Выпуклый анализ. Субградиент и субдифференциал функции. Лекция 20

Сентябрь 7, 2022

Главная
Алгебра
Выпуклый анализ. Субградиент и субдифференциал функции. Лекция 20

Содержание

2. 7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 7.1. Определение субградиента и субдифференциала функции. Примеры.
3. 7.1. Определение субградиента и субдифференциала функции. Примеры. Определение 1. если Геометрический смысл неравенства (1) состоит в
4. Для выпуклых дифференцируемых функций был установлен критерий выпуклости Для таких функций неравенство (1) Из сказанного выше
5. Имеем Теорема доказана.
6. Пример 1. Тогда для функции Существуют не дифференцируемые в точке функции, субдифференциал которых не пуст. Пример
7. Таким образом, справедливо вложение Упражнение. Решение. Требуемое неравенство имеет место.
8. Обозначим Для частного случая
9. Упражнение. Решение. Тогда Пример 3.
10. Правую часть равенства (5) Каждое из равенств в (6) Имеем Решение.
11. Докажем обратное вложение Тогда
12. Обозначим получим
14. Далее пусть Полагаем В силу (7)
15. Таким образом, Отсюда и (9) выводим
16. Упражнение. Решение.
17. Утверждение доказано.
18. Упражнение. Решение.
19. Обозначим: Из (12) и (13) следует
20. Полагаем Последовательно подставляем в (11)
21. Утверждение доказано. Полагаем Последовательно подставляем в (11)
22. Упражнение. Решение.
24. Скачать презентацию

Слайд 2

7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
7.1. Определение субградиента и субдифференциала функции.

Примеры.

Слайд 3

7.1. Определение субградиента и субдифференциала функции. Примеры.
Определение 1.
если
Геометрический

смысл неравенства (1) состоит в том,

Однако естественным это понятие является для выпуклых функций.

7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Слайд 4

Для выпуклых дифференцируемых функций был установлен критерий выпуклости
Для таких функций

неравенство (1)

Из сказанного выше следует, что субдифференциал гладких выпуклых функций не пуст,

а градиенты этих функций суть их субградиенты.

Теорема 1.

то

Доказательство.

Вложение

следует непосредственно из неравенства (2).

Докажем обратное вложение.

Пусть

Слайд 5

Имеем
Теорема доказана.

Слайд 6

Пример 1.
Тогда для функции
Существуют не дифференцируемые в точке функции,

субдифференциал которых не пуст.

Пример 2.

Более того, для этой функции из неравенства

Слайд 7

Таким образом, справедливо вложение
Упражнение.
Решение.
Требуемое неравенство имеет место.

Слайд 8

Обозначим
Для частного случая

Слайд 9

Упражнение.
Решение.
Тогда
Пример 3.

Слайд 10

Правую часть равенства (5)
Каждое из равенств в (6)
Имеем
Решение.

Слайд 11

Докажем обратное вложение
Тогда

Слайд 12

Обозначим
получим

Слайд 13

Слайд 14

Далее пусть
Полагаем
В силу (7)

Слайд 15

Таким образом,
Отсюда и (9)
выводим

Слайд 16

Упражнение.
Решение.

Слайд 17

Утверждение доказано.

Слайд 18

Упражнение.
Решение.

Слайд 19

Обозначим:
Из (12) и (13) следует

Слайд 20

Полагаем
Последовательно подставляем в (11)

Слайд 21

Утверждение доказано.
Полагаем
Последовательно подставляем в (11)

Слайд 22

Упражнение.
Решение.