Метод минимизации энергии. Основы классической молекулярной динамики

Август 2, 2022

Главная
Физика
Метод минимизации энергии. Основы классической молекулярной динамики

Содержание

2. Минимизация энергии (молекулярная статика) Назначение: определение равновесной структуры систем многих атомов Исх. структура Минимизация Равнов. структура
3. Метод градиентного спуска На каждом шаге осуществляется смещение в направлении, протвоположном градиенту функции, на величину, пропорциональную
4. Метод покоординатного спуска Сначала находится минимум по одной переменной, считая остальные координаты неизменными, потом по другой
5. Недостаток метода градиентного спуска При сложном рельефе функции, содержащем овраги, методы спуска могут работать медленно, так
6. Проблема нахождения глобального минимума энергии У сложной функции много локальных минимумов, невозможно однозначно найти глобальный минимум.
7. Суть метода молекулярной динамики Исх. состояние «Путешествие по фазо- Анализ, выводы ri, vi вому пространству» Структура,
8. Вехи развития МД Alder B.J., Weinwright T.E. 1957. Phase transition for a hard sphere system. IBM-704
9. Современные возможности МД T.C. Germann, K. Kadau. Trillion-atom molecular dynamics becomes a reality. Int. J. Modern
10. Основные задачи, решаемые с помощью МД Жидкости: равновесные, неравновесные, простые, многокомпонентные, вязкость, теплопроводность, кипение,… Дефекты в
11. Ограничения классической МД ħ=1.05×10-34 Дж⋅с, b=3 ×10-10 м Ограничения, связанные с возможностями интегрирования уравнений движения:
12. Этапы решения задач исследования материалов и процессов методом МД Инициализация системы Решение уравнений движения, получение информации
13. Инициализация систем для моделирования в МД Описание потенциала межатомного взаимодействия Задание исходного состояния, то есть координат
14. Роль поверхности в свойствах атомных систем R Ns N С уменьшением R влияние поверхностных атомов возрастает.
15. Периодические граничные условия Для исключения влияния поверхности применяются периодические граничные условия (ПГУ): центральная ячейка (ячейка моделирования
16. Свойство расчетной ячейки При использовании ПГУ границы ячейки можно сдвигать как целое , то есть можно
17. Правило ближайшей частицы Пусть в расчетной ячейке N атомов. Представим, что частица 1 находится в центре
18. Правило ближайшей частицы и радиус обрезания потенциала При использовании правила ближайшей частицы радиус обрезания потенциала не
19. Методы интегрирования уравнений движения Ошибки при решении уравнений движения 1. Ошибки отбрасывания (усечения), связанные с неточностью
20. Алгоритм Верле
21. Список соседей При расчете взаимодействий атома i учитываются только атомы, находящиеся в сфере радиуса r1, которые
22. Микроскопическая информация, получаемая в результате решения уравнений движения 0 1 2 3 4 5 ……………………..k…………………………… NT
23. Расчет термодинамических величин Средняя потенциальная энергия Средняя кинетическая энергия Полная энергия Температура
24. Поведение полной энергии при моделировании точное решение накопление ошибок накопление ошибок За счет накопления ошибок полная
25. Калорическая кривая (зависимость внутренней энергии от температуры) При температуре Tt внутренняя энергия испытывает скачок, так как
26. Определение температуры плавления твердого тела При моделировании, ввиду отсутствия зародышей новой фазы, имеет место перегрев при
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Минимизация энергии (молекулярная статика)
Назначение: определение равновесной структуры систем многих атомов
Исх. структура

Минимизация Равнов. структура

Используемые методы: математические методы минимизации функций многих переменных; метод МД релаксации

Слайд 3

Метод градиентного спуска
На каждом шаге осуществляется смещение в направлении, протвоположном градиенту

функции, на величину, пропорциональную модулю градиента

Слайд 4

Метод покоординатного спуска
Сначала находится минимум по одной переменной, считая остальные координаты

неизменными, потом по другой и т.д. Когда все координаты перебраны, все поворяется по новой, пока не будет достигнута тербуемая точность

Слайд 5

Недостаток метода градиентного спуска
При сложном рельефе функции, содержащем овраги, методы спуска

могут работать медленно, так как точка, изображающая конфигурацию, будет «прыгать» с одного берега оврага на другой.

Слайд 6

Проблема нахождения глобального минимума энергии
У сложной функции много локальных минимумов, невозможно

однозначно найти глобальный минимум. Можно с какой-то вероятностью определить его, начиная процесс минимизации с различных исходных конфигураций и выбирая локальный минимум с наименьшей энергией.

Слайд 7

Суть метода молекулярной динамики
Исх. состояние «Путешествие по фазо- Анализ, выводы
ri, vi вому

пространству»

Структура,
Т/д свойства
(энергия, энтропия,
теплоемкость,…)
Кинетические свойства
(коэф-т диффузии,
теплопроводность,…)
Мех-змы деформации,
Фазовые переходы,
…

Основан на решении системы уравнений движения системы частиц. Дает полную информацию о микроскопическом состоянии системы в любой момент времени.
МД – наиболее универсальный, мощный метод моделирования атомной структуры материалов и процессов, происходящих в материалах

Слайд 8

Вехи развития МД
Alder B.J., Weinwright T.E. 1957. Phase transition for a

hard sphere system. IBM-704 (4 Кфлоп)
Gibson J.B., Goland A.N., Milgram M., Vineyard G.-H. 1960. Dynamics of radiation damage. 500 атомов. IBM-704, 1 мин. на шаг МД
Rahman A. 1964. Correlations in the motion of atoms in liquid argon. 864 атома.
Parinello M., Rahman A. 1981. Polymorphic transitions in single crystals: a new MD method.
Nosé S. 1984. A MD method for simulations in the canonical ensemble.
Roth J., Gähler F., Trebin H.-R. 2000. A molecular dynamics run with 5.180.116.000 particles. 5×109 атомов. (Мощности компьютеров ≈1014-1015 флоп)

Слайд 9

Современные возможности МД
T.C. Germann, K. Kadau. Trillion-atom molecular dynamics
becomes a reality.

Int. J. Modern Phys. 2008.
Los Alamos National Laboratory

Суперкомпьютер: Blue Gene/L (212992 процессора IBM 700 МГц) в Lawrence Livermore Nat. Lab.
Общий объем памяти: 72 ТБ

Требуемая память на 1 атом
3 вектора (радиус-вектор, скорость, сила) – 9 чисел по 4 байта
2 целых числа (тип атома и номер атома) – 2 числа по 4 байта
Итого 44 байт
44 ТБ занимают 1012 (1 триллион) атомов

Система занимает куб со стороной 2,5 мкм
Проведено моделирование поведения в течение 10 пс

Слайд 10

Основные задачи, решаемые с помощью МД
Жидкости: равновесные, неравновесные, простые, многокомпонентные,

вязкость, теплопроводность, кипение,…
Дефекты в кристаллах: атомная структура, энергия, напряжения вакансий, межузельных атомов, дислокаций, дефектов упаковки, границ зерен…
Процессы в твердых телах: пластическая деформация, разрушение, диффузия, трения
Фазовые превращения, в том числе между агрегатными состояниями одного и того же вещества, построение фазовых диаграмм
Процессы нанотехнологии: процессы на поверхности твердых тел (перестройка поверхности, осаждение…), структура и свойства кластеров и наночастиц, больших молекул, в том числе биологических…

Слайд 11

Ограничения классической МД
ħ=1.05×10-34 Дж⋅с, b=3 ×10-10 м
Ограничения, связанные с возможностями интегрирования

уравнений движения:

Слайд 12

Этапы решения задач исследования материалов и процессов методом МД
Инициализация системы
Решение уравнений

движения, получение информации о состоянии системы в требуемые моменты времени
Анализ результатов моделирования – анализ структуры, расчет структурных характеристик и термодинамических величин и т.п.

Слайд 13

Инициализация систем для моделирования в МД
Описание потенциала межатомного взаимодействия
Задание

исходного состояния, то есть координат и скоростей частиц
Задание граничных условий

Слайд 14

Роль поверхности в свойствах атомных систем
R
Ns
N
С уменьшением R влияние поверхностных атомов

возрастает.
Для моделирования поведения макроскопических систем или дефектов в макросистемах необходимо накладывать специальные условия на атомы на границе моделируемой системы, называемые граничными условиями.

Слайд 15

Периодические граничные условия
Для исключения влияния поверхности применяются периодические граничные условия (ПГУ):

центральная ячейка (ячейка моделирования или расчетная ячейка) транслируется по всем трем осям на величины, кратные размерам ячейки в соответствующих напарвлениях, так что эффективно рассматривается бесконечное число ячеек.

1’, 1’’,… - периодичес-кие образы атома 1
3’, 3’’,… - периодичес-кие образы атома 3

1’’

3’’

1’

Слайд 16

Свойство расчетной ячейки
При использовании ПГУ границы ячейки можно сдвигать как

целое , то есть можно расположить произвольным образом по отношению к частицам. Но в процессе моделирования, раз выбрав, границы сдвигать произвольным образом не следует.

Слайд 17

Правило ближайшей частицы
Пусть в расчетной ячейке N атомов. Представим, что

частица 1 находится в центре области, которая имеет ту же форму и те же размеры, как и расчетная ячейка. Тогда все остальные N-1 атомов в этой области – это ближайшие к атому 1 периодические образы атомов рассматриваемой расчетной ячейки. По правилу ближайшей частицы, только эти частицы могут взаимодействовать с частицей 1.
Атом 1 взаимодействует с атомом 2, 3Е, 4Е и 5С. Использование правила ближайшей частицы упрощает расчет энергии и сил взаимодействия.

Слайд 18

Правило ближайшей частицы и радиус обрезания потенциала
При использовании правила ближайшей частицы

радиус обрезания потенциала не должен превышать половину размера расчетной ячейки в каждом направлении, иначе в расчет могут быть включены не только ближайшие частицы (например, 3 и 4 наряду с 3Е, 4Е).

Общее правило:
Hx, Hy, Hz > 2rc

Слайд 19

Методы интегрирования уравнений движения
Ошибки при решении уравнений движения
1. Ошибки

отбрасывания (усечения), связанные с неточностью метода конечных разностей по сравнению с истинным решением. Методы конечных разностей основаны разложении в ряд Тейлора, усеченный на некотором члене, откуда и происходит название ошибок. Присущи алгоритму решения.
2. Ошибки округления, связанные с реализацией алгоритма. Например, они связаны с конечным числом цифр в представлении числа в компьютере.

известны

Δt – шаг времени

Слайд 20

Алгоритм Верле

Слайд 21

Список соседей
При расчете взаимодействий атома i учитываются только атомы, находящиеся

в сфере радиуса r1, которые вносятся в список соседей этого атома; через определенное число шагов список обновляется.

Слайд 22

Микроскопическая информация, получаемая в результате решения уравнений движения
0 1 2 3

4 5 ……………………..k…………………………… NT

0 t1 t2 t3 t4 t5 …………………………………………………… tNT

Решением уравнений движения добывается информация о состоянии системы - координатах и скоростях всех частиц в любой момент времени. Эта информация далее используется для анализа структуры и расчета макроскопических физических величин

Слайд 23

Расчет термодинамических величин
Средняя потенциальная энергия
Средняя кинетическая энергия
Полная энергия
Температура

Слайд 24

Поведение полной энергии при моделировании
точное решение
накопление ошибок
накопление ошибок
За счет накопления

ошибок полная энергия в процессе моделирования может постепенно изменяться. Тогда необходимо повысить точность расчетов путем уменьшения шага времени.

Слайд 25

Калорическая кривая (зависимость внутренней энергии от температуры)
При температуре Tt внутренняя энергия

испытывает скачок, так как потенциальная энергия скачкообразно изменяется. В реальных твердых телах это происходит при температуре плавления, то есть Tt = Tm благодаря наличию зародышей новой фазы.

Слайд 26

Определение температуры плавления твердого тела
При моделировании, ввиду отсутствия зародышей новой фазы,

имеет место перегрев при нагреве и переохлаждение при охлаждении. Поэтому температуру плавления находят по определению.
По определению, температура плавления – это температура, при которой твердая и жидкая фазы сосуществуют, имея одинаковую свободную энергию.

Точка мех. неуст-сти кр-ла
Tкр≈1.4Tпл

Метод минимизации энергии. Основы классической молекулярной динамики

Содержание

Минимизация энергии (молекулярная статика)Назначение: определение равновесной структуры систем многих атомовИсх. структура

Метод градиентного спускаНа каждом шаге осуществляется смещение в направлении, протвоположном градиенту

Метод покоординатного спускаСначала находится минимум по одной переменной, считая остальные координаты

Недостаток метода градиентного спускаПри сложном рельефе функции, содержащем овраги, методы спуска

Проблема нахождения глобального минимума энергииУ сложной функции много локальных минимумов, невозможно

Суть метода молекулярной динамикиИсх. состояние «Путешествие по фазо- Анализ, выводыri, vi вому

Вехи развития МДAlder B.J., Weinwright T.E. 1957. Phase transition for a

Современные возможности МДT.C. Germann, K. Kadau. Trillion-atom molecular dynamicsbecomes a reality.

Основные задачи, решаемые с помощью МД Жидкости: равновесные, неравновесные, простые, многокомпонентные,

Ограничения классической МДħ=1.05×10-34 Дж⋅с, b=3 ×10-10 мОграничения, связанные с возможностями интегрирования

Этапы решения задач исследования материалов и процессов методом МДИнициализация системыРешение уравнений

Инициализация систем для моделирования в МД Описание потенциала межатомного взаимодействия Задание

Роль поверхности в свойствах атомных системRNsNС уменьшением R влияние поверхностных атомов

Периодические граничные условияДля исключения влияния поверхности применяются периодические граничные условия (ПГУ):

Свойство расчетной ячейки При использовании ПГУ границы ячейки можно сдвигать как

Правило ближайшей частицы Пусть в расчетной ячейке N атомов. Представим, что

Правило ближайшей частицы и радиус обрезания потенциалаПри использовании правила ближайшей частицы

Методы интегрирования уравнений движения Ошибки при решении уравнений движения1. Ошибки