Алгебра матриц

Июль 30, 2022

Главная
Математика
Алгебра матриц

Содержание

2. Лекция 2 Алгебра матриц I. Операции над матрицами. 2. Обратная матрица. 3. Решение матричных уравнений. 4.
3. Операции над матрицами. Определим несколько операций над матрицами. I. Равенство матриц . II. Сложение матриц .
4. III. Умножение матрицы на число. IV. Умножение матриц. Здесь:
6. Правило умножения матриц : 1. Перемножать можно лишь матрицы определённых размеров (число столбцов матрицы левой равно
7. Пример.
9. Свойства операции сложения: Рассмотрим матрицы размера (m x n) : 1. 2. Свойства операций умножения на
10. 2. 3. 4. 5. 6. (AB)T = BT AT 7. det(AB) = det(A) det(B)
11. Обратная матрица. ( квадратные матрицы, Е – единичная матрица). матрица А называется невырожденной.
12. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для всякой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица, вычисляемая по
13. Убедимся, что по указанной формуле находится именно обратная матрица. Вычислим произведение
14. Точно также можно показать, что Таким образом, действительно
15. б)Единственность (показать самостоятельно). Пример. Решение. 1. 2. 3. 4.
16. Решение матричных уравнений. Пусть А– известная квадратная матрица порядка n , В– известная матрица размера (n
17. Точно также решаются и другие типы уравнений : Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными
18. Обозначим - матрица столбец из неизвестных, – матрица из коэффициентов перед неизвестными, – матрица столбец из
19. Систему (*) тогда можно записать в виде:
20. Если А– невырожденная матрица, то существует единственное решение этого матричного уравнения или, в поэлементной записи (1)
21. Здесь - определитель системы, -определитель, полученный из определителя системы заменой i-столбца на столбец свободных членов. Формулы
22. Вывод: Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то существует единственное
23. Ранг матрицы и его вычисление методом элементарных преобразований. Выделим в матрице размера (m x n) произвольные
27. Найдите ранг матрицы:
28. Найдите ранг матрицы
29. МИКРОТЕСТ 2 1. Квадратную матрицу A 4-го порядка (n-го) умножили на число k≠0. Во сколько раз
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 2
Алгебра матриц
I. Операции над матрицами.
2. Обратная

матрица.

3. Решение матричных уравнений.

4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными.
5. Ранг матрицы и его вычисление методом элементарных преобразований.

Слайд 3

Операции над матрицами.
Определим несколько операций над матрицами.
I. Равенство матриц

II. Сложение матриц .

Результатом сложения матриц А и В называется
матрица С, элементы которой являются суммой
соответствующих элементов исходных матриц :

Слайд 4

III. Умножение матрицы на число.
IV. Умножение матриц.
Здесь:

Слайд 5

Слайд 6

Правило умножения матриц :
1. Перемножать можно лишь матрицы определённых

размеров (число столбцов матрицы левой равно числу
строк матрицы правой ).

2. Размер матрицы С равен произведению числа строк матрицы А на число столбцов матрицы В, т.е.
(m x n).

Слайд 7

Пример.

Слайд 8

Слайд 9

Свойства операции сложения:
Рассмотрим матрицы размера (m x n) :

Свойства операций умножения на число и умножения матриц:

(В общем случае сомножители менять
местами нельзя).

Слайд 10

2.
3.
4.
5.
6. (AB)T = BT AT
7. det(AB)

= det(A) det(B)

Слайд 11

Обратная матрица.
( квадратные матрицы, Е – единичная

матрица).

матрица А называется невырожденной.

Слайд 12

Теорема существования и единственности
обратной матрицы.
Для всякой

невырожденной матрицы существует
единственная обратная матрица, вычисляемая по
формуле :

Доказательство

а) Существование.

По условию

Слайд 13

Убедимся, что по указанной формуле находится именно
обратная матрица.
Вычислим

произведение

Слайд 14

Точно также можно показать, что
Таким образом, действительно

Слайд 15

б)Единственность (показать самостоятельно).
Пример.
Решение.
1.
2.
3.
4.

Слайд 16

Решение матричных уравнений.
Пусть А– известная квадратная матрица порядка n ,
В–

известная матрица размера (n x m) ,

X– неизвестная матрица размера (n x m) .

AX=B – матричное уравнение.

Если А– невырожденная матрица,

Слайд 17

Точно также решаются и другие типы уравнений :
Невырожденные системы

n линейных
уравнений с n неизвестными .

(*)

Слайд 18

Обозначим
- матрица столбец из неизвестных,
– матрица из коэффициентов
перед неизвестными,
–

матрица столбец из свободных членов.

Слайд 19

Систему (*) тогда можно записать в виде:

Слайд 20

Если А– невырожденная матрица, то существует
единственное решение этого матричного уравнения

или, в поэлементной записи

(1)

(2)

Слайд 21

Здесь
- определитель системы,
-определитель, полученный из определителя
системы заменой i-столбца на

столбец
свободных членов.

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Подробнее:

Слайд 22

Вывод:
Если определитель системы n линейных уравнений
с n неизвестными отличен

от нуля, то существует единственное решение такой системы.

Оно может быть найдено одним из трёх способов:

1. матричным способом.

3. методом Гаусса (приведение системы к треугольному виду).

2. по формулам Крамера.

Слайд 23

Ранг матрицы и его вычисление методом
элементарных преобразований.
Выделим в

матрице размера (m x n) произвольные
k – строк и k - столбцов.

Элементы матрицы, стоящие на их пересечении,
образуют определитель порядка k.

Такой определитель называется минором k- порядка,
этой матрицы.

(Ранг матрицы – это наибольший порядок отличного
от нуля её минора).

Рангом матрицы А называется такое целое число r,
что среди миноров порядка r матрицы А есть хотя бы
один отличный от нуля, а все миноры более высокого
порядка равны нулю.

Слайд 24