Электротехника и электроника. Операторный метод анализа переходных процессов. (Лекция 11)

электрических цепях.

3. Методика анализа переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом.

Литература:

1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 185 –187.

2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 121 –132.

3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 114 –122.

линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям.

Формальные правила с оператором дифференцирования, предложенные Хевисайдом (1892 г.)

В основе операторного метода анализа переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного p:

При этом методе нет необходимости определения постоянных интегрирования

есть частный случай преобразования Лапласа при α = 0.

Пример: Найдем изображение по Лапласу от единичной функции

Используя определение прямого преобразования Лапласа

Размерность [L(p)] = [f(t)]· [t], т.е. размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на время.

сигналов, которые могут быть представлены суммами относительно простых слагаемых с уже известными изображениями.

2. Дифференцирование оригинала

3. Интегрирование оригинала

4. Теорема запаздывания

5. Теорема смещения

в операторной форме.

L – изображением тока в емкостном элементе и оригиналом i(t) определяется следующим соотношением (по теореме дифференцирования):

L – изображение тока в емкости

L – изображение напряжения на емкости

UC(0) – определяет начальные условия на емкостном элементе

С ⇔ 1/pС

и оригиналом uL(t) определяются следующей зависимостью

Следовательно, L – изображение напряжения на индуктивном элементе определяются зависимостью

I(0)

Определяет начальные условия задачи (начальный ток)

Начальное напряжение

L ⇔ pL

на емкостном элементе

Операторное напряжение на индуктивном элементе

Операторные сопротивление и проводимость емкостного элемента

Операторные сопротивление и проводимость индуктивного элемента

Резистивный элемент

операторной форме

Полное сопротивление цепи в операторной форме

узле равна нулю

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Методика анализа переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом

1. Из расчета цепи до коммутации найти токи в индуктивности IL(0) и напряжения на емкости UC(0).

2. По виду топологии исследуемой цепи, получившейся после коммутации, составить эквивалентную операторную схему.

3. Выбрать метод расчета и найти изображение искомых величин.

4. По изображению искомых величин (с помощью таблицы преобразований Лапласа) найти оригинал, т.е. искомую функцию

Алгебраическая сумма операторных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме операторных ЭДС и напряжений контура

0

Операторная эквивалентная схема

На основании второго закона Кирхгофа с учетом нулевых начальных условий

При этом операторные изображения падений напряжений на элементах электрической цепи примут вид

затем его предельное значение

Переходный процесс заканчивается через время → ≅ 3τ

0 и IL(0) ≠ 0 .

Уравнение связи по второму закону Кирхгофа имеет вид:

Применив к этому выражению прямое преобразование Лапласа и учитывая ряд свойств этого преобразования получаем:

Закон Ома в операторной форме для данной цепи

закону Ома для нулевых начальных условий примет вид:

Определим корни характеристического уравнения

Воспользовавшись теоремой разложения, которая позволяет при нахождении оригинала операцию интегрирования заменить операцией суммирования, что значительно упрощает расчеты

pk – корни характеристического уравнения

тока

uC(t) при R < 2ρ

i(t)

uL(t)

uC(t) при R > 2ρ - апериодический процесс

реакции электрической цепи к изображению входного воздействия

В связи с этим определением различают четыре вида передаточных функции:

Передаточная функция по напряжению

Передаточная функция по току

Передаточная функция сопротивления

Передаточная функция проводимости

Комплексные передаточные функции (p ⇒ jω) – частотный метод анализа