Алгебраические методы решения геометрических задач

алгебраический – искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

комбинированный – на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других - алгебраическим.

Треугольники

Признаки равенства треугольников, прямоугольных треугольников.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Задача 2. Отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине О. На АC и ВD отмечены точки К и К1 такие, что АК=ВК1.
Доказать, что а) ОК=ОК1, б) точка О лежит на прямой КК1.

Задача 3 (признак равнобедренного треугольника).
Если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Задача 5 (свойство медианы прямоугольного треугольника). Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

Задача 6. Доказать, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Задача 7. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины, делят этот угол на три равные части. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Свойства медианы:

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то есть имеющих одинаковую площадь.

Три медианы разбивают треугольник на шесть
равновеликих.

Отрезки, соединяющие центроид с вершинами
треугольника, разбивают треугольник на три
равновеликие части.

Одним из основных методов решения задач, в которых участвуют медианы треугольника, является метод «удвоения медианы».

Достроить треугольник до параллелограмма и воспользоваться теоремой о сумме квадратов его диагоналей.

Теорема. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке (ицентр), которая является центром вписанной в него окружности.

Замечание:
Очевидно, что центроид и ицентр треугольника всегда лежат внутри него.

.

или

2) В треугольнике ABA1

BI – биссектриса угла B,

поэтому AI : IA1 = BA : BA1

или

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около него окружности.

Вопрос. Где находится ортоцентр остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников?

Задача 11. В треугольнике АВС опущены высоты ВВ1 и СС1. Найти длину отрезка НВ, где Н – точка пересечения высот.

Решение.

1) треугольник BC1Н – прямоугольный, и

2) треугольник BC1C – прямоугольный, и

Решение.

По теореме косинусов

Тогда

Решение.

Пусть CD – высота, CE – биссектриса,

тогда ∠BCD = 90° - ∠B,

∠BCE = (180° - ∠A - ∠B):2.

Следовательно,

Воспользуемся тем, что против большей стороны треугольника лежит больший

угол.

Если AB > BC,

то ∠A <∠C и,

следовательно,

∠IAD < ∠ICD.

Поэтому IC < IA,

т.е. центр I вписанной окружности лежит ближе
к вершине,

расположенной против большей стороны.

Если AC < AB,

то ∠C > ∠B.

Окружность с диаметром BC пройдет через точки

С1 и В1.

Учитывая, что из двух хорд меньше та,

на которую опирается меньший вписанный угол,

получаем, что

СС1 < ВВ1,

т.е. меньше та высота, которая

опущена на большую сторону.

Доказательство.

Так как треугольники АНС и АСС1 прямоугольные, то точки Н и С1 лежат на окружности

с диаметром АС.

Аналогично, точки В1 и Н лежат на окружности

с диаметром АВ.

треугольнике АСС1

подобны.

Коэффициент подобия

значит,

Решение.

На сторонах AC и BC треугольника ABC, как на диаметрах, построим окружности.

Точки A1, B1, C1 принадлежат этим окружностям.

Поэтому ∠B1C1C = ∠B1BC,

как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности.

∠B1BC = ∠CAA1,

с взаимно перпендикулярными сторонами.

как углы