайд 15

09/02/2023
Оценка погрешности аппроксимации
=0
В результате имеем:

Слайд 16

09/02/2023
Оценка погрешности решения Понятие устойчивости
Погрешность решения :
Для сходимости к точному решению

кроме необходима
устойчивость к ошибкам округления
Основная теорема

Теоретические основы метода сеток

Содержание

09/02/2023Суть метода сетокСуть метода сеток в том, что решение ДУ получают

09/02/2023Результат решения по методу сетокxb0αuβxb0αuβxiuiИскомое решениеРешение в виде таблицы

09/02/2023Построение сеткиСетка представляет собой набор узлов (точек), «равномерно» распределенных по области

09/02/2023Получение конечноразностной схемыРешение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах

09/02/2023Простейший случайxb0αuβxiuiui+1ui-1xi+1xi-1

09/02/2023Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемыобласть Ω =[0,b] разобьем на элементарные непересекающиеся

09/02/2023Интегроинтерполяционный способ (продолжение)ПреобразуемОкончательно получимпереобозначим

09/02/2023Решение системы конечно-разностных уравненийСтандартная система с трехдиагональной матрицей:

09/02/2023идея метода прогонкиПрямым ходом метода Гаусса приводим систему к видуВвиду того

09/02/2023Метод прогонки1) прямой ходдля2) обратный ходдля i от N до 1

09/02/2023Реализация метода прогонкиc(1)=…; b(1)=…; d(1)=…;for i=2:Na(i)=b(i)=c(i)=d(i)= …endks(1)=-c(1)/b(1); et(1)=d(1)/b(1);for i=2:N1z=b(i)+a(i)*ks(i-1); ks(i)=-c(i)/z; et(i)=(d(i)-a(i)*et(i-1))/z;end;u(N1)=be1;For

09/02/2023Погрешность аппроксимацииПри замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая

09/02/2023Нахождение и оценка погрешности аппроксимацииПосле подстановки получаем:Используем начальные члены разложения в

09/02/2023Оценка погрешности аппроксимации=0В результате имеем:

09/02/2023Оценка погрешности решения Понятие устойчивостиПогрешность решения :Для сходимости к точному решению

Похожие презентации