Алгебра логики

с половиной тысячелетий. Первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель (384-322 гг. до н.э.) – древнегреческий философ, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Алгебра логики – наука об операциях, аналогичных математическим, над высказываниями или над объектами, которые могут принимать только два значения – «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ».

В 1842 году английский математик Джорж Буль разработал математическую логику или алгебру логики, которую впоследствии стали называть «булевой алгеброй». Спустя 100 лет алгебра логики стала основой теории цифровых вычислительных машин, ее используют в компьютерной логике, электронике, в основе всех микропроцессорных операций.

отдельные положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления высказываний, но ближе всех к созданию математической логики подошел уже во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1716), указавший пути для перевода логики “из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно”. Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить, станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав. При этом в своих работах Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления.   

Уже в XIX веке стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным. А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

доказательств.

Мышление осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные и отличительные признаки объекта.

Высказывание – это формулировка в форме утверждения или отрицания об объекте и его свойствах. Высказывание может быть истинным или ложным.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких простых высказываний (суждений) может быть получено новое составное высказывание (суждение).

ложность составных высказываний, не вникая в их содержание

о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними;
Высказывание может быть либо истинно, либо ложно;
Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков;
Высказывания могут быть выражены только повествовательным предложением.

в середине XIX века».

Какие из предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные?

1. Какой длины эта лента? 2. Прослушайте сообщение. 3. Делайте утреннюю зарядку! 4. Назовите устройства ввода информации. 5. Кто отсутствует? 6. Париж – столица Англии. 7. Число 11 является простым. 8. 4+5=10 9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. 10. Сложите числа 2 и 5. 11. Некоторые медведи живут на Севере. 12. Все медведи – бурые. 13. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда? 14. Сумма углов треугольника – 180 градусов.

ложно.

Сложные (составные)
Получаются из простых с использованием логических операций или союзов “и”, “или”, “не”, “если то”.

Летом я поеду на дачу.
Москва – столица России. Число 27 является простым.

Летом я поеду на дачу или буду отдыхать на море.
Петров — врач и шахматист.

Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла.

Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.

буквами латинского алфавита: A, B, C…
Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)

Например, два простых высказывания:
А = «2 × 2 = 4» истина (1)
В = «2 × 2 = 5» ложь (0)
являются логическими переменными А и В

логические операции, в результате которых получаются новые высказывания

(логическое следование, «Если А, то В»)
Эквивалентность (логическое равенство (тождество), «А тогда и только тогда, когда В»)
Строгая дизъюнкция
(исключающее ИЛИ , неравнозначность, сумма по модулю 2)

называется операцией логического умножения, или конъюнкцией.

истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Таблица истинности функции логического умножения

В переводе на естественный язык «и А, и В» «как А, так и В» «А вместе с В» «А несмотря на В» «А, в то время как В»

И , , and, &, *, ·

Пример: Даны высказывания
А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА
В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ
С – «Число 10 кратно 2» = ИСТИНА А и В – «Число 10 – четное и отрицательное» - ЛОЖЬ А и С – «Число 10 как четное, так и кратно 2» - ИСТИНА

0

называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией.

истинным тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

В переводе на естественный язык «А или В»

Таблица истинности функции логического сложения

Пример: Даны высказывания
А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА
В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ
С – «Число 10 - простое» = ЛОЖЬ А или В – «Число 10 – четное или отрицательное» - ИСТИНА А или С – «Число 10 четное или простое» - ИСТИНА В или С – «Число 10 отрицательное или простое» - ЛОЖЬ

ИЛИ, , or, +

высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Таблица истинности функции логического отрицания

Пример: Даны высказывания
А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА
В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ
С – «Луна – спутник Земли» = ИСТИНА
Не А – «Неверно, что число 10 – четное» = ЛОЖЬ
Не В – «Неверно, что число 10 – отрицательное» = ИСТИНА
Не С – «Неверно, что Луна – спутник Земли» = ЛОЖЬ

В переводе на естественный язык «Не А» «Неверно, что А»

НЕ, NOT, ¬,

оборота речи «если …, то …».

тогда, когда из истины следует ложь.

От лат. implicatio – тесно связывать

Таблица истинности функции логического следования

→, ⊃, ⇒, IMP

В переводе на естественный язык «если А, то В» «В, если А» «Когда А, тогда В» «А достаточно для В» «А только тогда, когда В»

Пример: Даны высказывания
А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА
В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ
С – «Число 10 - простое» = ЛОЖЬ А В – «Если число 10 – четное, то оно - отрицательное» - ЛОЖЬ А С – «Число 10 простое, если четное» -ЛОЖЬ «Если число делится на 10, то оно делится на 5» ИСТИНА

оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».

тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.

От лат. aeguivalens – равноценное

Таблица истинности функции логического равенства

В переводе на естественный язык «А эквивалентно В» «А только тогда и только тогда, когда В»

≡, , ~, ⇔, EQV

Пример: Даны высказывания
А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА
В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ
С – «Число 10 - простое» = ЛОЖЬ А В – «Число 10 – четное, тогда и только тогда, когда оно - отрицательное» - ЛОЖЬ В С – «Число 10 такое же простое, как и отрицательное» ИСТИНА

к грамматической конструкции «либо … либо …».

из битов a или b равен 1 (единице), во всех остальных случаях, результат равен 0 (нулю).

Таблица истинности функции исключающее ИЛИ

Пример: Даны высказывания
А – «Я пойду в кино» = ИСТИНА
В – «Я пойду на каток» = ИСТИНА
С – «Я пойду в школу» = ЛОЖЬ
А ⊕ В – «Я пойду либо в кино либо на каток» - ЛОЖЬ А ⊕ С – «Я пойду либо в кино либо в школу» - ИСТИНА В ⊕ С – «Я пойду либо на каток либо в школу» - ИСТИНА

⊕, XOR

выражений

«Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он будет рыбачить.»

1

А

В

С

F=A * (B C)

2

(X>=A) * (X<=B)

«Точка Х не принадлежит интервалу [A;B]»

3

(X>=A) * (X<=B)

«Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя.»

4

В

С

D – идет дождь

В (С D)