Операции над числами с плавающей точкой

60559) — широко используемый стандарт IEEE, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой. Используется в программных (компиляторы с разных языков программирования) и аппаратных (CPU и FPU) реализациях арифметических действий (математических операций).

определяются требования к порядку- смещенный
k- кол-во разрядов выделенных под порядок
определяются требования к мантиссе-нормализованная 2 > |q x| ≥1

m *sp
m - мантисса числа
s – основание СС
p – порядок числа
10010с.с. = 0.1*103 =10000*10-2
1.определяются требования к порядку: может быть как + , так и -
2. определяются требования к мантиссе.
Для единообразия представления чисел используется нормализованная форма:
1/s <= |m| <1 (правильная дробь и после запятой цифра, отличная от нуля.)
Пример. Преобразуйте число 555,55, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой: 555,55 =0,55555 * 103
Нормализованная мантисса: 0,55555
Порядок: p = 3

точкой: короткий, длинный и расширенный.

указания на переполнение порядка или потерю значимости мантиссы.
При этом + и - переполнение идентифицируются соответственно + и -мантиссами, содержащими в обоих случаях 1 во всех цифровых разрядах. Указанием на потерю значимости служит отрицательность порядка мантиссы с 0 во всех цифровых разрядах.
При нулевых кодах порядка и мантиссы представляемое число полагается равным 0.
Нулевому порядку в коротком формате соответствует значение фиксированного смещения равное 127, а в разрядной сетке запишется двоичное представление 01111111
Отрицательному порядку -1, соответствует 127-1=126→ 01111110 Положительному порядку +1, соответствует 127+1=128→10000000,т.е. все положительные порядки имеют старший бит порядка равный 1, а отрицательные-0.

замечания

при его представлении в памяти появляется возможность считать 1-й разряд вещественного числа единичным по умолчанию. И учитывать его наличие только на аппаратном уровне. Это дает возможность увеличить диапазон представимых чисел.
Это утверждение справедливо только для короткого и длинного форматов.

0000 1010 1110 0001 0111 0001
Смещенный порядок 127+5=132 или 10000100
Запись числа в коротком формате со скрытым старшим разрядом мантиссы.
0 10000100 01101100011110101110001
Запись результата в 16-ричной с.с. 42363D71 H

в двоичную СС:
0,08910=0, 0001011000000000…02
Запишем в форме нормализованного двоичного числа: 0, 10110000000000000000 * 102100
Вычислим машинный порядок в двоичной СС:
РСМ = 01111111-100 = 01111011
Запишем число в коротком формате:
0 01111011 0110000000000000000
Шестнадцатеричная форма 3DB00000

с 24 значащими цифрами.
Нормализовать двоичное число.
Найти машинный порядок в двоичной СС.
Учитывая знак числа, записать его в 4-х байтовом машинном слове.

точкой в коротком формате

Переведем в двоичную СС:
122,187510=1111010, 00110000000000002
Запишем в форме нормализованного двоичного числа: 0, 1111010 0011000000000000 * 106
Вычислим Pcм :
Pcм = 127 +6 → 100001012С.С
Запишем число в 4-х байтовой ячейке:
0 10000101 111010 00110000 00000000
Шестнадцатеричная форма 42F46000

точкой C4011000 восстановить число. 1. Перейдем к двоичному представлению числа: 1100 0100 0000 0001 0001 0000 0000 0000 1 10001000 000000010001 00000000 00000000 восстанавливаем 1 в мантиссе 1 10001000 1000000010001 00000000 00000000

2. В старшем разряде с номером 31 записана 1, значит получен код отрицательного числа. Получим порядок числа:
pИСХ=100010002 – 011111112=10012=910
3. Запишем в виде нормализованного дв. числа с плавающей точкой с учетом знака числа: -0,100000010001000000000000·21001
В двоичной системе СС число имеет вид: -100000010,0012
Переведем число в десятичную СС:
-100000010,0012=-(1*28+1*21+1*2-3)=-258,12510

4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность)
Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Максимальное значение порядка числа:
11111112 = 12710
Максимальное значение числа составляет:
2127 = 1, 7014118346046923173168730371588 *1038
Максимальное значение положительной мантиссы равно:
223 -1 ~ 223 = 2(10*2,3) ~ 10002,3 = 10(2,3*3) ~ 107
Максимальное значение чисел обычной точности вычислений составляет 1,701411 *1038

SPzqz

Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
1.Производится выравнивание порядков чисел. Порядок меньшего (по модулю) числа принимается равным порядку большего, а мантисса меньшего сдвигается вправо на количество разрядов, равное разности порядков.
2.Производится сложение (вычитание) мантисс по правилам двоичной арифметики.
3.Нормализация результата.

В качестве результата суммирования сразу может быть взято первое слага­емое, так как при выравнивании порядков все разряды мантиссы второго слагаемого принимают нулевое значение;
Ру—Рх>m- В качестве результата суммирования может быть взято второе слагаемое;
Рх—Ру = 0. Можно приступить к суммированию мантисс;
Рх—Ру= k1(k1Ру—Рх> = k2(k2

Сложение (вычитание) мантисс производится по правилам сложения (вычитания) чисел с фиксированной точкой.

-если qz≥X, Pz увеличивается на 1, а мантисса qz сдвигается на один S-ичный разряд вправо, что дает │qz│-если │qz│ (При qz = 0 нормализация не выполняется.)
При получении порядка +pz, переполняющего разрядную сетку, должен формироваться сигнал прерывания из-за переполнения порядка.
При получении порядка -pz , переполняющего разрядную сетку, формируются нулевой результат и признак исчезновения порядка.

переполнение:
-необходимо произвести сдвиг вправо на 1 разряд,
-порядок увеличить на 1.
Рсм=130 , q= 0.100101000010000….0
Переведем число в десятичную СС:
1001,0100001000 =-(1*20+1*23+1*2-2 +1*2-7 )=9, 257812

Z=X*Y=SPx qx *SPyqy,=S(Px + Py)qx *qy = SPz qz

Деление чисел с плавающей точкой выполняется в соответствии с формулой
Z=X/Y=SPxqx/SPyqy=S(Px-Py)qx/qy = SPzqz

по модулю 2

Выходы Ki и Mi соединены со входами РгСОЛО

В РгСОЛО заносится значение состояния выходов Ki

В РгСОЛО заносится значение состояния выходов Mi

Если выполняются 2 микрооперации, то в РгСОЛО заносится результат поразрядной операции ИЛИ

в десятичную систему счисления.
Таблица 14. Исходные данные
№ вар Исх.данные №вар. Исх.данные
4175С28FH 9 41A2041
Задание 2.
Преобразовать следующие числа в формат стандарта IEEE с одинарной точностью. Результаты представить в восьми шестнадцатеричных разрядах.
Таблица 15.Исходные данные
№ варианта Исх. данные № варианта Исх. данные № варианта Исх. данные
1 9 9 -12.45 17 -9.12
2 5.32 10 6.25 18 2.86