Содержание
- 2. Пластинкой называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане.
- 3. Высота называется толщиной пластинки и обозначается h.
- 4. Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной.
- 5. При изгибе пластинки срединная плоскость превращается в изогнутую поверхность.
- 6. Линия пересечения боковой поверхности пластинки со срединной плоскостью называется контуром пластинки.
- 7. Координатная плоскость x0y совпадает со срединной поверхностью, а ось z направлена вниз.
- 8. При таком выборе системы координат составляющая перемещения w в направлении оси z будет представлять собой прогиб
- 9. Положение начала координат в срединной плоскости будем выбирать в каждом рассматриваемом случае в зависимости от очертания
- 10. Пластинки находят широкое применение в строительстве в виде настилов и панелей, железобетонных плит для покрытия производственных
- 11. Тонкими называются пластинки, имеющие отношение характерного размера в плане к толщине примерно в пределах
- 12. Толстыми называются пластинки, имеющие отношение характерного размера в плане к толщине примерно в пределах
- 13. Мембранами называются пластинки, имеющие отношение характерного размеру в плане к толщине примерно в пределах
- 14. Тонкие пластинки обычно рассчитывают по приближенной теории — технической теории изгиба пластинок, которая основана на следующих
- 15. 1. Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, остается прямолинейным и нормальным к
- 16. Любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, направлен вдоль оси z, и, следовательно, первая часть гипотезы
- 17. Гипотеза о сохранении длины прямоугольного элемента предполагает, что линейная деформация в направлении оси z (по толщине
- 18. 2. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига, т.
- 19. 3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости. Гипотеза позволяет пренебрегать напряжением ввиду
- 20. Перемещения и деформации в пластинке Изучение изгиба пластинки начнем с определения перемещений и деформаций. Исследуем пластинку,
- 21. Следуя первой гипотезе и подставляя условие (2) в геометрические соотношения Коши, получаем откуда следует, что прогибы
- 22. Это означает, что все точки пластинки, лежащие на одной вертикали, получают одинаковые перемещения w. Следовательно, достаточно
- 23. Рассматривая условия для сдвигов (1), из геометрических соотношений Коши получаем (4) отсюда находим производные составляющих перемещения
- 24. отсюда находим производные составляющих перемещения u и : Интегрируя эти выражения по z, получаем (5)
- 25. Для вычисления функций и , появившихся при интегрировании уравнений в частных производных, воспользуемся гипотезой о недеформируемости
- 26. Таким образом, составляющие перемещения точек пластинки в направлениях осей x и y выражены через функцию прогибов
- 27. Составляющие деформации пластинки, отличные от нуля, находим с помощью формул Коши, подставляя в них значения составляющих
- 28. Здесь составляющие деформации, так же как и составляющие перемещения в соотношениях (6), выражены через одну функцию
- 29. Напряжения в пластинке Для вычисления нормальных напряжений и воспользуемся двумя первыми формулами закона Гука и на
- 30. Из (8) с учетом зависимостей (7) находим (9)
- 31. Четвертая формула закона Гука после подстановки угловой деформации из формул (7) принимает следующий вид: (10)
- 32. Касательные напряжения в двух других плоскостях, согласно равенствам (1), обращаются в нуль: (11)
- 33. (11) Однако такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез. В действительности эти касательные напряжения не
- 34. Действительно, рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия. Пренебрегая объемными силами, из первого уравнения находим (12)
- 35. Подставим сюда напряжения из формул (9) и (10): После упрощения получаем
- 36. или Интегрируя по z, находим (13)
- 37. Для определения произвольной функции f3(x,y) имеем следующие граничные условия: на верхней и нижней поверхностях пластинки нет
- 38. Отсюда искомая функция Подставив её в (13), получаем (14)
- 39. Решая таким же путем второе уравнение равновесия, находим (15)
- 40. Итак, согласно формулам (9), (10), (14) и (15), в сечениях пластинки, перпендикулярных ее срединной плоскости, возникают
- 41. (16)
- 42. На рис. показаны эпюры этих напряжений по толщине пластин- ки
- 43. Напряжения , и и распределяются по линейному закону, обращаясь в нуль в точках срединной плоскости; напряжения
- 44. Усилия в пластинке Рассмотрим, какие усилия соответствуют напряжениям (16) в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной
- 46. Рассмотрим вначале площадку с нормалью, параллельной оси x. По ней действуют составляющие напряжений , и .
- 47. Обозначим через нормальную силу, приходящуюся на единицу ширины рассматриваемого сечения. Она равна проекции на ось x
- 48. Под действием поперечной нагрузки в сечениях пластинки, перпендикулярных ее срединной плоскости, возникают следующие усилия: Изгибающие моменты:
- 49. Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки Напряжения и усилия в пластинке выражены через прогибы ее срединной
- 50. Усилия в бесконечно малом элементе
- 51. На грани Ос действует поперечная сила . На грани аb, отстоящей от грани Ос на бесконечно
- 52. Для того чтобы рассматриваемый элемент срединной плоскости находился в равновесии, должны удовлетворяться шесть условий равновесия: 3
- 53. Спроецируем все силы, изображенные на рис. На ось Z: После упрощения получаем (1)
- 54. Уравнение моментов всех сил относительно оси y имеет вид После упрощения получаем (2)
- 55. Аналогично, из уравнения моментов всех сил относительно оси х следует (3) Исключим их уравнений (1)-(3) поперечные
- 56. Подставим в это уравнение выражения моментов Откуда после упрощения
- 57. В сокращенной форме записи или
- 58. Получили основное уравнение изгиба пластинки, обычно называемое уравнением Софи Жермен-Лагранжа. При его интегрировании появятся произвольные постоянные,
- 59. Условия на контуре пластинки В зависимости от характера закрепления краев на контуре пластинки могут быть заданы
- 60. Условия на контуре пластинки Условия, при которых на контуре задаются перемещения, т. е. прогибы или углы;
- 61. Условия на контуре пластинки Условия, при которых на контуре задаются усилия, т. е. изгибающие или крутящие
- 62. Условия на контуре пластинки Если же заданы одновременно и перемещения, и усилия, то условия называются смешанными.
- 63. Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления краев прямоугольной пластинки представ- ленной на рис.
- 64. Защемленный край OA. В защемлении отсутствуют прогибы и невозможен поворот краевого сечения относительно оси x. В
- 65. Шарнирно опертые края ОС и АВ. На них равны нулю прогибы и изгибающие моменты, т.е. и
- 66. Однако при и вторая производная . Поэтому граничные условия на шарнирно опертых краях и принимают вид:
- 67. Свободный край СВ. Здесь должны обращаться в нуль изгибающий момент , поперечная сила и крутящий момент
- 68. Свободный край СВ. Здесь должны обращаться в нуль изгибающий момент , поперечная сила и крутящий момент
- 70. Скачать презентацию