Энтропия и тепловые машины. Вероятность. Лекция 06(09)

+ PdV

Энтропия появилась в термодинамике для характеристики не состояний, а процессов: если в процессе система получает теплоту dQ при температуре T, то приращением энтропии системы называют отношение
dS = dQ/T [Дж/K]:

= (iR/2)(dT/T) + (P/T)dV = (iR/2)(dT/T) + (R/V)dV =
= (iR/2)(dT/T) + R(dV/V) = Rd(lnTi/2V) =>
S =Rln(Ti/2V)+Const =CVlnT +RlnV+Const
Энтропия как параметр состояния определяется в термодинамике с точностью до постоянной (подобно потенциальной энергии в механике).
Для произвольного количества вещества
S=vRln(Ti/2V)+Const = v(CVlnT +RlnV) + Const
“Энтропия аддитивна, подобно внутренней энергии системы.

Энтропия в термоднамике

dS =dQ/T = dU/T + dA/T = (ivR/2)dT/T + PdV/T

энтропии через разные параметры
S= vRln(Ti/2V)+Const = v(СVlnT+RlnV)+Const S=vRln(T(i+2)/2/P)+Const = v(СPlnT-RlnP)+Const
S=vRln(Pi/2V(i+2)/2)+ Const = v(СPlnV+СVlnP)+Const

Энтропия в термоднамике

U = ivRT/2 => S(V, U) = vRlnV + vCVlnU + Const’

dS = dQ/T = dU/T + PdV/T

в термодинамической системе
Энтропия помогла красиво построить теорию тепловых машин
Энтропия служит критерием отличия обратимых и необратимых процессов в термодинамике
В статистической физике выявляется глубокий физический смысл понятия энтропии, по сей день обсуждаемый
“.

получаемой от внешних источников.

Тепловой машине нужно рабочее вещество (газ или жидкость), которое совершает термодинамический цикл: ….>нагревание>расширение>охлаждение>сжатие>…..
При нагревании рабочему веществу сообщается теплота Q1.
При охлаждении часть теплоты Q2 < Q1. отбирается . .

По закону сохранения энергии, рабочее вещество способно совершить
работу A = Q1.- Q2 .
Коэффициентом полезного действия (К.П.Д. = η) тепловой машины называется отношение полезной работы А к затраченной энергии Q1: η = А/Q1 = (Q1 - Q2)/Q1

Тепловые машины

с температурой Тн

Тх -> Tн

Тн

Расширение при
нагревании до Тн

Теплота Q2 отдается
“холодильнику” с температурой Тх

Тх

Сжатие при
охлаждении до Тх

Тн -> Tх

КПД: η = А/Q1 = (Q1-Q2)/Q1 <1

Тепловые машины

цикл, состоящий из двух изотерм и двух изоэнтроп (адиабат).

dS = dQ/T = 0

Sadi Carnot
1796-1832

максимален и не зависит от природы рабочего вещества и конструкции машины. Его величина равна

Найдем КПД:

dS = dQ/T = 0

Тепловые машины. Цикл Карно

максимален. Как доказать это?

Простейший способ: при фиксированной температуре нагревателя и холодильника, при заданных значениях начального и конечного состояний – максимально возможная работа (площадь внутри графика процесса) – если процесс занимает все пространство между указанными пределами. – (прямоугольник на диаграмме ST)

dS = dQ/T = 0

Тепловые машины. Цикл Карно

= vRTHln(V2/V1) – vRTXln(V2/V1) = vR(TH – TX)ln(V2/V1)
Теплота Q1 подводится тоже на двух участках: изотерма TН (причем вся теплота идет на совершение работы) и изохора V1 с нагреванием от TХ до TН при молярной теплоёмкости CV = iR/2
Q1 = vRTHln(V2/V1) + (ivR/2)(TH – TX).
РЕЗУЛЬТАТ:,
К.П.Д =А/Q1= (TH –TX)ln(V2/V1)/(THln(V2/V1)+(i/2)(TH –TX))
= (1 –TX/TH)/ (1+(i/2)(1-TХ /TН)/ln(V2/V1)) < 1- Тx /ТН
Больше, чем у цикла Карно, К.П.Д. быть в принципе НЕ может!

Тепловые машины. Другие циклы (Примеры)

ПРИМЕР 1. Рассчитать КПД цикла из двух изотерм (ТН – нагревание, ТХ – охлаждение) и двух изохор (V1 и V2).

= P2V1; vRT3 = P2V2; vRT4 = P1V2;
T1 ( = TX ) < T2 , T4 < T3 (= TH)
Работа за цикл равна: А = (P2 -P1 )(V2 -V1) = vR(TH +TX - T2 - T4 )
Теплота Q1 подводится на изохоре с нагреванием 12, и на изобаре с расширением 23: Q1 = vCV(T2 -TX) + vCP(TH – T2).
К.П.Д =А/Q1= (TH +TX - T2 - T4 )/((i/2)(T2 - TX)+(1+i/2)(TH –T2))
= ((TH - T2 ) – (T4 -TX ))/((TH –T2)+(i/2)(TH - TX)) < 1
Задание на дом: Убедиться (доказать, показать), что эта величина всегда меньше КПД цикла Карно 1- Тx /ТН

Тепловые машины. Другие циклы (Примеры)

ПРИМЕР 2. Рассчитать КПД цикла из двух изобар P1 и и двух изохор (V1 и V2 > V1). (ТН – нагревание, ТХ – охлаждение)

1 – 12, 14, 18-21
А ТАКЖЕ: Убедиться (доказать, показать), что КПД цикла из двух изохор и двух изобар всегда меньше КПД цикла Карно 1- Тx /ТН
НАЧЕРТИТЬ: в осях PV. TV, TS диаграммы циклов
Карно,
две изохоры -две изотермы,
две изохоры-две изобары

в термодинамической системе
Энтропия помогла красиво построить теорию тепловых машин
Энтропия служит критерием отличия обратимых и необратимых процессов в термодинамике
В статистической физике выявляется глубокий физический смысл понятия энтропии, по сей день обсуждаемый
“.

упорядоченное (и оттого более вероятное) состояние. При этом энтропия системы возрастает. Самое вероятное состояние – равновесное, с максимальной энтропией
В ЧАСТНОСТИ: При контакте двух тел, теплота ВСЕГДА переходит от более нагретого тела к менее нагретому, приводя тела в тепловое равновесие.
Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) отражает общность механики и термодинамики.
Второй закон термодинамики отражает РАЗНИЦУ механики и термодинамики.

Второй закон термодинамики

из ничего. Вечный двигатель первого рода (работающий без источников энергии) НЕ ВОЗМОЖЕН
Второй закон термодинамики запрещает возможность существования и вечного двигателя второго рода, который превращал бы в работу ВСЁ тепло, извлекаемое из окружающих тел (КПД=100%).

2-е начало термодинамики
– невозможность вечного двигателя

Клаузиуса – для циклических процессов

Для неравновесных необратимых
процессов

Энтропия в неравновесном процессе

соответствии с неравенством Клаузиуса,
Q1 /ТН < Q2 /Тx => Тx /ТН 1- Тx /ТН >1- Q2 / Q1 . => 1- Тx /ТН >A / Q1 = К.П.Д
Больше, чем у цикла Карно, К.П.Д. быть в принципе НЕ может!

Тепловые машины. Цикл Карно

Более формальный способ доказательства теоремы Карно: применим неравенство Клаузиуса)

nkT
Основное уравнение в форме Менделеева-Клапейрона:
РV = nkTV = νRT = (M/μ)RT

Главное допущение статистической термодинамики и внутренняя энергия идеального газа: U = (i/2)νRT, а также все следующие результаты…

НО! Чтобы полностью использовать все возможности статистического анализа нужна соответствующая математика: в первую очередь – теория вероятностей (probability theory).
Этим и займемся, а потом продолжим – в следующей лекции…

МИФИ, к.ф.-м.н.,
Ольчак Андрей Станиславович

Курс общей физики НИЯУ МИФИ

1 – если выпала решка; тип 0 – если орел
Если бросать очень много раз, то

Вероятность выпадения результата Р0,1=½ как для результата типа 1, так и для результата типа 0.

Типы результатов испытаний (сумма 2-х костей) и способы их получения:
2: 1+1 (1) 8: 6+2, 5+3, 4+4, 3+5, 2+6 (5)
3: 1+2, 2+1 (2) 9: 6+3, 5+4, 4+5, 3+5 (4)
4: 1+3, 2+2, 3+1 (3) 10: 6+4, 5+5, 4+5 (3)
5: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1 (4) 11: 6+5, 5+6 (2)
6: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 (5) 12: 6+6 (1)
7: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 (6)

ПРИМЕР 2:
Бросаем кости.

Вероятности выпадения результата: Р2=Р12=1/36; Р3=Р11=2/36; Р4=Р10=3/36; Р5=Р9=4/36; Р6=Р8=5/36; Р7= 6/36;

i или k – вероятность выпадения ИЛИ результата типа i, ИЛИ результата типа k (ПРИМЕР с костями: Р(>5) =(5+6+5+4+3+2+1)/36=0,7 .

P i и k – вероятность выпадения в результате пары испытаний одного результата типа i и одного результата типа k.
ПРИМЕР с костями: Р4+1 =1/6 х1/6 +1/6х1/6 = 1/18 .

i
Рi – вероятность выпадения результата типа i

Немного математики - вероятность

Для непрерывно распределенных величин X: вероятность при испытании найти ее в интервале от X до X + dX dP(x) = f(x)dx

f(x) - функция распределения

А вероятность того, что величина x принадлежит интервалу от x1 до x2 :

Для непрерывно распределенной величины вероятность
того, что величина x точно равна x0, нулевая P(x = x0)=0.

Продолжим в следующей лекции…