Варианты задач оптимизации

Сентябрь 7, 2022

Главная
Алгебра
Варианты задач оптимизации

Содержание

2. В широком смысле общая задача оптимизации параметров систем автоматизации заключается в поиске экстремума критерия (целевой функции)
3. Основные методы решения задач оптимизации Математическое программирование Линейное программирование Нелинейное программирование Дискретное программирование Для решения большинства
4. Двоичные переменные Задачи с дискретными переменными Задача стохастического программирования Детерминированный эквивалент стохастической задачи Оптимизация при недетерминированных
5. Данный метод решает задачи, в которых искомые переменные могут принимать не любые целые значения, а только
6. Если в оптимальное решение должен входить один из двух вариантов, то сумма переменных: Если в оптимальное
7. Этот метод используется для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией. Например, мощности нагрузок в системе
8. Пре решении оптимизационных задач все искомые переменные или их часть должны принимать только значения целых чисел.
9. Целочисленная переменная x имеет 4 значения (x=0,1,2,3), а непрерывная переменная – бесконечное количество. Поэтому, попытка решить
10. В ряде практических оптимизационных задач заранее известен набор допустимых решений, из которых требуется выбрать оптимальное решение.
11. Составить математическую модель для определения в схеме электроснабжения оптимального узла установки компенсирующего устройства, заданной мощности. Критерий
12. Решение 1. Обозначим переменнымиQk1,Qk2 и Qk3 мощности компенсирующих устройств. Это дискретные переменные, каждая из которых может
13. 5. Величина дискретной переменной Qki будет зависеть от значения соответствующей двоичной переменной δi. Переменная Qki =Qk
14. Рабочее поле ввода исходной информации В ячейках В2…В8 находится числовая исходная информация. Искомые значения дискретных переменных
15. Целевая функция задачи где: a1 = R1/U^2 = 0.004; a2 = R2/U^2 = 0.005; a3 =
16. В диалоговом окне «Поиск решения»: устанавливается адрес ячейки целевой функции Е10; отмечается, что ищется минимальное значение
17. Результат решения дискретной задачи, выданный компьютером на рабочее поле Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности
19. Скачать презентацию

Слайд 2

В широком смысле общая задача оптимизации параметров систем автоматизации заключается в

поиске экстремума критерия (целевой функции) при заданных ограничениях в виде равенств или неравенств.

Задача оптимизации

Слайд 3

Основные методы решения задач оптимизации
Математическое программирование
Линейное программирование
Нелинейное

программирование
Дискретное программирование

Для решения большинства оптимизационных задач используются следующие методы:

Слайд 4

Двоичные переменные
Задачи с дискретными переменными
Задача стохастического программирования
Детерминированный эквивалент стохастической задачи
Оптимизация при

недетерминированных условиях

Другие варианты задач оптимизации

Помимо основных вариантов решения задач оптимизации, существуют и другие варианты, такие как:

Слайд 5

Данный метод решает задачи, в которых искомые переменные могут принимать не

любые целые значения, а только одно из двух: либо 0, либо 1
Например, если линия электропередачи входит в оптимальную электрическую сеть, то двоичная переменная, равна 1; если нет, то двоичная переменная равна 0.
Преимущество данного метода в том, что он позволяет накладывать на решаемую задачу целый ряд логических условий типа «если … , то …».

Двоичные переменные

Слайд 6

Если в оптимальное решение должен входить один из двух вариантов, то

сумма переменных:
Если в оптимальное решение должны входить оба варианта, то сумма переменных:
Если в оптимальное решение может входить или не входить, каждый из двух вариантов, то сумма переменных:
Если при входе в оптимальное решение i–го варианта в это решение должен войти и j–й вариант, то:

Варианты логических условий

Слайд 7

Этот метод используется для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией.
Например,

мощности нагрузок в системе электроснабжения можно считать случайными величинами.
В этом случае, при решении практических задач достаточно часто применяют нормальный стандартный закон распределения.

Задача стохастического программирования

Слайд 8

Пре решении оптимизационных задач все искомые переменные или их часть должны

принимать только значения целых чисел.
Математическая модель таких задач аналогична линейным и нелинейным моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Однако система ограничений дополняется ограничениями типа:
Такие дополнительные ограничения существенно увеличивают объём вычислений.

Задачи с целочисленными переменными

Слайд 9

Целочисленная переменная x имеет 4 значения (x=0,1,2,3), а непрерывная переменная –

бесконечное количество. Поэтому, попытка решить задачу путём полного перебора значений приведёт к большому объёму вычислений.
Один из вариантов решения такой задачи, это округлять непрерывные переменные до целых чисел как в большую, так и в меньшую сторону, но в этом случае решение может быть неоптимальным, либо даже недопустимым.

Например, в диапазоне:

Слайд 10

В ряде практических оптимизационных задач заранее известен набор допустимых решений, из

которых требуется выбрать оптимальное решение.
Например, компенсирующее устройство мощностью Q можно разместить в узлах 1, 2, …n системы электроснабжения. Необходимо выбрать оптимальный узел, который будет соответствовать выбранному критерию.

Задачи с дискретными переменными

Слайд 11

Составить математическую модель для определения в схеме электроснабжения оптимального узла установки

компенсирующего устройства, заданной мощности. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме.

Пример

Исходные данные:

Напряжение схемы U= 10 кВ;
Сопротивления линий R1=0,4,R2=0,5,R3=0,6 Ом;
Реактивная нагрузка узла 1 Q1=600 квар;
Реактивная нагрузка узла 2 Q2=500 квар;
Реактивная нагрузка узла 3 Q3=400 квар;
Мощность компенсирующего устройства Qk =1000 квар

Слайд 12

Решение
1. Обозначим переменнымиQk1,Qk2 и Qk3 мощности компенсирующих устройств. Это дискретные переменные, каждая

из которых может принимать два значения 0 или 1000 квар.
2. Каждой переменной Qk1,Qk2 и Qk3 поставим в соответствие двоичную переменную δ1,δ2 и δ3.
3. Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид:
4. Поскольку компенсирующее устройство может быть установлено только в одном узле, сумма двоичных переменных должна быть равна 1

Слайд 13

5. Величина дискретной переменной Qki будет зависеть от значения соответствующей двоичной переменной

δi. Переменная Qki =Qk при δi=1 и Qki = 0 при δi=0. Запишем эти условия:
Граничные условия не записываем, поскольку имеем только двоичные и дискретные переменные.
6. Далее остаётся вычислительная процедура. Программное обеспечение Excel позволяет решать оптимизационные задачи с дискретными переменными.

Слайд 14

Рабочее поле ввода исходной информации
В ячейках В2…В8 находится числовая исходная информация.

Искомые значения дискретных переменных Qk1,Qk2 ,Qk3 и
двоичных переменных δ1,δ2,δ3 находятся в ячейках E2…E7.

Слайд 15

Целевая функция задачи
где: a1 = R1/U^2 = 0.004;
a2 = R2/U^2 =

0.005;
a3 = R3/U^2 = 0.006.
Вводим выражение для вычисления значения этой целевой функции в ячейку Е10.
В ячейки В11 …В14 вводятся выражения для вычисления левых частей ограничений:
=Е5+Е6+Е7;
=В8*Е5 -Е2;
=В8*Е6 -Е3;
=В8*Е7 - Е4.

Слайд 16

В диалоговом окне «Поиск решения»: устанавливается адрес ячейки целевой функции Е10; отмечается,

что ищется минимальное значение целевой функции; указываются адреса ячеек с искомыми переменнымиЕ2…Е7. И ограничение вида Е5:Е7 = двоичное.

Слайд 17

Результат решения дискретной задачи, выданный компьютером на рабочее поле
Таким образом, для

обеспечения минимальных потерь мощности компенсирующее устройство мощностью 1000 квар следует установить в узле 2 схемы электроснабжения.