Уравнение Шредингера

Август 3, 2022

Главная
Физика
Уравнение Шредингера

Содержание

2. Найдем уравнение, которому подчиняются волны де-Бройля. Сначала рассмотрим свободную нере-лятивистскую частицу. Для такой частицы имеем уравнения
3. Свободной частице соответствует плоская волна де-Бройля: Продифференцируем эту формулу по t, x, y, z: и выразим
4. Подставляя это в формулу (9.1), получаем: или
5. Это и есть искомое волновое уравнение для свобод-ной нерелятивистской частицы (уравнение Шре-дингера в простейшей форме): (9.2)
6. Зависимость волновой функции от времени выражается множителем: Поэтому волновая функция может быть представ- лена в виде
7. Уравнение Шредингера Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения Шредингера: Нестационарное (9.2) для свободной частицы
8. Приведенные рассуждения следует рас-сматривать как пояснения к тому, каким образом было установлено уравнение Шредингера, но не
9. Уравнение Шредингера содержит первую производную по времени и вторые по координатам. Поэтому никаких реальных волн, распространяющихся
10. Терминология Уравнение Шредингера в зависимости от вида функции U может иметь решения, удовлетворяющие естественным услови-ям (конечности,
11. В частности, очень важным является условие нормировки: то, что частица где-то находит-ся, есть достоверность, поэтому или
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Найдем уравнение, которому подчиняются волны де-Бройля. Сначала рассмотрим свободную нере-лятивистскую частицу.

Для такой частицы имеем уравнения де-Бройля (5.2) и (5.3):
а также формулу для кинетической энергии, которая в данном случае совпадает с полной энергией, т.к. у свободной частицы потенциальная энергия = 0:
Сравнивая оба выражения для энергии E, находим
(9.1)

Слайд 3

Свободной частице соответствует плоская волна де-Бройля:
Продифференцируем эту формулу по t, x,

y, z:
и выразим отсюда ν, kx, ky, kz

Слайд 4

Подставляя это в формулу (9.1), получаем:
или

Слайд 5

Это и есть искомое волновое уравнение для свобод-ной нерелятивистской частицы (уравнение

Шре-дингера в простейшей форме):
(9.2)
Для частицы, движущейся в потенциальном поле ки-нетическая энергия T = E - U, поэтому уравнение (9.2) должно быть записано (обобщено) в виде:
(9.3)
Это общее нестационарное (содержащее время) уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г., но-белевская премия 1933г) для частицы в потенци-альном поле U.

Слайд 6

Зависимость волновой функции от
времени выражается множителем:
Поэтому волновая функция может быть представ-
лена

в виде
откуда
(9.4)
Подставляя (9.4) в (9.2) и (9.3), находим:
и
Это стационарное (не зависящее явно от времени) уравнение Шредингера для свободной частицы и для частицы в потенциальном поле U.

Слайд 7

Уравнение Шредингера
Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения Шредингера:
Нестационарное (9.2)
для

свободной частицы
Нестационарное для
частицы в потенциаль- (9.3)
ном поле U
Стационарное (9.5)
для свободной частицы
Стационарное для
частицы в потенциаль- (9.6)
ном поле U

Слайд 8

Приведенные рассуждения следует рас-сматривать как пояснения к тому, каким образом было

установлено уравнение Шредингера, но не как “вывод” этого урав-нения. Как и все основные уравнения фи-зики (уравнения Ньютона, Максвелла и т.д.), уравнение Шредингера не “выводит-ся”, а устанавливается, являясь, по сущес-тву, обобщением опытных фактов. Спра-ведливость этого уравнения подтвержда-ется согласием результатов, получаемых с его помощью, с данными экспериментов.

Слайд 9

Уравнение Шредингера содержит первую производную по времени и вторые по координатам.

Поэтому никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, оно не описывает. Это еще один (третий) аргумент против гипотезы волно-вого пакета и подтверждение статистичес-кой интерпретации волновой функции:

Слайд 10

Терминология
Уравнение Шредингера в зависимости от вида функции U может иметь решения,

удовлетворяющие естественным услови-ям (конечности, однозначности, непре-рывности, нормировки) либо при любых значениях E, либо лишь при некоторых дискретных значениях E.
Те значения E, при которых уравнение Шредингера имеет решение, называ-ются собственными значениями.

Слайд 11

В частности, очень важным является условие нормировки: то, что частица где-то

находит-ся, есть достоверность, поэтому
или
Это условие позволяет в процессе решения определить значения коэффициентов при собственных функциях.

Уравнение Шредингера

Содержание

Найдем уравнение, которому подчиняются волны де-Бройля. Сначала рассмотрим свободную нере-лятивистскую частицу.

Свободной частице соответствует плоская волна де-Бройля:Продифференцируем эту формулу по t, x,

Подставляя это в формулу (9.1), получаем:или

Это и есть искомое волновое уравнение для свобод-ной нерелятивистской частицы (уравнение

Зависимость волновой функции отвремени выражается множителем:Поэтому волновая функция может быть представ-лена

Уравнение ШредингераИтак, запишем еще раз все четыре формы уравнения Шредингера:Нестационарное (9.2)для