Системы cчисления. Введение

Август 23, 2022

Главная
Информатика
Системы cчисления. Введение

Содержание

2. Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123,
3. Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Десятичная
4. Непозиционные системы Римская система счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
5. Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только
6. Примеры: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 =
7. Римская система счисления Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L,
8. Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля
9. Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально –
10. Позиционные системы Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления
11. Позиционные системы Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство в записи есть цифра 6,
12. Позиционные системы Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство в записи есть
13. Позиционные системы Задача: найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 имеет 3 значащих
14. Системы счисления Тема 2. Двоичная система счисления
15. Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2 10 → 2 2
16. Примеры: 131 = 79 =
17. Примеры: 1010112 = 1101102 =
18. Метод подбора 10 → 2 77 = 64 + 77 77 64 Разложение по степеням двойки:
19. Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112 0-0=0
20. Примеры:
21. Примеры:
22. Плюсы и минусы двоичной системы нужны устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет
23. Системы счисления Тема 3. Восьмеричная система счисления
24. Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10
25. Примеры: 134 = 75 = 1348 = 758 =
26. Арифметические операции сложение 1 5 68 + 6 6 28 1 1 6 + 2 =
27. Пример
28. Арифметические операции вычитание 4 5 68 – 2 7 78 ∙ (6 + 8) – 7
29. Примеры
30. Системы счисления Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления
31. Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
32. Примеры: 171 = 206 = 1BC16 = 22B16 =
33. Примеры: C73B16 = 2FE116 =
34. Арифметические операции сложение A 5 B16 + C 7 E16 1 1 6 D 916 10
35. Пример: С В А16 + A 5 916
36. Арифметические операции вычитание С 5 B16 – A 7 E16 заем ∙ 1 D D16 12
37. Пример: 1 В А16 – A 5 916
38. Системы счисления Тема 5. Другие системы счисления
39. Троичная уравновешенная система Задача Баше: Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на
41. Скачать презентацию

Слайд 2

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков

– цифр.
Числа: 123, 45678, 1010011, CXL
Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит…

Слайд 3

Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень,

1 баран, …)
Десятичная египетская система счисления:

– 1
– 10
– 100

– 1000
– 10000
– 100000

– 1000000

чёрта

хомут

верёвка

лотос

палец

лягушка

человек

= ?

Слайд 4

Непозиционные системы
Римская система счисления:
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая

ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

Слайд 5

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая

цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =

1000

+ 500

+ 100

– 10

+ 50

– 1

+ 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

M M

CCC

LXXX

= 1644

Слайд 6

Примеры:
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

Слайд 7

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры

(V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов
номера месяцев

Слайд 8

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля

Слайд 9

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная

система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

3 7 8

2 1 0

разряды

300

= 3·102 + 7·101 + 8·100

Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Слайд 10

Позиционные системы
Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»?

Определите основание системы счисления X.

в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим правую часть в десятичную систему
решаем уравнение

58 = 46x

1 0

58 = 46x

= 4·x1 + 6·x0

= 4·x + 6

58 = 4·x + 6

x = 13

Слайд 11

Позиционные системы
Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство
в записи

есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим в десятичную систему
решаем уравнение

16x + 33x = 52x

x = 7

4·x + 9 = 5·x + 2

33x = 3·x + 3

Слайд 12

Позиционные системы
Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется

неравенство

в записи есть цифра 3, поэтому x > 3
переводим в десятичную систему
решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …)

21x + 32x > 102x

x = 4,5

5·x + 3 > x2 + 2

32x = 3·x + 2

Слайд 13

Позиционные системы
Задача: найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа

30 имеет 3 значащих разряда.

минимальное 3-разрядное число
максимальное 3-х разрядное число?
решаем неравенство
(перебор x = 2, 3, 4, …)

x = 4

100x

1000x-1

100x ≤ 30 ≤ 1000x-1

x2 ≤ 30 ≤ x3-1

Слайд 14

Системы счисления
Тема 2. Двоичная система счисления

Слайд 15

Перевод целых чисел
Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2
10 →

2 → 10

19 = 100112

система счисления

100112

4 3 2 1 0

разряды

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

Слайд 16

Примеры:
131 =
79 =

Слайд 17

Примеры:
1010112 =
1101102 =

Слайд 18

Метод подбора
10 → 2
77 = 64 +
77
77
64
Разложение по степеням двойки:
77 =

26 + 23 + 22 + 20

+ 8 + …

+ 4 + …

+ 1

77 = 10011012

6 5 4 3 2 1 0

разряды

наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу

77 = 1⋅26 + 0⋅25 + 0⋅24 + 1⋅23 +1⋅22 +0⋅21 + 1⋅ 20

Слайд 19

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1

102-1=1

перенос

заем

1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12

1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12

∙

0 102

0 1 1 102

Слайд 20

Примеры:

Слайд 21

Примеры:

Слайд 22

Плюсы и минусы двоичной системы
нужны устройства только с двумя устойчивыми состояниями

(есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
надежность и помехоустойчивость двоичных кодов
выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными

двоичные числа имеют много разрядов;
запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

Слайд 23

Системы счисления
Тема 3. Восьмеричная система счисления

Слайд 24

Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7

10 → 8

8 → 10

101

101 = 1458

система счисления

1458

2 1 0

разряды

= 1·82 + 4·81 + 5·80
= 64 + 32 + 5 = 101

Слайд 25

Примеры:
134 =
75 =
1348 =
758 =

Слайд 26

Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
1
1
6 + 2

= 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1 в перенос

Слайд 27

Пример

Слайд 28

Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
∙
(6 + 8)

– 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1

∙

заем

Слайд 29

Примеры

Слайд 30

Системы счисления
Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

Слайд 31

Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9,

10 → 16

16 → 10

107

107 = 6B16

система счисления

1C516

2 1 0

разряды

= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453

A, 10

B, 11

C, 12

D, 13

E, 14

F 15

Слайд 32

Примеры:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =

Слайд 33

Примеры:
C73B16 =
2FE116 =

Слайд 34

Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
1
1 6 D 916
10 5

11
+ 12 7 14

11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6

1 в перенос

Слайд 35

Пример:
С В А16
+ A 5 916

Слайд 36

Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заем
∙
1 D D16
12 5 11
–

10 7 14

∙

(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1

заем

Слайд 37

Пример:
1 В А16
– A 5 916

Слайд 38

Системы счисления
Тема 5. Другие системы счисления

Слайд 39

Троичная уравновешенная система
Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с

их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

Системы cчисления. Введение

Содержание

ОпределенияСистема счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков

Непозиционные системыУнарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень,

Непозиционные системыРимская система счисления:I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая

Римская система счисленияПравила:(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подрядесли младшая

Примеры:3768 =2983 =1452 =1999 =

Римская система счисленияНедостатки:для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры

Славянская система счисленияалфавитная система счисления (непозиционная)Часы Суздальского Кремля

Позиционные системыПозиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.Десятичная

Позиционные системыЗадача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»?

Позиционные системыЗадача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенствов записи

Позиционные системыЗадача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется

Позиционные системыЗадача: найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа

Системы счисленияТема 2. Двоичная система счисления

Перевод целых чиселДвоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 210 →

Примеры:131 =79 =

Примеры:1010112 =1101102 =

Метод подбора10 → 277 = 64 +777764Разложение по степеням двойки: 77 =

Арифметические операциисложениевычитание0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1021 + 1 + 1 = 1120-0=0 1-1=01-0=1

Примеры:

Примеры:

Плюсы и минусы двоичной системынужны устройства только с двумя устойчивыми состояниями

Системы счисленияТема 3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная системаОснование (количество цифр): 8Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

Примеры:134 =75 =1348 =758 =

Арифметические операциисложение1 5 68 + 6 6 28 116 + 2

Пример

Арифметические операциивычитание4 5 68 – 2 7 78 ∙(6 + 8)

Примеры

Системы счисленияТема 4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная системаОснование (количество цифр): 16Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

Примеры:171 =206 =1BC16 =22B16 =

Примеры:C73B16 =2FE116 =

Арифметические операциисложениеA 5 B16+ C 7 E1611 6 D 91610 5

Пример:С В А16+ A 5 916

Арифметические операциивычитаниеС 5 B16– A 7 E16заем∙1 D D1612 5 11–

Пример:1 В А16– A 5 916

Системы счисленияТема 5. Другие системы счисления

Троичная уравновешенная системаЗадача Баше:Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с

Похожие презентации

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков

Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень,

Непозиционные системы
Римская система счисления:
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая

Примеры:
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная

Позиционные системы
Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»?

Позиционные системы
Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство
в записи

Позиционные системы
Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется

Позиционные системы
Задача: найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа

Системы счисления
Тема 2. Двоичная система счисления

Перевод целых чисел
Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2
10 →

Примеры:
131 =
79 =

Примеры:
1010112 =
1101102 =

Метод подбора
10 → 2
77 = 64 +
77
77
64
Разложение по степеням двойки:
77 =

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1

Плюсы и минусы двоичной системы
нужны устройства только с двумя устойчивыми состояниями

Системы счисления
Тема 3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

Примеры:
134 =
75 =
1348 =
758 =

Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
1
1
6 + 2

Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
∙
(6 + 8)

Системы счисления
Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

Примеры:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =

Примеры:
C73B16 =
2FE116 =

Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
1
1 6 D 916
10 5

Пример:
С В А16
+ A 5 916

Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заем
∙
1 D D16
12 5 11
–

Пример:
1 В А16
– A 5 916

Системы счисления
Тема 5. Другие системы счисления

Троичная уравновешенная система
Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с