Устойчивость систем автоматического управления

САУ устойчива если после кратковременного возмущения она возвращается в прежнее или

ПРИМЕРЫ Устойчива

∆х

р

Неустойчива

∆х

р

∆х

Устойчива “в малом”

Линейные САУ описываются линейными дифференциальными уравнениями (ДУ). Для решения ДУ следует

a) Вещественные корни

б) Комплексно-сопряженные корни

Итак, чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни

Критерии устойчивости САУ – это некоторые признаки позволяющие не решая характеристического

ВНИМАНИЕ

Характеристическое уравнение замкнутой САУ – это знаменатель ее передаточной функции

А. Алгебраические критерии устойчивости САУ

Критерий Гурвица (1895г.).
Пусть дано ХУ замкнутой САУ

Составим определитель Гурвица из коэффициентов ХУ:
∆n=

(2)

Как видно из (2):

На главной диагонали определителя Гурвица располагаются сверху вниз

Составим главные диагональные миноры

∆1= an-1
∆2 =
∆3=

1. Критерий Гурвица:

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы при

Примеры

1. n=1 a1p+a0=0
Условия устойчивости
a1>0 ∆1=a0>0
2. n=2 a2p2+a1p+a0=0
Условия устойчивости
a2>0 ∆1=a1>0
∆2= =

3. n=3 a3p3+a2p2+a1p=0
Условия устойчивости
a3>0 ∆1=a2>0
∆2 = =a2a1-a3a0>0
∆3= =a0*∆2>0

Недостаток критерия Гурвица

С увеличением “n” раскрывать определители становится трудно.

Пример для КСР

Пусть дана структура замкнутой САУ

Необходимо с помощью критерия Гурвица определить устойчивость САУ. План исследований:

1. Найти передаточную

2. Критерий Рауса

Пусть дано ХУ замкнутой САУ “n”–го порядка:
anpn +

Составим таблицу Рауса из коэффициентов ХУ:

Критерий Рауса

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого

Пример I для КСР

Пусть ХУ замкнутой САУ:
P6 + 6p5 + 21p4

План исследования

Составим таблицу Рауса и заполним ее первые две строки.
Вычислим последовательно

Итак, составим таблицу Рауса

Задание по КСР:

Завершить заполнение таблицы Рауса и оценить устойчивость САУ.

Б. Частотные критерии устойчивости САУ

Критерий Михайлова (1938)
Дано ХУ замкнутой линейной САУ:
А(s)

Представим полином (1) в виде:

A(s) = an (s – s1) (s

Каждая из скобок (3) представляет собой вектор, начало которого лежит в

Итак, если ХУ A(s) = 0 содержит L корней в правой

Для устойчивости линейной САУ необходимо, чтобы L = 0, т.е.:
∆arg

Критерий Михайлова является графической интерпретацией выражения (4).
При этом рассматриваются лишь

Критерий Михайлова

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова

Системы устойчивы

Системы устойчивы

Системы не устойчивы

ПРИМЕР

Определить предельный коэффициент Кпр при котором САУ теряет устойчивость, если ее

Найдем передаточную функцию замкнутой САУ:
ХY САУ – это знаменатель ее передаточной

3. Годограф Михайлова (при s = jω):
А(jω) =D(jω) + К

Кпр определим из уравнений

Кпр определим из уравнений

НЕДОСТАТОК критерия Михайлова

Годограф Михайлова не имеет физической сущности (его нельзя получить

2. Критерий Найквиста (1932)

Основан на использовании wp(s), которую можно получить экспериментально.
Пусть:

Образуем функцию:
- XY замкнутой САУ
- XY разомкнутой САУ

РАССМОТРИМ

1-й случай – разомкнутая САУ устойчива.
Тогда, согласно критерию Михайлова:
∆arg N(jω) =

Чтобы система и в замкнутом состоянии была устойчива необходимо чтобы:
∆arg
0 <

Изобразим F(jω) на комплексной плоскости

Сдвинем теперь F(jω) влево на “1” и получим, таким образом, wp(jω)

Критерий устойчивости Найквиста:

Если разомкнутая САУ устойчива, то для ее устойчивости в

ПРИМЕР

Найти, используя критерий Найквиста, предельный коэффициент Кпр при котором САУ потеряет

По критерию Найквиста САУ находится на границе устойчивости если:
Полагая Im(ω )

Подставив в Re(ω ) найдем:
Т.е. результат такой же, как и при

Запасы устойчивости САУ – это количественные оценки степени устойчивости систем. Удобнее

САУ может потерять устойчивость по двум причинам:
а) увеличения К без изменения

б) увеличения φ(ω) без изменения К – все вектора характеристики wp(jω)

Проводя окружность радиусом “1” можно найти ту точку ω , которая

Итак, существуют две количественные оценки степени устойчивости САУ

Запас “по амплитуде” -

Анализ устойчивости САУ по логарифмическим характеристикам

АФЧХ можно построить в логарифмическом масштабе

Тогда анализ устойчивости заметно упрощается. Особенно просто строятся т.н. асимптотические L(ω)

РАССМОТРИМ вначале два элемента таких кусочно-ломанных L(ω)

Пусть:
Тогда:

Пусть:
Тогда:

Приближенно:
при ω <
при ω >
Итак L(ω) состоит

Частота ω = = ωс называется сопрягающей.
На сопрягающей частота ωс =
φ(ω)

Итак, чтобы построить L(ω) и φ(ω) для этого элемента – w(jω)

4. По формуле φ(ω)= -arctgωT
задаваясь разными частотами 0<ω<∞ построить фазовую

Пусть теперь:
Тогда:
Приближенно: при ω <
при ω >

Т.О. и здесь L(ω) состоит из двух участков:
1 – вдоль оси

Построение асимптотических L(ω) и φ(ω) для сложных САУ.

Пусть например:
Заменив S→jω

Представим последнюю характеристику в виде произведения характеристик элементарных звеньев:

Определим сопрягающие частоты:

ω1/с

Построим участок 1:
W(iω) = 100/jω
A(ω)= 100/ω
L(ω)= 20 lg 100 –

Фазовая характеристика φ(ω) САУ

складывается из фазовых характеристик отдельных звеньев Wp(S):
φ(ω)

Для ее построения удобно построить таблицу

Фазовая характеристика строится по точкам

Об устойчивости САУ судят по расположению точек пересечения L(ω) оси частот