Синхронизация хаотических автоколебаний

С накоплением знаний о хаотической динамике нелинейных систем возникла потребность обобщить теорию синхронизации автоколебаний (АК) на этот случай.
Что считать синхронизацией хаоса?
Синхронизация в смысле захвата мгновенных фаз и характерных
частот (частотно--фазовая синхронизация);
синхронизация как полная идентичность колебаний
взаимодействующих систем (полная синхронизация).

Что такое спиральный хаос?
Траектории вращаются вокруг состояния равновесия почти регулярно, т.е. время возврата к секущей плоскости слабо флуктуирует относительно среднего значения Tc .
2. Можно ввести мгновенную фазу хаотических колебаний одним из следующих способов:

используя преобразование Гильберта

(1)

как угол вращения траектории в некоторой проекции аттрактора

(2)

(3)

В спектре мощности имеется узкая спектральная линия,
соответствующая главному спектральному максимуму. Ее ширина определяется коэффициентом эффективной диффузии мгновенной фазы Φ ( t ) и составляет величину порядка 10-5 – 10-4 безразмерных единиц. Частота максимума ω0 (базовая частота хаотических автоколебаний) должна совпадать со средней частотой ωср:

(4)

Проекция аттрактора

Спектр мощности

(5)

Модель:

α = β = 0.2, параметр μ управляет режимом автоколебаний, параметр Ω управляет базовой частотой автоколебаний, С – амплитуда внешнего воздействия, ωex – частота воздействия.

Рассмотрим синхронизацию хаоса на основном тоне: значение частоты воздействия ωex близко к Ω . Можно ввести параметр частотной расстройки Δ = ωex - Ω , значения которого полагаются малыми. Положим Ω = 1 и μ = 6.5 и будем менять ωex и С.

(6)

C =0.05, Δ = 0.06

C =0.05, Δ = 0.065

x– y проекции стробоскопических сечений

C =0.05, Δ = 0.06

C =0.05, Δ = 0.065

На диаграмме отмечены области следующих режимов:
1 и 1’ – синхронные хаотические колебания, 2 – несинхронный хаос; 3 – окно устойчивости периодических режимов в области синхронного хаоса (это – предельный цикл с периодом
T = 5⋅2π /ωex и циклы, возникающие из него в результате бифуркаций удвоения периода); 4 – область бистабильности периодических режимов и синхронного хаоса.

Блок – схема системы двух связанных генераторов Анищенко – Астахова: 1 – линейные усилители с управляемыми коэффициентами усиления, 2 – инерционные нелинейные преобразователи, 3 – блок связи (3’ – однонаправленная связь, 3” – взаимная связь).

Первый генератор находится в периодическом режиме, а второй – в режиме спирального хаоса.
Расстройка базовых частот Δ = ω2 - ω1 – мала.
(а) – спектр сигнала воздействия; (б) – спектр автономных колебаний второго генератора; (в – ж) – спектры колебаний второго автогенератора при различной величине частотной расстройки. Параметр связи возрастает слева направо.

а

б

ω1

ω2

в

г

д

е

ж

(а) – сигнал воздействия; (б – е ) – колебания второго генератора при фиксированной частотной расстройке и различной величине параметра связи. Параметр связи возрастает сверху вниз

а

б

в

г

д

е

ω1

ω1

ω1

ω1

ω1

ω2

ω2

ω2

Обозначения: l12 – линия взаимного захвата базовых частот на границе области синхронизации периодических колебаний удвоенного периода 2T0; l2k (k = 1, 2, 4) – линии удвоения периода циклов kT0; l0k (k =1, 2) – линии, соответствующие подавлению одной из базовых частот (более высокой); kT0 – области периодических колебаний с соответствующим периодом (k = 2, 3, 4, 8); T0 – область периодических колебаний с периодом T0 = 2π /ω0. Отмечены области синхронизации с соотношением частот 5/4 и 4/3 . Выделены три области синхронного хаоса (CA0, CA0’, CA3) и область несинхронного хаоса (CA2)

Рассмотрим систему однотипных взаимодействующих осцилляторов

(7)

где α1 и α2 – векторные параметры осцилляторов. Если α1 = α2, то парциальные системы полностью идентичны. Функция g(…) определяет характер связи, причем g(x1,x1) = g(x2,x2) = 0. В случае полной идентичности парциальных осцилляторов в фазовом пространстве системы (6) существует инвариантное многообразие U (x1 = x2), называемое симметричным подпространством. Фазовые траектории, лежащие в U, соответствуют полностью синхронным колебаниям.

Полная синхронизация хаоса в двух связанных осцилляторах
Рёсслера

Модель:

(8)

y2

U

U