Постановка задач для дифференциальных уравнений

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Постановка задач для дифференциальных уравнений

Содержание

2. 09/02/2023 Определение дифференциальных уравнений Порядок ДУ =максимальный порядок входящих в это уравнение производных Порядок системы ДУ
3. 09/02/2023 Обыкновенные ДУ Система ОДУ первого порядка или коротко Система ОДУ второго порядка
4. 09/02/2023 Постановка задач для обыкновенных ДУ Известно, что система ОДУ имеет бесконечное семейство решений набор произвольных
5. 09/02/2023 Задача Коши Все условия заданы в начале отрезка интегрирования [a,b] (при x=a). Эта задача чаще
6. 09/02/2023 Пример точного решения x u C=-4 C=2 C=4
7. 09/02/2023 Краевая задача Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b]. Эта задача обычно ставится для ДУ
8. 09/02/2023 Пример точного решения ДУ Рассмотрим ДУ вида Граничные условия Проинтегрируем Левая часть Обозначим
9. 09/02/2023 Пример точного решения ДУ (продолжение1) Обозначим Получаем уже диф.ур. первого порядка или Проинтегрируем Обозначим с2=u(0)
10. 09/02/2023 Пример точного решения ДУ (продолжение2) Нахождение констант с1,с2, из граничных условий Из используя Получим Из
11. 09/02/2023 Пример точного решения ДУ (продолжение3) Имеем сразу Из Получаем Окончательно
12. 09/02/2023 Постановка задач для ДУ в частных производных (ДУЧП) Большинство окружающих нас физических полей описывается ДУЧП
13. 09/02/2023 Параболические Канонический вид Уравнение теплопроводности распространение возмущения
14. 09/02/2023 Гиперболические Канонический вид Волновое уравнение Д’Аламбера Распространение одномерного возмущения Точное решение
15. 09/02/2023 Эллиптические (стационарные процессы) Канонический вид Уравнение Пуассона (Лапласса) При постановке задач для ДУ в частных
16. 09/02/2023 Граничные условия Общее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, например Решением является Начальные условия Граничные
17. 09/02/2023 Пример решения
18. 09/02/2023 Как получают дифференциальные уравнения ДУ являются следствием фундаментальных законов природы и применения интегральных теорем Например,
19. 09/02/2023 Пример получения стационарного двумерного уравнения теплопроводности используя закон Фурье Выберем элементарный объем ΔV= Δx Δy
20. 09/02/2023 Составим уравнение баланса для элементарного объема Разделим на ΔxΔy: Перейдем к пределу Δ→0
21. 09/02/2023 Можно получить тоже уравнение используя интегральные теоремы Количество тепла проходящее в единицу времени через поверхность
22. 09/02/2023 Подобие физических явлений. Безразмерные переменные Теория Подобия возникла из потребностей моделирования Оказывается, одного геометрического подобия
23. 09/02/2023 Безразмерные переменные Рассмотрим В подобной системе: Подставляем: Выбираем коэффициенты подобия Получаем
25. Скачать презентацию

Слайд 2

09/02/2023
Определение дифференциальных уравнений
Порядок ДУ =максимальный порядок входящих в это уравнение производных
Порядок

системы ДУ = сумме порядков входящих ДУ
Эквивалентность системы и одного ДУ
Два класса: обыкновенные ДУ (ОДУ), которые описывают процессы, зависящие от одной независимой переменной , и ДУ в частных производных (ДУЧП)

Слайд 3

09/02/2023
Обыкновенные ДУ
Система ОДУ первого порядка
или коротко
Система ОДУ второго порядка

Слайд 4

09/02/2023
Постановка задач для обыкновенных ДУ
Известно, что система ОДУ имеет бесконечное семейство

решений
набор произвольных параметров
их количество равно порядку системы m.
Это семейство решений описывает многообразие реализаций физического процесса, математической моделью которого являются системы ОДУ.
Для выделения одной искомой реализации среди этого многообразия необходимо наложить дополнительные условия конкретизирующие искомое решение
Количество этих условий равно порядку m системы ОДУ.
В зависимости от способа постановки дополнительных условий можно выделить два основных типа задач для ОДУ
Задача Коши и Краевая задача

Слайд 5

09/02/2023
Задача Коши
Все условия заданы в начале отрезка интегрирования [a,b] (при x=a).

Эта задача чаще всего ставится для системы
в виде
Или коротко

Слайд 6

09/02/2023
Пример точного решения
x
u
C=-4
C=2
C=4

Слайд 7

09/02/2023
Краевая задача
Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b].
Эта задача обычно

ставится для ДУ второго порядка
В общем случае

Слайд 8

09/02/2023
Пример точного решения ДУ
Рассмотрим ДУ вида
Граничные условия
Проинтегрируем
Левая часть
Обозначим

Слайд 9

09/02/2023
Пример точного решения ДУ (продолжение1)
Обозначим
Получаем уже диф.ур. первого порядка
или
Проинтегрируем
Обозначим

с2=u(0)
Получаем решение ДУ

Слайд 10

09/02/2023
Пример точного решения ДУ (продолжение2) Нахождение констант с1,с2, из граничных условий
Из

используя
Получим
Из используя
Получим
Имеем систему двух ур-й относительно с1 и с2

Слайд 11

09/02/2023
Пример точного решения ДУ (продолжение3)
Имеем сразу
Из
Получаем
Окончательно

Слайд 12

09/02/2023
Постановка задач для ДУ в частных производных (ДУЧП)
Большинство окружающих нас физических

полей описывается ДУЧП второго порядка, или системами таких ДУЧП.
Если процессы не слишком интенсивны, то можно ограничиться линейными дифференциальными уравнениями второго порядка
Свойства решений существенно зависят от коэффициентов, стоящих при старших производных. С помощью соответствующей замены независимых переменных уравнение может быть приведено к одному из трех типов
Параболические
Гиперболические
Эллиптические

Слайд 13

09/02/2023
Параболические
Канонический вид
Уравнение
теплопроводности
распространение возмущения

Слайд 14

09/02/2023
Гиперболические
Канонический вид
Волновое
уравнение
Д’Аламбера
Распространение одномерного возмущения
Точное решение

Слайд 15

09/02/2023
Эллиптические (стационарные процессы)
Канонический вид
Уравнение
Пуассона
(Лапласса)
При постановке задач для ДУ в частных

производных обычно требуется найти распределение , удовлетворяющее ДУ в некоторой области пространства Ω с границей Г.

Слайд 16

09/02/2023
Граничные условия
Общее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, например
Решением является
Начальные условия
Граничные

условия
первого рода второго рода третьего рода
Дирихле Неймана Ньютона

Слайд 17

09/02/2023
Пример решения

Слайд 18

09/02/2023
Как получают дифференциальные уравнения
ДУ являются следствием фундаментальных законов природы и применения

интегральных теорем
Например, Французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в 1822 г. установил закон теплопроводности (закон Фурье): количество тепла, проходящее через единицу площади в единицу времени, пропорционально проекции градиента температуры на нормаль к поверхности. Математически этот закон выражается следующим простым соотношением

∇T

Слайд 19

09/02/2023
Пример получения стационарного двумерного уравнения теплопроводности используя закон Фурье
Выберем элементарный объем

ΔV= Δx Δy
в центре которого находится точка x,y .
Допустим, что в таком кубике в единицу времени выделяется количество теплоты, равное

Слайд 20

09/02/2023
Составим уравнение баланса для элементарного объема
Разделим на ΔxΔy:
Перейдем к пределу Δ→0

Слайд 21

09/02/2023
Можно получить тоже уравнение используя интегральные теоремы
Количество тепла проходящее в единицу

времени
через поверхность S
охватывающую объем V

Количество тепла, выделяемое в единицу времени в объеме V

Составляем баланс энергии и используем теорему Гаусса-Остроградского:

Получаем общее уравнение теплопроводности

Слайд 22

09/02/2023
Подобие физических явлений. Безразмерные переменные
Теория Подобия возникла из потребностей моделирования
Оказывается, одного

геометрического подобия недостаточно.
Важно знать, как результаты одного варианта расчета можно использовать для получения данных об исследуемой конструкции в широком диапазоне параметров и обратно, как выбрать модель для расчета, имеющую наименьшее, но достаточное количество параметров.
Подобными называются физические явления, протекающие в подобных системах, если у них во всех сходных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных, т.е. имеющих одинаковый физический смысл величин, есть постоянные числа. Эти постоянные числа называются константами подобия

Слайд 23

Постановка задач для дифференциальных уравнений

Содержание

09/02/2023Определение дифференциальных уравненийПорядок ДУ =максимальный порядок входящих в это уравнение производныхПорядок

09/02/2023Обыкновенные ДУСистема ОДУ первого порядка или короткоСистема ОДУ второго порядка

09/02/2023Постановка задач для обыкновенных ДУИзвестно, что система ОДУ имеет бесконечное семейство

09/02/2023Задача КошиВсе условия заданы в начале отрезка интегрирования [a,b] (при x=a).

09/02/2023Пример точного решенияxuC=-4C=2C=4

09/02/2023Краевая задачаУсловия заданы на обоих концах отрезка [a,b]. Эта задача обычно

09/02/2023Пример точного решения ДУРассмотрим ДУ вида Граничные условияПроинтегрируемЛевая частьОбозначим

09/02/2023Пример точного решения ДУ (продолжение1)ОбозначимПолучаем уже диф.ур. первого порядка или ПроинтегрируемОбозначим

09/02/2023Пример точного решения ДУ (продолжение2) Нахождение констант с1,с2, из граничных условийИз

09/02/2023Пример точного решения ДУ (продолжение3)Имеем сразу ИзПолучаемОкончательно

09/02/2023Постановка задач для ДУ в частных производных (ДУЧП)Большинство окружающих нас физических

09/02/2023ПараболическиеКанонический видУравнение теплопроводностираспространение возмущения

09/02/2023ГиперболическиеКанонический видВолновое уравнениеД’Аламбера Распространение одномерного возмущенияТочное решение

09/02/2023Эллиптические (стационарные процессы)Канонический видУравнение Пуассона(Лапласса)При постановке задач для ДУ в частных

09/02/2023Граничные условияОбщее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, напримерРешением являетсяНачальные условияГраничные

09/02/2023Пример решения

09/02/2023Как получают дифференциальные уравненияДУ являются следствием фундаментальных законов природы и применения

09/02/2023Пример получения стационарного двумерного уравнения теплопроводности используя закон ФурьеВыберем элементарный объем

09/02/2023Составим уравнение баланса для элементарного объемаРазделим на ΔxΔy:Перейдем к пределу Δ→0

09/02/2023Можно получить тоже уравнение используя интегральные теоремыКоличество тепла проходящее в единицу

09/02/2023Подобие физических явлений. Безразмерные переменныеТеория Подобия возникла из потребностей моделированияОказывается, одного

09/02/2023Безразмерные переменныеРассмотримВ подобной системе:Подставляем:Выбираем коэффициенты подобияПолучаем

Похожие презентации