Аттестационная работа. Решение задач по формуле Пика

с помощью формулы Пика более рационально.

Гипотеза:

Цель работы:
Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Объект исследования: формула Пика.
Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.
Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.
Сравнить и проанализировать результаты исследования.

к. ее изучение может быть полезно учащимся школ (преимущественно выпускникам) и педагогам как несколько иной способ решения задач на вычисление площади фигуры.
Новизна: новизна работы заключается в том,
что несмотря известность данной формулы, в школьной программе она не применяется, следовательно, не известна ученикам.

количество треугольников будет равно п – 2. (Это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах п – угольника).

Пусть на границе многоугольника отмечено Г точек (включая все вершины), внутри – ещё В точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно Г + 2В – 2.

Этот факт доказал австрийский математик Пик Георг Александр в 1899 году.

Площадь многоугольника равна ( Г + 2В -2)∙ = Г +В – 1.

считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение 1 : Заметим, что данный треугольник ABC является прямоугольным (A = 90о). Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна .

Тогда катеты AB и AC данного треугольника будут равны

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то площадь данного треугольника будет равна 9. (Рис 1).

Решение 2: Проведем высоту AH. Тогда BC = 6,
AH = 3 и, следовательно, S = 9. (Рис.2)
Ответ: 9 кв. ед.

(Рис.1)

(Рис.2)

1.

Решение 1. Основания AD и BC данной трапеции равны соответственно 4 и 2. Высотой является боковая сторона CD. Она равна 3. Так как площадь трапеции
равна произведению полусуммы оснований на высоту, то площадь данной трапеции будет равна 9.
(Рис.1)

Решение 2. Из точки B опустим перпендикуляр BH на AD. Он разобьет трапецию на прямоугольный треугольник ABH и прямоугольник HBCD. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 3. Смежные стороны прямоугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 6. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и прямоугольника и, следовательно, равна 9. (Рис.2)
Ответ. 9.

(Рис.1)

(Рис.2)

В ответе укажите S/π.

Решение 1. Напомним, что площадь S кругового сектора вычисляется по формуле

, где R – радиус круга,

- градусная величина угла сектора. В нашем случае

= 90о. Радиус R равен √5. Подставляя данные значения в формулу площади сектора, получим
S = 5π/4 . Откуда S/π=1,25

Решение 2. Заметим, что данный сектор является одной четвертой частью круга и, следовательно, его площадь равна одной четвертой площади круга. Площадь круга равна π R2, где R – радиус круга. В нашем случае R =√5 и, следовательно, площадь S сектора равна 5π/4 . Откуда S/π=1,25.
Ответ. 1,25.

1.

(Рис.1)

Решение 1. Так как диагональ квадрата со стороной 1 равна

то сторона AC треугольника ABC равна 5√2 , высота BH, проведенная к этой стороне, равна 3√2/2. Следовательно, площадь данного треугольника равна 7,5.(Рис.2)

Решение 2. Разобьем данный треугольник ABC на два треугольника ABD и BDC. Их общая сторона BD равна 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4.
Площадь треугольника ABD равна 1,5, а площадь треугольника BDC равна 6. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7,5. (Рис.3).
Ответ: 7,5.

(Рис.2)

(Рис.3).

1.

Рис.1

Рис.2

Решение 1. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ACB и ACD. Сторона AC у них общая и равна 2√2. Высоты BH и DH равны 3√2/2. Следовательно, площади этих треугольников равны 3. Значит, площадь четырехугольника равна 6. (Рис.2)

Решение 2. Площадь данного четырехугольника равна разности площадей треугольников ABD и CBD. В треугольнике ABD сторона BD равна 3√2 , высота AH равна 5√2/2. Следовательно, его площадь равна 7,5. В треугольнике CBD сторона BD равна 3√2, высота CH равна √2/2. Следовательно, его площадь равна 1,5. Таким образом, площадь данного четырехугольника равна 6.
Ответ. 6.

1. В ответе укажите .

.

Рис.1

Рис.2

Решение. Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен 2 ,

радиус r внутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь S кольца равна 4

и, следовательно,

Ответ:4.

считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение: Г = 12, В = 4, S = В + Г/2 – 1 = 4 + 12/2 – 1 = 9

Ответ: 9.

Задача 2.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение: Г = 10, В = 5, S = В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

Ответ: 9.

1. В ответе укажите .
Решение: Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5 .

≈ 1,11

Ответ: ≈ 1,11.

Задача 4. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение: Г = 7, В = 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5.

Ответ: 7,5.

.

1. В ответе укажите .

Решение: Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11,

≈ 3,5

Ответ: ≈3,5.

Задача 5. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение: Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

Ответ: 6

1.

Подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь
полной поверхности по формуле Пика невозможно.