Теория игр

форма
2.2 Нормальная форма
2.3 Характеристическая функция
3 Применение теории игр
3.1 Описание и моделирование
3.2 Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)
4 Типы игр
4.1 Кооперативные и некооперативные
4.2 Симметричные и несимметричные
4.3 С нулевой суммой и с ненулевой суммой
4.4 Параллельные и последовательные
4.5 С полной или неполной информацией
4.6 Игры с бесконечным числом шагов
4.7 Дискретные и непрерывные игры
4.8 Метаигр
5 Литература

Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).
Одним из основателей математической теории игр является Джон Нэш. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки.
Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия.
Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования.
Дж. Неш показывает, что классический подход к конкуренции А.Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.
Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.
Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:
- наличие нескольких участников;
- неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;
- различие (несовпадение) интересов участников;
- взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;
- наличие правил поведения, известных всем участникам.

экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин.
Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке слева — игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами.
Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.

описывается платёжной матрицей.
Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы — второго.
На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере (см. рис. ниже), если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.
Ы
Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока.
Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.

прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций.
Многие исследователи рассматривают теорию игр как инструмент предсказания поведения, и как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока.
Типы игр. Кооперативные и некооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя.
Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Сделаны попытки объединить два подхода.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр (игрок преследует интересы группы, но реализовывает свои интересы ) .

будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные.
Примерами симметричных игр являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор»
В примере ниже игра может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так — выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.

суммой — особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры.
В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе.
На рисунке ниже — числа означают платежи игрокам — и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; либо банальное воровство.
В играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот.. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме — это делается введением фиктивного игрока.

они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход.
В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других.
Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.
Параллельные игры обычно представляют в нормальной форме, а последовательные  — в экстенсивной.

игры с полной информацией.
В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры.
Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр — с неполной информацией.
Игры с бесконечным числом шагов
Игры в реальном мире, как правило, длятся конечное число ходов. В теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.
В этом случае, задача состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии.
В ряде источников доказывается, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами — «выиграл» или «проиграл» — ни один из игроков не имеет такой стратегии.

конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т. п.
Составляющие дискретных игр могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными.
Элементы дискретных игр связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно — шкалой времени), Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.
Метаигры
Это игры, результатом которых является набор правил для другой игры (называемой целевой или игрой-объектом). Цель метаигр — увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов.
Литература
Петросян Л. А. Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4