Аксиомы стереометрии и их следствия

с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»
«гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить

Изучение нового материала.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

поверхности.
Например, многогранники. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
Тела вращения.
Шар, сфера, цилиндр, конус.

Основные фигуры: точка, прямая

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость

Другие фигуры: отрезок, луч, треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, выпуклые и невыпуклые n-угольники, круг, окружность, дуга и др.

Изучение нового материала.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

и большинства изобретений человечества;
ГЕОМЕТРИЯ нужна

технику,
инженеру,
рабочему,
архитектору,
модельеру …

Мы знаем, что

это ключ к изучению стереометрии

ВЫВОД:

При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками, чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта.

Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь .

«Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).

латинские буквы

Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

положение теории.
Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

аксиом мы сформулируем только три.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация к аксиоме А1: стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

A

B

C

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

прямой лежат в этой плоскости.

A

B

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

проходит плоскость, и притом только одна.

25.10.2020

www.konspekturoka.ru

провести плоскость, и притом только одну.

м

А

В

Дано: М∉m

Так как М∉m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её α. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости α.. Таким образом, плоскость α проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — β, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости α и β проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость α единственна.
Теорема доказана

Доказательство

Пусть точки A, B ∈ m.

притом только одну.

N

Дано: m ∩ n = M

Доказательство

Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.

Рассмотрим плоскость α =(n, N). Так как M∈ α и N∈α, то по А-2 m ⊂ α. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости α и следовательно α, является искомой
Докажем единственность плоскости α. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые m и n, плоскость β.
Так как плоскость β проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.
Теорема доказана