Векторы

= c

3. Вспомогательная операция «умножения на число»:
α ⋅ a = a ⋅ α = d

Правило: результат обеих операций — вектор, принадлежащий тому же множеству V , что и исходные векторы

⋅ b
(α + β) ⋅ a = α ⋅ a + β ⋅ а

Условия ассоциативности

α ⋅ a + β ⋅ b + γ ⋅ c + … = d

c = d1

Линейная оболочка векторов
a, b, c

{ a, b, c } — «базис» ВП

Число векторов в базисе — «размерность» ВП

между собой базисов
(несмотря на то, что в такие наборы входят различные векторы, их линейные оболочки в точности совпадают и составляют одно и то же ВП).
Число векторов в любом базисном наборе одинаково

= x1 ⋅ e1 + x2 ⋅ e2 + … + xn ⋅ en

Y = y1 ⋅ e1 + y2 ⋅ e2 + … + yn ⋅ en

Z = z1 ⋅ e1 + z2 ⋅ e2 + … + zn ⋅ en

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

X = ( x1, x2, … , xn )

Y = ( y1, y2, … , yn )

Z = ( z1, z2, … , zn )

Координатные представления векторов X, Y, Z относительно базиса { е1, е2, …, еn }

хn )
2. Всякий упорядоченный набор чисел ( х1, х2, …, хn ) можно рассматривать как вектор Х

X = ( x1, x2, … , xn )

Вектор-строка
(ковариантный вектор)

Вектор-столбец
(контравариантный вектор)

α ⋅ R1 + β ⋅ R2 + γ ⋅ R3

〈 x | y 〉

Скалярное произведение
(число)

«свертка»

Х

Нормировка векторов

X = ( x1, x2, … , xn )

| X | ≠ 1

Нормированный вектор

Обычный (ненормированный) вектор

Скалярный квадрат

⋅ X }
где k — любое число, а X — нормированный вектор

90o

ϕ = 180o

X ⋅ Y = 1

X ⋅ Y = 0

X ⋅ Y = –1

Взаимная ориентация векторов

= (1 – 0)

X ⋅ Y = (0 – -1)

Скалярное произведение — величина проекции одного из двух нормированных векторов на другой

(см. задачу 2.2.) и исходными векторами (см. задачу 2.1.):
ϕ(S, R1) = ?
ϕ(S, R2) = ?
ϕ(S, R3) = ?