Аналитическое задание фигур

Июль 22, 2022

Главная
Математика
Аналитическое задание фигур

Содержание

2. Выпуклые многоугольники Пусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениями которая и определяет этот многоугольник.
3. Квадрат Например, неравенства которые можно переписать в виде системы определяют единичный квадрат. Если к этим неравенствам
4. Уравнение параболы Уравнение 4ay = x2 задает параболу, с фокусом F (0, a) и директрисой y
5. Уравнение эллипса Уравнение (a > b) задает эллипс, с фокусами F1(-c, 0), F2(c, 0), где .
6. Уравнение гиперболы Уравнение (a > b) задает гиперболу, с фокусами F1(-c, 0), F2(c, 0), где .
7. Пример 1 Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1).
8. Пример 2 Для параболы, заданной уравнением y = x2, найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.
9. Упражнение 1 Ответ: а) Первой; Определите, какой полуплоскости 5x + 3y - 2 0 или 5x
10. Упражнение 2 Какую фигуру задает следующая система неравенств Ответ: Прямоугольник.
11. Упражнение 3 Найдите фокус и директрису параболы, заданной уравнением y2 = x.
12. Упражнение 4 В каком случае уравнение эллипса дает окружность? Ответ: a = b.
13. Упражнение 5 Ответ: F1(0, 1), F2(0, -1). Для эллипса, заданного уравнением x2 + y2 = 1,
14. Упражнение 6 Для гиперболы, заданной уравнением x2 - y2 = 1, найдите координаты фокусов.
15. Упражнение 7 Решение: На координатной плоскости в качестве двух данных точек возьмем точки A(0, 0) и
16. Упражнение 8 Решение: На координатной плоскости в качестве точки F возьмем точку F(3, 0), а в
17. Упражнение 9 Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно 3. Какой фигурой является
18. Упражнение 10 Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных
19. Упражнение 11 Нарисуйте декартов лист - кривую, уравнение которой имеет вид x3 + y3 – 3axy
20. Параметрические уравнения Рассмотрим вопрос о том как траектория движения точки описывается с помощью уравнений. Поскольку положение
21. Окружность Окружность. Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассматривать как параметрически заданную кривую
22. Циклоида Найдем параметрические уравнения циклоиды. Предположим, что окружность повернулась на некоторый угол величины t. При этом
23. Трохоида Трохоида – траектория движения точки, закрепленной на радиусе окружности, или его продолжении, когда эта окружность
24. Эпициклоиды Пусть центр O неподвижной окружности является началом координат и точка A(R, 0) соответствует начальному моменту
25. Кардиоида В частности, если m = 1, параметрические уравнения кардиоиды имеют вид
26. Эпициклоида (m = 2/3) Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид
27. Удлиненная эпициклоида (m = 2/3) Параметрические уравнения удлиненной эпициклоиды имеют вид
28. Эпициклоида (m = 2/5) Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид
29. Гипоциклоиды Так же как и для эпициклоиды показывается, что уравнения гипоциклоиды имеют вид
30. Астроида В частности, параметрические уравнения астроиды (m=1/4), имеют вид
31. Кривая Штейнера Параметрические уравнения кривой Штейнера (m=1/3), имеют вид
32. Гипоциклоида (m = 2/5) Параметрические уравнения гипоциклоиды (m=2/5), имеют вид
33. Упражнение 12 Найдите параметрические уравнения окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R.
34. Упражнение 12 Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A1(x1, y1) и A2(x2, y2).
35. Упражнение 14 Какую кривую задают параметрические уравнения ? Ответ. Парабола.
37. Скачать презентацию

Слайд 2

Выпуклые многоугольники
Пусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениями
которая и

определяет этот многоугольник.

a1x + b1y + c1 = 0, ..................,
anx + bny + cn = 0.

Тогда сам многоугольник является пересечением соответствующих полуплоскостей и, следовательно, для его точек должна выполняться система неравенств вида

Слайд 3

Квадрат
Например, неравенства которые можно переписать в виде системы
определяют единичный квадрат.
Если к

этим неравенствам добавить еще одно неравенство то соответствующий многоугольник получается из квадрата отсечением треугольника.

Слайд 4

Уравнение параболы
Уравнение 4ay = x2 задает параболу, с фокусом F (0,

a) и директрисой y = -a.

Слайд 5

Уравнение эллипса
Уравнение (a > b) задает эллипс,
с фокусами F1(-c, 0),

F2(c, 0), где .

Слайд 6

Уравнение гиперболы
Уравнение (a > b) задает гиперболу,
с фокусами F1(-c, 0),

F2(c, 0), где .

Слайд 7

Пример 1
Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1),

C(1, 1).

Слайд 8

Пример 2
Для параболы, заданной уравнением y = x2, найдите координаты

фокуса и уравнение директрисы.

Слайд 9

Упражнение 1
Ответ: а) Первой;
Определите, какой полуплоскости 5x + 3y -

2 0 или 5x + 3y – 2 0 принадлежат точки: а) А(1,0); б) B(0,1); в) C(0,0).

б) первой;

в) второй.

Слайд 10

Упражнение 2
Какую фигуру задает следующая система неравенств
Ответ: Прямоугольник.

Слайд 11

Упражнение 3
Найдите фокус и директрису параболы, заданной уравнением y2 = x.

Слайд 12

Упражнение 4
В каком случае уравнение эллипса дает окружность?
Ответ: a = b.

Слайд 13

Упражнение 5
Ответ: F1(0, 1), F2(0, -1).
Для эллипса, заданного уравнением x2

+ y2 = 1, найдите координаты фокусов.

Слайд 14

Упражнение 6
Для гиперболы, заданной уравнением x2 - y2 = 1, найдите

координаты фокусов.

Слайд 15

Упражнение 7
Решение: На координатной плоскости в качестве двух данных точек возьмем

точки A(0, 0) и B(3, 0). Для точки C(x, y) имеем:
Равенство AC = 2BC равносильно равенству которое, в свою очередь, равносильно равенству Последнее равенство является уравнением окружности с центром в точке O(4, 0) и радиусом 2. Таким образом, искомым ГМТ является окружность.

Расстояние между двумя данными точками A и B плоскости равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до точки A в два раза больше расстояния до точки B?

Слайд 16

Упражнение 8
Решение: На координатной плоскости в качестве точки F возьмем точку

F(3, 0), а в качестве прямой d – ось Oy. Для точки C(x, y) имеем: Равенство CD = 2CF равносильно равенству которое, в свою очередь, равносильно равенству
Последнее равенство является уравнением эллипса. Таким образом, искомым ГМТ является эллипс.

Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до прямой d в два раза больше расстояния до данной точки F?

Слайд 17

Упражнение 9
Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно

3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до прямой d в два раза меньше расстояния до данной точки F?

Решение: На координатной плоскости в качестве точки F возьмем точку F(3, 0), а в качестве прямой d – ось Oy. Для точки C(x, y) имеем: Равенство CF = 2CD равносильно равенству которое, в свою очередь, равносильно равенству Последнее равенство
является уравнением гиперболы. Таким образом, искомым ГМТ является гипербола.

Слайд 18

Упражнение 10
Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, произведение расстояний от

которых до двух фиксированных точек F1 и F2 равно a2, где 2a – расстояние между F1 и F2. Точки F1, F2 называются фокусами лемнискаты. Нарисуйте Лемнискату, фокусы которой расположены в точках с координатами (a, 0), (-a, 0) и найдите ее уравнение,.

Слайд 19

Упражнение 11
Нарисуйте декартов лист - кривую, уравнение которой имеет вид x3

+ y3 – 3axy = 0.

Слайд 20

Параметрические уравнения
Рассмотрим вопрос о том как траектория движения точки описывается с

помощью уравнений. Поскольку положение точки на плоскости однозначно определяется ее координатами, то для задания движения точки достаточно задать зависимости ее координат x, y от времени t, т.е. задать функции
В этом случае для каждого момента времени t мы можем найти положение точки на плоскости.
Кривая на плоскости, описываемая точкой, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям при изменении параметра t, называется параметрически заданной кривой на плоскости. Сами уравнения называются параметрическими уравнениями.

Слайд 21

Окружность
Окружность. Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассматривать

как параметрически заданную кривую на плоскости с параметрическими уравнениями
При изменении параметра t от нуля до 2π точка на окружности делает один оборот против часовой стрелки, начиная и заканчивая в точке с координатами (R, 0). При дальнейшем увеличении параметра t точка будет многократно проходить по окружности в направлении против часовой стрелки.

Слайд 22

Циклоида
Найдем параметрические уравнения циклоиды. Предположим, что окружность повернулась на некоторый угол

величины t. При этом точка касания O на окружности переместится в точку А. Поскольку дуга АР окружности при этом прокатилась по отрезку OР, то их длины равны, т.е. АР = OР = Rt.

Слайд 23

Трохоида
Трохоида – траектория движения точки, закрепленной на радиусе окружности, или его

продолжении, когда эта окружность катится по прямой.

Так же как и в случае с циклоидой, показывается, что параметрическими уравнениями трохоиды являются
где d – расстояние от точки до центра окружности. Если d R, то кривая называется удлиненной циклоидой.

Слайд 24

Эпициклоиды
Пусть центр O неподвижной окружности является началом координат и точка A(R,

0) соответствует начальному моменту времени. Предположим, что катящаяся с внешней стороны окружность повернулась на угол, равный t. При этом точка A переместилась в точку A1(x,y). Обозначим отношение через m. Из равенства длин дуг AB и A1B следует, что угол AOB равен mt.

Слайд 25

Кардиоида
В частности, если m = 1, параметрические уравнения кардиоиды имеют вид

Слайд 26

Эпициклоида (m = 2/3)
Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

Слайд 27

Удлиненная эпициклоида (m = 2/3)
Параметрические уравнения удлиненной эпициклоиды имеют вид

Слайд 28

Эпициклоида (m = 2/5)
Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

Слайд 29

Гипоциклоиды
Так же как и для эпициклоиды показывается, что уравнения гипоциклоиды имеют

вид

Слайд 30

Астроида
В частности, параметрические уравнения астроиды (m=1/4), имеют вид

Слайд 31

Кривая Штейнера
Параметрические уравнения кривой Штейнера (m=1/3), имеют вид

Слайд 32

Гипоциклоида (m = 2/5)
Параметрические уравнения гипоциклоиды (m=2/5), имеют вид

Слайд 33

Упражнение 12
Найдите параметрические уравнения окружности с центром в точке O(x0, y0)

и радиусом R.

Слайд 34

Упражнение 12
Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A1(x1, y1) и

A2(x2, y2).

Слайд 35

Аналитическое задание фигур

Содержание

Выпуклые многоугольникиПусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениямикоторая и

КвадратНапример, неравенства которые можно переписать в виде системыопределяют единичный квадрат.Если к

Уравнение параболыУравнение 4ay = x2 задает параболу, с фокусом F (0,

Уравнение эллипсаУравнение (a > b) задает эллипс, с фокусами F1(-c, 0),

Уравнение гиперболыУравнение (a > b) задает гиперболу, с фокусами F1(-c, 0),

Пример 1Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1),

Пример 2 Для параболы, заданной уравнением y = x2, найдите координаты

Упражнение 1Ответ: а) Первой; Определите, какой полуплоскости 5x + 3y -

Упражнение 2Какую фигуру задает следующая система неравенствОтвет: Прямоугольник.

Упражнение 3Найдите фокус и директрису параболы, заданной уравнением y2 = x.

Упражнение 4В каком случае уравнение эллипса дает окружность?Ответ: a = b.

Упражнение 5Ответ: F1(0, 1), F2(0, -1). Для эллипса, заданного уравнением x2

Упражнение 6Для гиперболы, заданной уравнением x2 - y2 = 1, найдите

Упражнение 7Решение: На координатной плоскости в качестве двух данных точек возьмем

Упражнение 8Решение: На координатной плоскости в качестве точки F возьмем точку

Упражнение 9Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно

Упражнение 10Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, произведение расстояний от

Упражнение 11Нарисуйте декартов лист - кривую, уравнение которой имеет вид x3

Параметрические уравненияРассмотрим вопрос о том как траектория движения точки описывается с

ОкружностьОкружность. Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассматривать

ЦиклоидаНайдем параметрические уравнения циклоиды. Предположим, что окружность повернулась на некоторый угол

ТрохоидаТрохоида – траектория движения точки, закрепленной на радиусе окружности, или его

ЭпициклоидыПусть центр O неподвижной окружности является началом координат и точка A(R,

КардиоидаВ частности, если m = 1, параметрические уравнения кардиоиды имеют вид

Эпициклоида (m = 2/3)Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

Удлиненная эпициклоида (m = 2/3)Параметрические уравнения удлиненной эпициклоиды имеют вид

Эпициклоида (m = 2/5)Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

ГипоциклоидыТак же как и для эпициклоиды показывается, что уравнения гипоциклоиды имеют

АстроидаВ частности, параметрические уравнения астроиды (m=1/4), имеют вид

Кривая ШтейнераПараметрические уравнения кривой Штейнера (m=1/3), имеют вид

Гипоциклоида (m = 2/5)Параметрические уравнения гипоциклоиды (m=2/5), имеют вид

Упражнение 12Найдите параметрические уравнения окружности с центром в точке O(x0, y0)

Упражнение 12Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A1(x1, y1) и

Упражнение 14 Какую кривую задают параметрические уравнения ? Ответ. Парабола.

Похожие презентации