Синхронизация периодических автоколебаний. Эффективная синхронизация в присутствии шума

Вынужденная
синхронизация

Взаимная
синхронизация

В результате взаимодействия происходит согласование периодов, захват частот и фаз автоколебаний.

Маятники двух часов, подвешенных к одной и той же деревянной балке двигались всегда в противоположные стороны, а периоды колебаний точно совпадали. Если такой порядок искусственно нарушался, то он сам восстанавливался в короткое время. Т.е. часы синхронизовались в противофазе за счет связи через балку.

Христиан Гюйгенс
1629 -- 1695

1920 г., В. Экклес, Дж. Винсент – экспериментально установлен и исследована взаимна синхронизация двух триодных автогенераторов.
1927 г., Э. Эпплтон, Б. Ван дер Поль – основы теории эффекта синхронизации триодного автогенератора внешним гармоническим сигналом.

Первая половина XX в. – исследование и применение синхронизации в радиотехнике.

Балтазар Вар дер Поль
1889 -- 1959

Александр Александрович
Андронов
1901 -- 1952

Синхронизация в живых системах

Все биологические системы имеют внутренние биологические часы.
Эти часы могут подстраивать свои ритмы ко внешним сигналам.

1727 г. Синхронизация свечения роя светлячков (Э. Кэмпфер).
1729 г. Листья фасоли поднимаются и опускаются в соответствии со сменой дня и ночи (Ж. Ж. Дорту де Меран).

Области синхронизации на плоскости параметров, характеризующих частотную расстройку и степень взаимодействия систем
(качественный рисунок)

Синие линии – синхронизация через захват фазы автоколебаний;
красные линии синхронизация через подавление автоколебаний.
θ -- отношение частот парциальных систем в области синхронизации

a и ω1 – амплитуда и частота внешней силы, ϕ0 – начальная фаза внешней силы (положим, для простоты, ϕ0 = 0 ) .
Рассмотрим синхронизацию на основном тоне.
Считаем малыми
расстройку частот Δ = ω0 -- ω1 ,
нелинейность ε .
Решение ищется на частоте воздействия.

(1)

(3)

где A( t ) и ϕ( t ) – медленно меняющиеся функции по сравнению с
sin(ω1 t ), cos( ω1 t ). Подставляя эти выражения в исходное уравнение
и усредняя за период воздействия, получаем укороченные уравнения
для амплитуды A( t ) и фазы ϕ( t ).

(2)

Замена переменных:

где Δc =μ / A0 .
Состояния равновесия (4):

(4)

Уравнение для малого отклонения θ фазы ϕ от состояния равновесия.

Решение ϕ c2 -- устойчиво, а ϕ c1 – неустойчиво.

В этой области в системе (1) существуют устойчивые и неустойчивые периодические колебания на частоте воздействия. Разность фаз между колебаниями и воздействием постоянна.

На границе области синхронизации происходит слияние и исчезновение точек равновесия ϕ c12 . Вне области синхронизации уравнение (4) имеет решение

Область синхронизации

0

характеризует расстройку частоты автоколебаний и воздействия.

Модель (4) качественно описывает синхронизацию АК через захват фазы и частоты, но не описывает эффект подавления автоколебаний сигналом воздействия.

Зависимость средней частоты
биений в модели (4) от расстройки

Профиль потенциала U(ϕ ) в случае захвата фазы при Δ ≠ 0

Синхронизация соответствует наличию потенциальных ямок.
В этом случае частица все время остается на дне ямки (разность фаз ϕ = const ). В отсутствии синхронизации нет минимумов потенциала и частица скатывается вниз по потенциальному профилю.

Бифуркационная диаграмма системы (3).

Линии la и lc соответствуют
седло—узловой бифуркации в (3);
lb обозначает линию бифуркации Андронова – Хопфа;
ld -- линия перестройки C1 в C2;
lh --бифуркация рождения тора из резонансного цикла в исходной систем (1);
B и C -- точки сборки, куда входят линии la и lc;
D – точки Богданова – Такенса, в которых сходятся линии la и lb

Область II

Область III (ниже ld )

Область III (выше ld )

R1:

R2:

R3:

R4:

Линия ld соответствует образованию петли сепаратрисы седла и кризису инвариантной кривой C2 в области синхронизации. Вне области синхронизации на продолжении этой линии (штрих—пунктир) в полной системе (1) бифуркации не наблюдается. Тор C2 эволюционирует в C1.

Проблема синхронизации генератора типа Ван дер Поля в присутствии шума была решена в начале 60-х годов XX в. в работах Р.Л. Стратоновича и А. Н. Малахова. Рассматривалась задача при условии, что мощность шума гораздо меньше мощности гармонического воздействия и источник шума можно описать гауссовским
δ--коррелированным процессом.

Руслан Леонтьевич
Стратонович
1930 -- 1997

где ξ ( t ) – гауссовский шум со средним < ξ ( t )> ≡ 0 и корреляционной функцией < ξ ( t ) ξ ( t + τ ) > = δ (τ ) . Величина D0 характеризует интенсивность шума.
Решение стохастического уравнения (5) есть случайный процесс x( t ).
Считая x( t ) гармоническим (узкополосным) шумом ищем решение в виде (2), где A( t ) и ϕ( t ) – случайные функции, медленно меняющиеся по сравнению с sin(ω1 t ), cos(ω1 t ).

(5)

Вынужденная синхронизация автогенератора в присутствии шума. Классическая теория

(6)

где ϕ -- мгновенная разность фаз автоколебаний и внешней силы,
μ = a/2ω1, Δ = ω0 -ω1 , D = D0 /2ω12. Случайные воздействия ξ1 ( t ) и ξ2 ( t ) – независимые гауссовские источники белого шума: < ξ1,2 ( t )> ≡ 0,
< ξ1,2 ( t ) ξ1,2 ( t + τ ) > = δ (τ ) .
Если a << ε, D << ε, то возмущением амплитуды автоколебаний можно пренебречь и считать A = A0 . В этом случае поведение разности фаз можно приближенно описать следующим стохастическим уравнением

(7)

где Δc =μ / A0 .

Наличие шума приводит к диффузии разности фаз ϕ: фаза ϕ флуктуирует вблизи минимумов потенциала и совершает случайные переходы из одной потенциальной ямы в другую, меняясь скачком на 2π.

Зависимость мгновенной разности фаз ϕ от времени для нескольких значений интенсивности шума. Параметы: Δ = 0.06, μ = 0.15

где Q = D/ A02. Если считать, что ϕ ∈ [ -- π, π ] и рассматривать уравнение (8) при периодических граничных условиях, то можно найти стационарное решение в виде:

(8)

где C – нормировочная константа.
Зная стационарную плотность вероятности pst(ϕ) можно рассчитать среднюю частоту <Ω (t)> = <ω ( t ) > -- ω1 :

Хотя распределение величины ϕ (t) (если считать, что ϕ ∈ [ -- ∞, ∞ ] ),
задаваемой СДУ (7), не является гауссовским, и, соответственно, ϕ (t) нельзя считать винеровским процессом, однако дисперсия < ϕ 2(t) > -- < ϕ (t) >2 растет во времени по линейному закону. Соответствующий
Угловой коэффициент называют коэффициентом эффективной диффузии разности фаз: