Логика и компьютер. Логические операции. Диаграммы Эйлера-Венна

Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера.
Точки внутри круга считаются элементами множества.

x ∈ M

x ∉ M

P есть подмножество М, и записывают:
P ⊂ М

Само множество М является своим подмножеством: М ⊂ М

Пустое множество является подмножеством М: ∅ ⊂ М

Универсальное множество содержит все возможные подмножества одной приро-ды. Обозначается буквой U.

P ⊂ М

∅

P подмножество множества М: М ∩ P = P

Пересечение множеств М и М: М ∩ М = М

X ∩ Y

Пересечение множеств

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Обозначается X ∩ Y.

!

X

Y

X ∩ Y

состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов (X ∪ Y).

!

M ∪ ∅ = М

P подмножество множества М: М ∪ P = М

Объединение множеств М и М: М ∪ М = М

= {У,Р,О,К}

X ∩ Y = {К,О}

X

Y

Ш

Л

А

К

О

У

Р

Ш

Л

А

К

О

У

Р

 

?

X = {Ш,К,О,Л,А}

Y = {У,Р,О,К}

М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P. Обозначается или P ’.

!

 

 

 

P ∪ = M

алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными.
Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (В = 0).
0 и 1 называются логическими значениями.

Алгебра логики

высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Другое название: логическое умножение.
Обозначения: ∧ , ×, &, И.

Логические операции

Таблица истинности:

Графическое представление

A

B

А&В

новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Другое название: логическое сложение.
Обозначения: V, |, ИЛИ, +.

Логические операции

Таблица истинности:

Графическое представление

A

B

АVВ

высказывание, значение которого противоположно исходному.
Другое название: логическое отрицание.
Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .

Логические операции имеют следующий приоритет:
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Логические операции

Таблица истинности:

Графическое представление

A

Ā

выражении

подсчитать общее число логических операций в выражении

установить последовательность выполнения логических операций

определить число столбцов в таблице

заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции

определить число строк в таблице без шапки: m =2n

выписать наборы входных переменных

провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические
операции в соответствии с установленной последовательностью

4.
Приоритет операций: &, V

Пример построения таблицы истинности

одной из логических операций.

Логические элементы