Системы счисления

система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления

записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Общие сведения

Древнеславянская система счисления

Вавилонская система счисления

Египетская система счисления

(количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

от её положения в записи числа.
Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционная система счисления

пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Десятичная система счисления

представлено в виде:
Aq =±(an–1×qn–1+ an–2 × qn–2+…+ a0 × q0+ a–1×q–1+…+ a–m× q–m)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.
Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Основная формула

× q–1+…+ a–m × q–m)
Примеры записи чисел в развёрнутой форме:
2012=2×103 +0×102 +1×101 +2×100
0,125=1×10-1 +2×10-2 +5×10–3
14351,1=1×104 +4×103 +3×102 +5×101 +1×100 +1×10–1

Развёрнутая форма

2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.

Для целых двоичных чисел можно записать:
an–1an–2…a1a0 = an–1×2n–1 + an–2×2n–2 +…+ a0×20
Например:
100112 =1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 = 24 +21 + 20 =1910

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

+a0

= an–1×2n–2 +…+ a1 (остаток a0)

2

an–1×2n–1+an–2×2n–2+… a1

= an–1×2n–3+…+ a2 (остаток a1)

2

. . .

an–1×2n–1+an–2×2n–2+… a2

= an–1×2n–4 +…+ a3 (остаток a2)

2

На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1

десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Восьмеричная система счисления

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Шестнадцатеричная система счисления

Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления:

15410 = 9А16

154

16

9

-144

10

(А)

9

16

0

3АF16 =3×162+10×161+15×160 =768+160+15=94310.

основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Цифровые весы

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

записи чисел.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1×qn–1 + an–2×qn–2 +…+ a0×q0 + a–1×q–1 +…+ a–m×q–m)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.

Самое главное

быть представлено в виде:
Aq =±(an–1× qn–1 + an–2 × qn–2 +…+ a0 × q0 + a–1 × q–1 +…+ a–m × q–m).

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Двоичная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Римская

Позиционная