Оптимизационные модели. Элементы линейного программирования. (Лекция 3. Тема 2)

задачу ЛП, называемую сопряженной или двойственной по отношению к исходной (прямой).

Двойственная задача по отношению к общей задаче ЛП, состоящей в нахождении максимального значения функции при ограничениях «с недостатком»

2) обе задачи являются стандартными задачами линейного программирования, причем в задаче о максимуме все неравенства вида «≤», а в задаче о минимуме вида «≥»;
3) матрица системы ограничений одной задачи является транспонированной к матрице системы ограничений другой;
4) коэффициенты при переменных целевой функции одной задачи являются свободными членами ограничений другой;
5) число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче;
6) условия неотрицательности имеются в обеих задачах.

Свойства двойственных задач ЛП:

дополняется требованием о том, чтобы найденные переменные в оптимальном плане были целыми.

Значительная часть задач по смыслу может иметь решения только в целых числах; например, число турбин, судов, животных может быть только целым числом.

всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений.
Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи ЛП.

Симплексный метод – это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.
Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод.

вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на два полупространства).

Симплексный метод – это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.
Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод.

алгебраическое описание крайних точек пространства решений. Для реализации этого перехода сначала надо привести задачу ЛП к стандартной форме, преобразовав неравенства ограничений в равенства путем введения дополнительных переменных.

2.5.1. Стандартная форма задач линейного программирования

равенства с неотрицательной правой частью.
2. Все переменные неотрицательные.
3. Целевую функцию следует или максимизировать, или минимизировать.

«≥») можно преобразовать в равенства путем добавления в левую часть неравенств дополнительных (балансных) переменных – остаточных или избыточных, которые связаны с неравенствами типа «≤» или «≥»соответственно.

Для неравенств типа «≤» в левую часть неравенства вводится неотрицательная переменная

Модель компании Mikks

Для неравенств типа «≥» в левую часть неравенства вводится неположительная переменная

Модели «диеты»

следующих условий:

стандартной (канонической) форме:

(2.1)

множество ее допустимых решений равно ∞.
Задача состоит в том, чтобы найти наилучшее решение в смысле принятого критерия (минимума целевой функции).

Оптимальное решение представляет собой одну из вершин многогранника допустимой области. Другими словами, оптимальное решение - это одно из базисных решений.

уравнений Гаусса–Жордана.

Основная идея: сведение системы m уравнений с n неизвестными к ступенчатому виду при помощи элементарных операций над строками:

1) умножение любого уравнения системы на положительное или отрицательное число;
2) прибавление к любому уравнению другого уравнения системы, умноженного на положительное или отрицательное число.

присваивая независимым переменным произвольные значения и решая затем получающуюся систему относительно базисных переменных.

? Базисным решением системы (2.2) называется решение, полученное при нулевых значениях небазисных переменных.

Например, в системе (2.2) одно из базисных решений задается как

(2.3)

него базисных переменных

что эквивалентно условию:

Так как различные базисные решения системы (2.2) соответствуют различным вариантам выбора (m) из общего числа (n) переменных хj, то число допустимых базисных решений (угловых точек) не превышает

множества S , сравнивая значения целевых функций в этих точках.

Наихудший вариант решения ЗЛП, так как требует огромного объема вычислений.

Пример: если n=50, m=25 (задача небольшой размерности), то количество переборов составит

Обычно

в направленном переборе угловых точек допустимого множества S с последовательным уменьшением целевой функции f(x).

Этот метод называют также методом последовательного улучшения решения (плана).

Джордж Бернард Данциг 
(1914-2005)

Если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение. Это решение может быть получено через конечное число шагов симплекс-методом, причем начать можно с любого исходного базиса.

нужно умножить ее на (–1)

(СТ):

в последней строке таблицы отрицательные числа (значение в последнем столбце не принимается во внимание). Если все числа неотрицательны, то процесс закончен; базисное решение (0, 0, 24, 6, 1, 2) является оптимальным; Если в последней строке имеются отрицательные числа, перейти к Шагу 2.

наименьшему отрицательному числу, и выяснить, имеются ли в нем положительные числа. Если ни в одном из таких столбцов нет положительных чисел, то оптимального решения не существует.
Если найден столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент, отметить его и перейти к Шагу 3.