Механические колебания лекция. Лекция 5

– кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т.д.

Колебания – движение тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) точно через одинаковые промежутки времени

Три признака колебательного движения:
повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда и обратно;
ограниченность пределами крайних положений;
действие силы

Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

которая стремится вернуть систему в положение равновесия

колебания, называют осциллятором.
Классический осциллятор — механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия (маятник).

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур

первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему

Колебания, которые совершаются с течением времени по закону синуса или косинуса, называют гармоническими колебаниями.

Причины изучения гармонических колебаний:
колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим;
различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

расстояние материальной точки от положения равновесия до точки, в которой она находится (м);
А – амплитуда колебания, характеризующая величину наибольшего смещения материальной точки от положения равновесия (м);
(ωt + ϕ0 ) – фаза колебания, определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени;
– циклическая (круговая) частота, показывает сколько колебаний совершается за 2π секунд;
ϕ0 – начальная фаза колебания, определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в начальный момент времени

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Т- минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание

Частота колебаний определяется, как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц):
1 Гц = 1 колебание в секунду.

Циклическая (круговая, собственная) частота – число полных колебаний за 2 π секунд. Измеряют в рад/с.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

колебаний

Смещение описывается уравнением

Сила при гармонических колебаниях

Амплитуда силы при гармонических
колебаниях

сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

колебание скорости по фазе на π/2

а величина ее периодически изменяется от 0 до ½ m ω2A2.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

0 до m ω2A2/2 и совершает гармонические колебания с круговой частотой 2ω.

не изменяется, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна

пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК

Период колебаний пружинного маятника

Квадрат круговой частоты прямо пропорционален коэффициенту жесткости пружины k и обратно пропорционален его массе m

Выполняется при условии когда масса пружины мала по сравнению с массой тела

Потенциальная энергия пружинного маятника

горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, называют физическим маятником

Собственная частота колебания физического маятника

Период колебаний физического маятника

Уравнение колебания физического маятника

Точка подвеса

Центр качений

Точка подвеса маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится

Приведенная длина физического маятника

нерастяжимой нити, совершающую свободные гармонические колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Собственная частота колебания математического маятника

Период колебаний математического маятника

математический маятник частный случай физического маятника

сохранения импульса

закон сохранения механической энергии

скорости пули перед ударом

Так как l>>h, то

см, если за время t = 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний φ = π/4.

6. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W = 30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax = 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний Т = 2 с и начальная фаза φ = π/3.

2. Через какое время от начала колебания точка, которая выполняет колебательное движение по уравнению , проходит путь от положения равновесия до максимального смещения ?

3. Амплитуда гармонического колебания A = 5 см, период T = 4 с. Найти максимальную скорость vmax колеблющейся точки и ее максимальное ускорение amах.

4. Уравнение колебаний материальной точки массой m = 10 г имеет вид
Найти максимальную силу Fmax, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки

5. Найти отношение кинетической энергии Wк точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии Wп для моментов времени: t = T/12. Начальная фаза колебаний φ0 = 0.

что пружина под влиянием силы F = 9,8 Н растягивается на l = 1,5 см. Найти период Т вертикальных колебаний груза.

10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была равна .

7. Шарик, подвешенный на нити длиной l = 2 м, отклоняют на угол  = 4° и наблюдают его колебания. Полагая колебания не затухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия.

9. К резиновому шнуру длиной l = 40 см и радиусом r = 1 мм подвешена гиря массой m = 0,5 кг. Зная, что модуль Юнга резины E = 3 МН/м2, найти период T вертикальных колебаний гири. (Жесткость k резины связана с модулем Юнга Е соотношением k = SE/l, где S — площадь поперечного сечения резины, l — ее длина).

в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой

колебания называются когерентными,
их разность фаз не зависит от времени

Суммарная амплитуда результирующего колебания

Начальная фаза определяется из соотношения

тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз

происходят в одной фазе (синфазны). Тогда и

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

Результирующая амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний

Если , разность фаз равна нечетному числу π, то колебания (противофазны). Тогда
и

Если ω1 = ω2 = ω и А1 = А2, но противоположны по фазе, то результирующая амплитуда А = 0, т. е. колебания полностью гасят друг друга

времени произвольным образом

Результат сложения двух гармонических колебаний одинакового направления с близкими частотами называется биениями.

Некогерентные колебания, называемый биениями, когда частоты близки

Результирующее колебание – формула биений

Амплитуда результирующего колебания

Период результирующего колебания

уравнение эллипса с произвольно расположенными осями

Частица совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т.
Результирующее колебание называют эллиптически поляризованным.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз

колебаний

числу π/2, т. е.
Δϕ = ±(2m + 1) π/ 2, где m = 0, 1, 2, 3, ... .

При равенстве амплитуд А = В складываемых колебаний эллипс вырождается в окружность радиуса R (А = В = R): х2 + у2 = R2

Если Δϕ = + π/ 2, то при t = 0 частица будет двигаться по траектории по часовой стрелке

Если Δϕ = − π/ 2, то при t = 0 частица будет движется по траектории против часовой стрелке

наклона относительно осей координат.

Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу.

гармонических колебательных, колебаний с одинаковым периодом Т = 8 с и одинаковой амплитудой А = 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями φ2− φ1 = π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.

ЗАДАЧИ

12. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны A1 = 3 см и A2 = 4 см. Найти амплитуду А результирующего колебания, если колебания совершаются; а) в одном направлении; б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

из-за потерь энергии с течением времени уменьшаются.
Энергия механических колебаний расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний уменьшается

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

х — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс,
δ=const — коэффициент затухания,
ω0 — собственная циклическая частотой колебательной системы

Сила трения (или сопротивления)

r – коэффициент сопротивления,

коэффициент затухания

ω0 — собственная циклическая частотой колебательной системы

уменьшается в е = 2.7 раз, называется временем релаксации.

Период затухающих колебаний равен (условно)

Декремент затухания

А(t), A(t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

Циклическая частота затухающих колебаний

Собственная частота пружинного маятника

Коэффициент затухания

r — коэффициент сопротивления

ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

механическими колебаниями.

Амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна, если собственная частота этих колебаний совпадает с резонансной частотой (частотой внешней силы):

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом

Амплитуда резонансных колебаний

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

значениях δ:
1- коэффициент δ=0;
2,3,4 – реальные резонансные кривые при δ2< δ3 <δ4

Чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой

амплитуда вынужденных колебаний зависит от вынуждающей частоты и имеет резонансный максимум при ωв = ωo, поглощаемая энергия, наоборот, имеет резонансный минимум, «провал» или «яму»

С увеличением коэффициента затухания явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при

источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи.

Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями.

Автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой

ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в колебание самим маятником часов.

Важно отметить, что любая автоколебательная система нелинейна.

АВТОКОЛЕБАНИЯ

а колеблются около своих положений равновесия

Вместе с волной от частицы к частице, передается состояние колебательного движения и его энергия

Основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества

Волна ─ процесс распространения колебаний в пространстве

их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Продольные
- волны, при распространении которых частицы среды колеблются в направлении распространения волны

Поперечные –
волны, при распространении которых частицы среды колеблются в направлении перпендикулярном распространению волны

в твердой, жидкой и газообразной средах

в твердой, среде

деформациями сдвига. Возможны только в твердых телах

ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ

Продольные волны связаны с упругими деформациями сжатия и растяжения. Возможны в газах, жидкостях, твердых телах

- модуль Юнга

волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими

Волновая функция

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ

ν – частота

Т– период

скорость распространения волны

в момент времени t. В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны.
Фронт волны – один. Фронт волны все время перемещается

Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Число волновых поверхностей – бесконечно. Волновые поверхности неподвижны

ВИДЫ ВОЛН ПО ВОЛНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Плоская - волна, фазовые поверхности которой представляют собой совокупность параллельных друг другу плоскостей

Сферическая - волна, фазовые поверхности которой представляют собой совокупность концентрический сфер

энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектором Умова)

Вектор Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны

Умов Николай Алексеевич
(1846-1915)

волновая функция ξ носит гармонический характер

чтобы пройти путь x необходимо время

уравнение бегущей волны

так

УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Скорость распространения волны (скорость перемещения фазы волны), называют фазовой скоростью. Из формулы для волнового числа получим формулу для фазовой скорости

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой

колебательный процесс называемый стоячей волной.
Практически стоячие волны возникают при отражении от преград (частный случай интерференции)

или

уравнение стоячей волны

суммарная амплитуда

координаты пучностей

(n=0, 1, 2..)

Если

Если

координаты узлов

(n=0, 1, 2..)