Элементы теории упругости. Гидродинамика

Август 8, 2022

Главная
Физика
Элементы теории упругости. Гидродинамика

Содержание

2. План лекции Закон Гука. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, предел упругости. Всестороннее и одностороннее сжатие. Деформация сдвига.
3. Основные определения: Закон Гука. Модуль Юнга Закон Гука: малые, упругие, обратимые деформации ε = Δℓ/ℓ пропорциональны
4. Предел упругости, предел прочности Предел прочности – нагрузка σпр, вызывающая пластическую, неисчезающую после снятия нагрузки, деформацию.
5. Предел прочности и высота гор на Земле и на Марсе) Предел прочности горных пород на сжатие
6. гора Олимп на Марсе самая высокая гора-вулкан в Солнечной системе: h ~ 24 км
7. Упругая энергия растянутого стержня W = ∫Fdℓ = ∫ σSℓdε = V ∫Eεdε = ½Eε2 V
8. Нерадивый студент и стальная линейка. Какую работу совершил студент, свернув стальную линейку в замкнутое кольцо? Длина
9. Коэффициент Пуассона или почему резиновые пробки - конусные При растяжении уменьшаются поперечные размеры цилиндра εd =
10. E и μ – полная(!) характеристика изотропного материала Принцип суперпозиции (для малых деформаций): деформация, вызываемая несколькими
11. Давление воды при замерзании. Определить максимальное давление, которое может производить вода при замерзании. ρл = 0,917
12. Одностороннее сжатие εy = (py – μ(px + pz))/E = [py (1 – μ) – μpx]/E
13. Сдвиг: меняется только форма. Объём не меняется. Угол сдвига β пропорционален скалывающему (касательному) напряжению. Модуль сдвига:
14. Плотность упругой энергии Простое растяжение: w = ½ Eε2 Всестороннее сжатие: w = ½ KεV2 Одностороннее
15. Основное уравнение гидростатики идеальной жидкости Объёмная плотность сил давления s = - gradP = -(∂P/∂x; ∂P/∂y;
16. Жидкость во вращающемся сосуде. Задача про чаинки в чае ∂P/∂r = ρω2r; ∂P/∂z = -ρg →
17. Чаинки в стакане (ответ на правом рисунке)
18. Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Уравнение непрерывности. ρvS = const – уравнение непрерывности Для несжимаемой
19. Формула Бернулли
20. Формула Торричелли Скорость истечения идеальной жидкости из сосуда: P0 + ρgh = P0 + ρv2/2 →
21. Вязкость Вязкость – внутреннее касательное трение, возникающее между слоями жидкости, движущимися с разными скоростями. Вязкость выравнивает
22. Вязкость жидкостей и газов
23. Вязкость. Течение Пуазейля f = - η ∂v/∂z Вязкая жидкость в трубе: Fтр = 2πrℓη(dv/dr) Fдавл
24. Ламинарное, турбулентное течение Число Рейнольдса Re
25. Число Рейнольдса Re = ρvℓ/η. Формула Стокса. Re = ρvℓ/η
26. Волновое уравнение. Скорость упругих волн в тонком стержне ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2 общее решение волнового уравнения:
27. Численные примеры (сталь) Модуль Юнга: E0 = 2 1011 Н/м2 = 2 Мбар; коэффициент Пуассона μ
28. Численные примеры (алюминий) Модуль Юнга: E0 = 0,705 1011 Н/м2 = 0,705 Мбар; коэффициент Пуассона μ
29. Скорость звука в жидкостях и газах В газе Δz/z = ΔV/V = Δp/Е ⇨ модуль упругости
30. Численные примеры (вода, воздух) v = (dp/dρ)1/2 Вода: v = (K/ρ)1/2 K = Vdp/dV - модуль
31. Скорость волны в гибком шнуре. Струна v = (T/ρl)1/2 – скорость распространения упругих волн небольшой амплитуды
32. Энергия упругой волны. Амплитуда давления в звуковой волне. Плотность кинетическая энергии: wk = ρu2/2 = ρx’2/2
34. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции
Закон Гука. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, предел упругости.
Всестороннее и одностороннее

сжатие. Деформация сдвига. Кручение.
Энергия упругой деформации.
Примеры упругих деформаций: энергия изогнутой пластины, давление при замерзании воды, высота гор на Земле и на Марсе.
Основное уравнение гидродинамики (гидростатики) идеальной жидкости. Жидкость во вращающемся сосуде. Уравнение Бернулли. Формула Торричелли.
Вязкость. Формула Пуазейля.

Слайд 3

Основные определения: Закон Гука. Модуль Юнга
Закон Гука: малые, упругие, обратимые деформации ε =

Δℓ/ℓ пропорциональны напряжению σ = F/S : ε = σ/E E – модуль Юнга
[E] = Па, Сталь: E = 2*1011 Па = 2 Мбар Медь: E = 1,3*1011 Па = 1,3 Мбар Лёд: E = 3*1010 Па = 0,3 Мбар Резина: E ~ 106 Па = 10 бар

Слайд 4

Предел упругости, предел прочности
Предел прочности – нагрузка σпр, вызывающая пластическую, неисчезающую

после снятия нагрузки, деформацию.
Сталь σпр = 2*108 Па → εпр = σпр/E = 10-3 → максимально допустимое удлинение метровой проволоки Δℓ = 1 мм.
Максимальный груз, который можно подвесить на проволоку S = 1 мм2 Fmax = σпрS = 200 Н (= 20 кг)

Слайд 5

Предел прочности и высота гор на Земле и на Марсе)
Предел прочности

горных пород на сжатие σпр ~ 3*108 Па →
на Земле: ρghпр ~ σпр → hпр ~ σпр/ρg ~ 10 км (Эверест hЗ ~ 9 км)
На Марсе: MM/MЗ = 0,107, RM/RЗ = 0,553. hM = (RM/RЗ)2/(MM/MЗ) hЗ ~ 25 км.

Слайд 6

гора Олимп на Марсе самая высокая гора-вулкан в Солнечной системе: h

~ 24 км

Слайд 7

Упругая энергия растянутого стержня
W = ∫Fdℓ = ∫ σSℓdε = V

∫Eεdε = ½Eε2 V = wV Объёмная плотность упругой энергии:
w = Eε2/2 = σ2/2E = σε/2

Слайд 8

Нерадивый студент и стальная линейка.
Какую работу совершил студент, свернув стальную

линейку в замкнутое кольцо? Длина линейки L = 1 м, ширина b = 6 см; толщина d = 1 мм модуль Юнга стали E = 2 1011 Па.
Решение: W = ∫wdV = ∫ ½σεdV = ½ bL∫E(ξ/R)2dξ = EbLd3/24R2 = π2Ebd3/6L ≈ 20 Дж (= два кг поднять на высоту ~ 1 м)

Слайд 9

Коэффициент Пуассона или почему резиновые пробки - конусные
При растяжении уменьшаются поперечные размеры

цилиндра εd = Δd/d Коэффициент Пуассона равен отношению относительного поперечного сжатия к относительному изменению продольных размеров: Δd/d = - μ Δℓ/ℓ μ = - εd/ε → εd = - μσ/E
Сталь μ ~ 0,3
Резина μ ~ 0,46-0,49 → цилиндрическую резиновую пробку невозможно вогнать в пробирку – все резиновые пробки - конусные
«Пробковая» пробка – цилиндр: μ ~ 0

Слайд 10

E и μ – полная(!) характеристика изотропного материала
Принцип суперпозиции (для малых

деформаций): деформация, вызываемая несколькими усилиями, равна сумме деформаций, вызываемых каждым из усилий
Всестороннее сжатие: εx = p/E, εy = εz = -μp/E εy = p/E, εx = εz = -μp/E εy = p/E, εx = εz = -μp/E → εx = p(1 - 2μ)/E εy = p(1 - 2μ)/E εz = p(1 - 2μ)/E → ΔV/V = εx + εy + εz = 3p(1 - 2μ)/E = p/K K = E/3(1 - 2μ) – модуль всестороннего сжатия

Слайд 11

Давление воды при замерзании.
Определить максимальное давление, которое может производить вода при

замерзании.
ρл = 0,917 г/см3 ρв = 1 г/см3 Модуль Юнга льда E = 2,8 1010 Па коэффициент Пуассона μ = 0,3
Решение: модуль всестороннего сжатия льда K = E/3(1 – 2μ) ≈ 2,3 1010 Па P = KΔV/V = KΔρ/ρ ≈ 2 109 Па = 20 kбар

Слайд 12

Одностороннее сжатие
εy = (py – μ(px + pz))/E = [py (1

– μ) – μpx]/E = 0 → py = pz = μpx/(1 – μ) → εx = (px – μ(py + pz))/E = (1 – μ - 2 μ2)/(1 – μ)E → EI = E(1 – μ)/(1 – μ - 2 μ2) = E(1 – μ)/(1 + μ)(1 - 2μ) – модуль одноосного сжатия

Слайд 13

Сдвиг: меняется только форма. Объём не меняется.
Угол сдвига β пропорционален

скалывающему (касательному) напряжению. Модуль сдвига: β = σ/G G = E/2(1 + μ)
Кручение: закон Гука для деформации кручения цилиндра: M = fφ f = πR4G/2ℓ - модуль кручения цилиндра.

Слайд 14

Плотность упругой энергии
Простое растяжение: w = ½ Eε2
Всестороннее сжатие: w = ½

KεV2
Одностороннее сжатие w = ½ EIε2
Сдвиг: w = ½ Gβ2

Слайд 15

Основное уравнение гидростатики идеальной жидкости
Объёмная плотность сил давления s =

- gradP = -(∂P/∂x; ∂P/∂y; ∂P/∂z)
В равновесии s уравновешивается объёмной плотностью массовых сил f: s + f = 0 → f = gradP – основное уравнение гидростатики.
Гидростатическое давление (z – направлена вниз): ρg = ∂P/∂z → p = p0 + ρgz
Основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости: ρdv/dt = f - gradP

Слайд 16

Жидкость во вращающемся сосуде. Задача про чаинки в чае
∂P/∂r = ρω2r;

∂P/∂z = -ρg → p = p0 + ½ ρω2r2 – ρgz
Свободная поверхность: p = p0 → z = ½ ω2r2/g – параболоид вращения
Распределения давления на глубине h (z = -h): p = p0 + ½ ρω2r2 + ρgh
Самое большое давление на дне у стенок цилиндра – всё что тонет в воде должно оказаться на дне у стенок.
Почему чаинки собираются в центре стакана?

Слайд 17

Чаинки в стакане (ответ на правом рисунке)

Слайд 18

Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Уравнение непрерывности.
ρvS = const –

уравнение непрерывности
Для несжимаемой жидкости vS = const
Поток массы J = ρvS, j = ρv – плотность потока массы.
P/ρ + ε = const, где ε = v2/2 + gh + u – энергия единицы массы жидкости
Если ρ, u = const, то: P + ρv2/2 + ρgh = const

Слайд 19

Формула Бернулли

Слайд 20

Формула Торричелли
Скорость истечения идеальной жидкости из сосуда: P0 + ρgh = P0

+ ρv2/2 → v = (2gh)1/2

Слайд 21

Вязкость
Вязкость – внутреннее касательное трение, возникающее между слоями жидкости, движущимися с

разными скоростями.
Вязкость выравнивает скорости течения.
Импульс передаётся от быстрых слоёв к медленным: f = - η ∂v/∂z
η – коэффициент вязкости
[η] = кг/м с

Слайд 22

Вязкость жидкостей и газов

Слайд 23

Вязкость. Течение Пуазейля
f = - η ∂v/∂z
Вязкая жидкость в трубе: Fтр =

2πrℓη(dv/dr) Fдавл = πr2Δp πr2Δp = - 2πrℓη(dv/dr) →
v(r) = ΔpR2/4ℓη (1 – r2/R2) = vmax(1 – r2/R2)
Расход жидкости: vср = ½ vmax = ΔpR2/8ℓη → Q = Svср = πΔpR4/8ℓη – формула Пуазейля

Слайд 24

Ламинарное, турбулентное течение Число Рейнольдса Re

Слайд 25

Число Рейнольдса Re = ρvℓ/η. Формула Стокса.
Re = ρvℓ/η << 1

сила вязкого сопротивления при движении шара в вязкой жидкости: F = 6πηrv

Слайд 26

Волновое уравнение. Скорость упругих волн в тонком стержне
∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2 общее

решение волнового уравнения: x = x(t – z/v) + x(t + z/v)
Относительная деформация ε = ∂x/∂z
Закон Гука σ = Eε ⇨
Закон Ньютона для участка стержня Δz: Δm∂2x/∂t2 = F ⇨ ρSΔz ∂2x/∂t2 = (σ(z + Δz) - σ(z))S = ES∂ε/∂z ⇨
∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2 ⇨ v = (E/ρ)1/2

Слайд 27

Численные примеры (сталь)
Модуль Юнга: E0 = 2 1011 Н/м2 = 2

Мбар; коэффициент Пуассона μ = 0,3; плотность ρ = 7,8 г/см3 ⇨ v = (E0/ρ)1/2 = 5064 м/с (табл. v = 5150 м/с)
В толстом стержне: Модуль одностороннего сжатия E = E0(1 – μ)/(1 + μ)(1 - 2μ) = 1,35E0 ⇨ vII = (E/ρ)1/2 = (1,35)1/2v = 5884 м/с (табл. v = 5900 м/с)
Поперечный звук: v┴ = (G/ρ)1/2, G = E0/2(1 + μ) = E0/2,6 – модуль сдвига ⇨ v┴ = v/(2,6)1/2 = 3140 м/с (табл. v┴ = 3100 м/с)

Слайд 28

Численные примеры (алюминий)
Модуль Юнга: E0 = 0,705 1011 Н/м2 = 0,705

Мбар; коэффициент Пуассона μ = 0,345; плотность ρ = 2,7 г/см3
скорость звука в тонком стержне v = (E0/ρ)1/2 = 5110 м/с (табл. v = 5240 м/с (2,5%))
В толстом стержне: Модуль одностороннего сжатия E = E0(1 – μ)/(1 + μ)(1 - 2μ) = 1,57E0 ⇨ vII = (E/ρ)1/2 = (1,57)1/2v = 6403 м/с (табл. v = 6400 м/с)
Поперечный звук: v┴ = (G/ρ)1/2, G = E0/2(1 + μ) = E0/2,69 – модуль сдвига ⇨ v┴ = v/(2,69)1/2 = 3115 м/с (табл. v┴ = 3100 м/с)

Слайд 29

Скорость звука в жидкостях и газах
В газе Δz/z = ΔV/V =

Δp/Е ⇨ модуль упругости в жидкости E = dp/(dV/V) = dp/(dρ/ρ) коэффициент всестороннего сжатия.
Скорость звука в жидкости v = (dp/dρ)1/2
Избыточное давление Δp = Eε = Eερ/ρ = ρuv

Слайд 30

Численные примеры (вода, воздух)
v = (dp/dρ)1/2
Вода: v = (K/ρ)1/2 K = Vdp/dV

- модуль всестороннего сжатия воды: К = dp/(dV/V) = 2,14 104 Н/м2 v = (K/ρ)1/2 = 1463 м/с (табл. v = 1484 м/с (1,3%))
Воздух: изотермический звук: vT = (dp/dρ)1/2 = (p/ρ)1/2 = 280 м/с
Адиабатический звук:
v = (γp/ρ)1/2 = (1,4)1/2 vT = 330 м/с

Слайд 31

Скорость волны в гибком шнуре. Струна
v = (T/ρl)1/2 – скорость распространения

упругих волн небольшой амплитуды в натянутой струне; T – натяжение струны ρl – погонная плотность
Вывод: ρl Δz ∂2x/∂t2 = T(sinα(z+Δz) - (sinα(z)) ⇨ ∂2x/∂t2 = (T/ρl)∂2x/∂z2

Слайд 32

Энергия упругой волны. Амплитуда давления в звуковой волне.
Плотность кинетическая энергии: wk

= ρu2/2 = ρx’2/2 = ½ ρA2ω2sin2(ωt – kz)
Плотность упругой энергии: wП = Eε2/2 = ½ ρA2ω2sin2(ωt – kz)
Полная энергия w = wk + wП = ρx’2/2 + Eε2/2 = ρA2ω2sin2(ωt – kz)
Для гармонической волны: = ½ ρA2ω2 =
Поток энергии, или интенсивность: I = ½ ρA2ω2v
I = 2v = (Eεm2/2) v = (Δp)2/2vρ ⇨ Δp = (2Iρv)1/2

Элементы теории упругости. Гидродинамика

Содержание

План лекцииЗакон Гука. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, предел упругости.Всестороннее и одностороннее

Основные определения: Закон Гука. Модуль ЮнгаЗакон Гука: малые, упругие, обратимые деформации ε =

Предел упругости, предел прочностиПредел прочности – нагрузка σпр, вызывающая пластическую, неисчезающую

Предел прочности и высота гор на Земле и на Марсе)Предел прочности

гора Олимп на Марсе самая высокая гора-вулкан в Солнечной системе: h

Упругая энергия растянутого стержняW = ∫Fdℓ = ∫ σSℓdε = V

Нерадивый студент и стальная линейка. Какую работу совершил студент, свернув стальную

Коэффициент Пуассона или почему резиновые пробки - конусныеПри растяжении уменьшаются поперечные размеры

E и μ – полная(!) характеристика изотропного материалаПринцип суперпозиции (для малых

Давление воды при замерзании.Определить максимальное давление, которое может производить вода при

Одностороннее сжатиеεy = (py – μ(px + pz))/E = [py (1

Сдвиг: меняется только форма. Объём не меняется. Угол сдвига β пропорционален

Плотность упругой энергии Простое растяжение: w = ½ Eε2Всестороннее сжатие: w = ½

Основное уравнение гидростатики идеальной жидкости Объёмная плотность сил давления s =

Жидкость во вращающемся сосуде. Задача про чаинки в чае∂P/∂r = ρω2r;

Чаинки в стакане (ответ на правом рисунке)

Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Уравнение непрерывности.ρvS = const –