Содержание
- 2. В результате получим: (2) (3) где xк – длина тела вращения; Рис. 1. Тело вращения с
- 3. Отдельные образцы летательных аппаратов выполняются в виде тонких заостренных тел вращения (некоторые типы ракет, артиллерийских снарядов
- 4. В соответствии со свойством линеаризованного возмущенного течения (5) где добавочные возмущенные составляющие скорости Поэтому имеет место
- 5. Уравнение (7) используется для исследования потока около тонких тел вращения под малым углом атаки, т.е. неосесимметричного
- 6. Тогда (9) где (10) Потенциал скоростей линеаризованного потока φ, обтекающего тело вращения под малым углом атаки
- 7. В теории линеаризованных течений φ1΄ и φ2΄ рассматриваются как функции, которые, являясь решениями уравнений движения, определяют
- 8. § 2. Расчет осесимметричного обтекания Задача о линеаризованном осесимметричном обтекании тонкого тела вращения будет решена, если
- 9. Решение (15) представляет собой потенциальную функцию от источников, непрерывно распределенных вдоль оси тела. Найденное решение отражает
- 10. Таким образом для расчета скорости по формуле (18) необходимо знать форму тела вращения и распределение площади
- 11. После подстановки (22) в (18), получим (23) где (24) Введем обозначения (25) где величины Iп определяются
- 12. В случае более общего задания функции S΄΄(x) в виде многочлена (28) выражение, аналогичное (27), можно представить
- 13. Как частный случай, из соотношения (27) можно получить выражение для составляющей скорости на тонком конусе. Для
- 14. Для тонкого тела вращения произвольной формы расчет коэффициента волнового сопротивления следует вести по формуле в которой
- 15. Интеграл в (33) может быть выражен в соответствии с (22) в виде (36) Здесь N1 –
- 16. В аэродинамически подобных потоках тела вращения испытывают такие осевые усилия, что отношения сх в / β02
- 18. Скачать презентацию
В результате получим:
(2)
(3)
где xк – длина тела вращения;
Рис. 1. Тело вращения
В результате получим:
(2)
(3)
где xк – длина тела вращения;
Рис. 1. Тело вращения
Отдельные образцы летательных аппаратов выполняются в виде тонких заостренных тел
Отдельные образцы летательных аппаратов выполняются в виде тонких заостренных тел
Рассмотрим задачу об установившемся обтекании тонких тел, установленных под малыми углами атаки. Возмущенное течение около таких тел мало отличается от невозмущенного. Такое течение может быть исследовано при помощи соответствующих линеаризованных уравнений аэродинамики.
Линеаризованные уравнения получаются из общих уравнений движения в цилиндрических координатах и уравнения неразрывности.
Уравнение для потенциальной функции имеет вид
(4)
Уравнение (4) используют для определения параметров движения (уравнение потенциала скоростей).
В соответствии со свойством линеаризованного возмущенного течения
(5)
где добавочные возмущенные составляющие скорости
Поэтому
В соответствии со свойством линеаризованного возмущенного течения
(5)
где добавочные возмущенные составляющие скорости
Поэтому
для скорости звука, в котором принимаем
Внеся в уравнение (4) это соотношение, а также значения (5) и величины
и учитывая, что вторые производные от φ΄ являются величинами второго порядка малости и можно пренебречь членами, содержащими произведения этих производных и возмущенных составляющих скорости Vx΄, Vr΄ или Vν΄. В результате находим линеаризованное дифференциальное уравнение для добавочной величины потенциальной функции φ΄
(6)
Разделим все члены этого уравнения на
(7)
Уравнение (7) используется для исследования потока около тонких тел вращения
Уравнение (7) используется для исследования потока около тонких тел вращения
и, следовательно
(8)
Уравнения (7) и (8) составляют теоретическую основу аэродинамики стационарных линеаризованных течений около тонких тел вращения. В результате решения этих уравнений определяют потенциал возмущения φ΄. Решение уравнения для потенциала φ΄ ведется при следующих граничных условиях. На границе возмущенной области потенциал φ΄ должен быть равен нулю. В данном случае такой границей является поверхность слабой ударной волны, возникающей перед тонким заостренным телом и представляющей собой фактически линию слабого возмущения (простую волну сжатия) или линию Маха с углом наклона образующей к направлению вектора скорости , равным
На поверхности обтекаемого тела потенциал φ΄ должен удовлетворять условию безотрывного обтекания, в котором функцию, описывающую обтекаемую поверхность вращения, можно представить в виде
Тогда
(9)
где
(10)
Потенциал скоростей линеаризованного потока φ, обтекающего тело вращения под малым углом
Тогда
(9)
где
(10)
Потенциал скоростей линеаризованного потока φ, обтекающего тело вращения под малым углом
(11)
Рис. 2. Тонкое тело вращения в линеаризованном потоке под малым углом атаки:
а – неосесимметричное обтекание; б – осесимметричное обтекание;
в – добавочное поперечное обтекание
В теории линеаризованных течений φ1΄ и φ2΄ рассматриваются как функции,
В теории линеаризованных течений φ1΄ и φ2΄ рассматриваются как функции,
Добавочный потенциал от поперечного обтекания должен быть таким, чтобы на поверхности тела исчезла радиальная составляющая набегающего потока
Эта составляющая скорости может быть как сверхзвуковой, так и дозвуковой.
Коэффициент давления определяется по формуле
(12)
Эту величину коэффициента давления можно представить в виде суммы двух составляющих, т.е.
определяется условиями осесимметричного обтекания:
(13)
а другая - поперечным обтеканием, зависящим от угла атаки:
(14)
§ 2. Расчет осесимметричного обтекания
Задача о линеаризованном осесимметричном обтекании тонкого
§ 2. Расчет осесимметричного обтекания
Задача о линеаризованном осесимметричном обтекании тонкого
Представим теперь, что в некоторой точке х = ε на оси тела находится источник жидкости с расходом (интенсивностью) q. Потенциал скоростей, индуцируемый этим источником в точке с координатами (х, р), расположенной на шаровой поверхности радиуса
будет определяться в виде
Если теперь представить, что вдоль оси тела на участке от ε = 0 до ε = х – α΄r расположена система источников с переменной интенсивностью q = – 4π f(ε), отнесенной к единице длины, то суммарный потенциал в рассматриваемой точке (x, r) от действия всех источников выразится формулой
(15)
Решение (15) представляет собой потенциальную функцию от источников, непрерывно распределенных
Решение (15) представляет собой потенциальную функцию от источников, непрерывно распределенных
Закон распределения источников (стоков), т.е. вид функции f(ε), должен быть таким, чтобы в результате наложения невозмущенного потока на течение от этих источников одна из линий тока суммарного потока совпадала с образующей тела вращения, т.е. φ1΄ должна удовлетворять условию безотрывного обтекания.
Воспользовавшись условием безотрывного обтекания, получим зависимость для определения функции f(х) :
f(х) = – r (dr / dx) V∞ . (16)
Это уравнение можно записать в виде
(17)
где S(x) = π r 2 – текущее значение площади поперечного сечения тонкого тела.
Выражение (17) для функции f(x), определяющей закон распределения источников вдоль оси в предельном случае при r → 0, можно использовать для расчета составляющей скорости, необходимой при вычислении давления на поверхности тонких реальных тел вращения. В результате
(18)
Таким образом для расчета скорости по формуле (18) необходимо знать
Таким образом для расчета скорости по формуле (18) необходимо знать
Пусть, например, имеем тело вращения с параболической образующей (рис. 1), уравнение которой задано в виде
(19)
где (хмид – расстояние от носка до места миделева сечения тела вращения с радиусом r мид).
В соответствии с уравнением (19) площадь поперечного сечения
(20)
Найдем отсюда вторую производную:
(21)
Произведя замену х на ε = х – α΄r ch z , найдем
(22)
После подстановки (22) в (18), получим
(23)
где (24)
Введем обозначения
(25)
где величины Iп определяются в
После подстановки (22) в (18), получим
(23)
где (24)
Введем обозначения
(25)
где величины Iп определяются в
(26)
В соответствии с обозначением (25)
(27)
В случае более общего задания функции S΄΄(x) в виде многочлена
(28)
выражение,
В случае более общего задания функции S΄΄(x) в виде многочлена
(28)
выражение,
(29)
Коэффициенты ап зависят от вида образующей тела вращения, а bп также от скорости V∞ . Значения функции ixn для n = 0,1,2, представленные в виде (25), соответствуют заданию образующей тела по уравнению параболы второй степени.
Для тела вращения с уравнением образующей более высокой степени необходимо вычислять значения ixn для n = 3,4, и т.д. В частности, если уравнение образующей таково, что производная S΄΄(x) (см. (28)) определяется по уравнению
(28΄)
то в соответствии с (29) составляющая скорости
(29΄)
где ixn вычисляется для значений n = 0,1,2, по формулам (25), а для n = 3 из выражения
(30)
Как частный случай, из соотношения (27) можно получить выражение для
Как частный случай, из соотношения (27) можно получить выражение для
Тогда
(31)
Имея в виду, что в соответствии с (25) и (26) для конуса
где
напишем для составляющей скорости
(31΄)
По найденным значениям Vx1΄ можно найти по формуле (13) коэффициент давления на поверхности тела вращения в соответствующей точке. В частности на конической поверхности, где добавочная составляющая скорости определяется по (31΄), коэффициент давления
(32)
В соответствии с тем, что зависимость (32) определяет коэффициент волнового сопротивления тонкого конуса, т.е.
(32΄)
Для тонкого тела вращения произвольной формы расчет коэффициента волнового сопротивления
Для тонкого тела вращения произвольной формы расчет коэффициента волнового сопротивления
в которой коэффициент давления в соответствии с (18) и (13)
(33)
Полагая dr / dx = tg ≈ β, найдем формулу для коэффициента волнового сопротивления
(34)
где
Для параболической образующей с уравнением r = (rмид / xмид ) · x · (2 – x / xмид) производная
(35)
Интеграл в (33) может быть выражен в соответствии с (22) в
Интеграл в (33) может быть выражен в соответствии с (22) в
(36)
Здесь N1 – некоторая функция безразмерной координаты и параметра u, определяемого из условия
(37)
где u0 = 1 / (α΄β0). Принимая во внимание (35) – (37), зависимость (33) можно представить в следующем общем виде
(38)
где N – некоторая функция параметра u0 и безразмерной координаты
С учетом (38) коэффициент волнового сопротивления (34)
(39)
где D – некоторая функция только параметра u0 .
Общие формулы (38) и (39) позволяют сделать следующий вывод об аэродинамическом подобии потоков около параболических тел вращения: Если эти потоки характеризуются одним и тем же значением параметра u0, то в
соответственных точках с одинаковыми безразмерными координатами будут одинаковы отношения
В аэродинамически подобных потоках тела вращения испытывают такие осевые усилия,
В аэродинамически подобных потоках тела вращения испытывают такие осевые усилия,
(40)
Для чисел М∞ >> 1 параметр u0 можно представить в виде
(41)
где K1 = β0 М∞ = М∞ / λмид .
Умножая обе части (38) на М∞2 и учитывая зависимость (41), найдем
(42)
где N2 – некоторая функция аргументов K1 и . В соответствии с выражением (42) в
данной точке функция давления (р1 / р ∞ – 1) зависит только от параметра K1. Закон подобия по этому параметру подтверждается также результатами расчета по методу характеристик.
Из выражения u0 = (α΄ β0) -1 следует, что если тело вращения тонкое, т.е. удлинение велико, то для сохранения неравенства u0 > 1 необходимо выполнить условие М∞ → 1. Если же число М∞ → 1, то, как следует из формулы (31΄), возмущенная скорость по абсолютной величине достигает бесконечно большого значения, что физически невозможно.