Аттракторы динамических систем

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Аттракторы динамических систем

Содержание

2. Отличительным свойством диссипативных ДС, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений является сжатие во времени элемента объема фазового
3. Что такое аттрактор? Изменение во времени состояния автономной ДС с конечным числом степеней свободы описывается либо
4. Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область G1, принадлежащая фазовому пространству системы RN, которая включает в
5. 2. Регулярные аттракторы Ляпуновская размерность (формула Каплана-Йорка): j – наибольшее целое число, для которого λ1 +
6. Если решение ДС является асимптотически устойчивым, а размерность D дается целым числом и строго совпадает с
7. 3. Странные (хаотические) аттракторы 3.1 Грубые гиперболические аттракторы Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые.
8. Случаи пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий 1) 2) 3) Грубая гомоклиническая структура (трансверсальное пересечение многообразий, не
9. 3.2 Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца Почти гиперболические аттракторы являются хаотическими, не включают устойчивых регулярных аттракторов
10. Квазигиперболический аттрактор в системе Лози Система Лози – нелинейное взаимно однозначное диссипативное (для b Аттрактор Лози
11. Спектр мощности и автокорреляционная функция отображения Лози
12. Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового состояния равновесия q отображения Лози Распределение вероятностей угла ϕ между
13. Влияние слабых шумовых воздействий на аттрактор Лози Плотность распределения вероятностей p(xn,yn) на аттракторе Лози D =
14. Аттрактор Лоренца Уравнения Лоренца были получены из уравнений Навье-Стокса в задаче о тепловой конвекции и имеют
15. Зависимость минимального угла между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории для системы Лоренца Распределение вероятностей
16. Спектр мощности и АКФ аттрактора Лоренца Плотность распределения вероятностей аттрактора Лоренца D = 0 D =
17. 3.3 Негиперболические аттракторы (квазиаттракторы) и их свойства При конечной вариации параметров системы реализуются каскады различных бифуркаций
18. Квазиаттрактор в отображении Хенона При 0 a=1.078, b=0.3 a=1.32, b=0.3
19. Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой точки отображения Хенона В аттракторе Хенона нарушается условие трансверсальности пересечения
20. Влияние слабых шумовых воздействий на режимы в отображении Хенона D = 0 D = 0 D
21. Квазиаттрактор в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью (генератор Анищенко-Астахова)
22. Зависимости старшего показателя Ляпунова от начальных значений координаты x и от параметра m
23. 4. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы Существуют конкретные примеры диссипативных ДС, аттракторы которых характеризуются следующими
24. 4.1 Хаотические нестранные аттракторы Примером ДС с ХНА является модифицированное отображение Арнольда или “cat map” с
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Отличительным свойством диссипативных ДС, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений является сжатие

во времени элемента объема фазового пространства:

В силу сжатия фазового объема предельное множество фазовых траекторий всегда будет иметь нулевой объем.

Слайд 3

Что такое аттрактор?
Изменение во времени состояния автономной ДС с конечным числом

степеней свободы описывается либо системой ОДУ, либо системой дискретных отображений:

xi(t) (или xni) – переменные, однозначно описывающие состояние системы (ее фазовые координаты);
μl (l=1,2,…, k) – параметры системы;
fi(x,μ) - в общем случае нелинейные функции.

Слайд 4

Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область G1, принадлежащая фазовому пространству

системы RN, которая включает в себя подобласть G0. Области G1 и G0 удовлетворяют следующим условиям:
Для любых начальных условий xi(0) (или x0i) из области G1 при t → ∞ (или n → ∞) все фазовые траектории рано или поздно достигают области G0.
Область G0 представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы.
Если фазовая траектория принадлежит области G0 в момент времени t = t1 (n = n1), то она будет принадлежать G0 всегда, т.е. для любых t ≥ t1 (n > n1) фазовая траектория будет находиться в области G0.
Тогда область G0 – аттрактор динамической системы,
G1 - область (бассейн) притяжения аттрактора G0.

Слайд 5

2. Регулярные аттракторы
Ляпуновская размерность
(формула Каплана-Йорка):
j – наибольшее целое

число, для которого λ1 + λ2 + … + λj ≥ 0.

Слайд 6

Если решение ДС является асимптотически устойчивым, а размерность D дается целым

числом и строго совпадает с метрической, то аттрактор называется регулярным.
Нарушение одного из сформулированных условий переводит аттрактор в класс нерегулярных или хаотических.
Странные (хаотические) аттракторы делятся на
грубые гиперболические,
квазигиперболические или аттракторы типа Лоренца,
негиперболические.

Слайд 7

3. Странные (хаотические) аттракторы
3.1 Грубые гиперболические аттракторы
Система является гиперболической, если все

фазовые траектории седловые. Точка как образ траектории в сечении Пуанкаре в гиперболической системе всегда является седлом.
Грубость означает, что при малом возмущении правых частей уравнений ДС и вариации управляющих параметров в конечной области их значений все траектории продолжают оставаться седловыми.

Гиперболические аттракторы должны удовлетворять следующим условиям:
Состоять из континуума «неустойчивых листов» или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся;
В окрестности любой точки иметь геометрию произведения канторова множества на интервал;
Иметь окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.
Грубость означает, что свойства 1-3 сохраняются при возмущениях.

Слайд 8

Случаи пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий
1)
2)
3)
Грубая гомоклиническая структура (трансверсальное пересечение многообразий,

не меняется качественно при возмущениях).

Негрубые случаи:

Явление замыкания многообразий с образованием петли.

Явление касания устойчивого и неустойчивого многообразий.

Случаи 2) и 3) приводят к появлению негиперболических аттракторов (квазиаттракторов).

Слайд 9

3.2 Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца
Почти гиперболические аттракторы являются хаотическими, не

включают устойчивых регулярных аттракторов и сохраняют эти свойства при возмущениях.
С математической точки зрения, для таких систем нарушается, по крайней мере, одно из трех условий гиперболичности.
Примеры квазигиперболических аттракторов:
аттрактор Лози,
аттрактор Белыха,
аттракторы типа Лоренца.
Обоснование существования квазигиперболического аттрактора в ДС требует доказательства двух положений:
в аттракторе все фазовые траектории являются неустойчивыми;
при вариации параметров системы устойчивых траекторий не возникает.

Слайд 10

Квазигиперболический аттрактор в системе Лози
Система Лози – нелинейное взаимно однозначное диссипативное

(для b < 1) отображение.
Аттрактор Лози – единственное притягивающее множество в интервале 1.3 < a < 1.8 при b = 0.3 с однородным бассейном притяжения.

Зависимость старшего ляпуновского показателя

от начальных условий

от параметра a

Слайд 11

Спектр мощности и автокорреляционная функция отображения Лози

Слайд 12

Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового состояния равновесия q отображения Лози

Распределение вероятностей угла ϕ между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории на аттракторе Лози (a=1.7, b=0.3);
Зависимость минимального угла от параметра системы a.

Слайд 13

Влияние слабых шумовых воздействий на аттрактор Лози
Плотность распределения вероятностей p(xn,yn)

на аттракторе Лози

D = 0

D = 5 ⋅ 10-5

Слайд 14

Аттрактор Лоренца
Уравнения Лоренца были получены из уравнений Навье-Стокса в задаче о

тепловой конвекции и имеют вид

Слайд 15

Зависимость минимального угла между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории

для системы Лоренца

Распределение вероятностей угла ϕ многообразиями хаотической траектории

на аттракторе Лоренца

на негиперболическом аттракторе в системе Лоренца

Слайд 16

Спектр мощности и АКФ аттрактора Лоренца
Плотность распределения вероятностей аттрактора Лоренца
D

= 0

D = 0.8

Слайд 17

3.3 Негиперболические аттракторы (квазиаттракторы) и их свойства
При конечной вариации параметров

системы реализуются каскады различных бифуркаций как регулярных, так и хаотических аттракторов, приводящие к бифуркационной перестройке их бассейнов притяжения.
Для квазиаттракторов нарушается условие трансверсальности многообразий. Для них характерны эффекты гомоклинического касания устойчивых и неустойчивых многообразий седловых траекторий или возникновение петли сепаратрисы седло-фокуса.

Отличительной чертой квазиаттракторов является одновременное сосуществование счетного множества различных хаотических и регулярных притягивающих подмножеств в ограниченном элементе объема фазового пространства системы при фиксированных значениях ее параметров.
Эта совокупность всех сосуществующих предельных множеств траекторий в ограниченной области G0 фазового пространства, куда стремятся все или почти все траектории из области G1, включающей G0, и называется квазиаттрактором.

Слайд 18

Квазиаттрактор в отображении Хенона
При 0 < b < 1 отображение является

диссипативным и характеризуется наличием квазиаттрактора.

a=1.078,
b=0.3

a=1.32,
b=0.3

Слайд 19

Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой точки отображения Хенона
В аттракторе

Хенона нарушается условие трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В некоторых точках сепаратрисы касаются друг друга, угол между ними равен нулю.

Слайд 20

Влияние слабых шумовых воздействий на режимы в отображении Хенона
D = 0
D

= 0

D = 5 ⋅ 10-6

Слайд 21

Квазиаттрактор в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью (генератор Анищенко-Астахова)

Слайд 22

Зависимости старшего показателя Ляпунова от начальных значений координаты x и от

параметра m

Слайд 23

4. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы
Существуют конкретные примеры диссипативных

ДС, аттракторы которых характеризуются следующими свойствами:
при регулярной геометрической структуре с точки зрения целочисленной метрической размерности индивидуальные фазовые траектории в среднем экспоненциально неустойчивы. В этом случае имеем хаотический нестранный аттрактор (ХНА).
при сложной геометрической структуре траектории асимптотически устойчивы, перемешивание отсутствует. Имеем странный нехаотический аттрактор (СНА).

Слайд 24

4.1 Хаотические нестранные аттракторы
Примером ДС с ХНА является модифицированное отображение Арнольда

или “cat map” с нелинейным периодическим слагаемым:

При δ < 1/2π отображение есть диффеоморфизм на торе, или оно взаимно однозначно (обратимо) и переводит единичный квадрат на плоскости в себя. Отображение является диссипативным, т.е. при каждой итерации элемент площади сжимается. Якобиан преобразования:

1 < DI < 2, DC = 2.0

Аттракторы динамических систем

Содержание

Отличительным свойством диссипативных ДС, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений является сжатие

Что такое аттрактор?Изменение во времени состояния автономной ДС с конечным числом

Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область G1, принадлежащая фазовому пространству

2. Регулярные аттракторыЛяпуновская размерность (формула Каплана-Йорка): j – наибольшее целое

Если решение ДС является асимптотически устойчивым, а размерность D дается целым

3. Странные (хаотические) аттракторы3.1 Грубые гиперболические аттракторыСистема является гиперболической, если все

Случаи пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий1)2)3)Грубая гомоклиническая структура (трансверсальное пересечение многообразий,

3.2 Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа ЛоренцаПочти гиперболические аттракторы являются хаотическими, не

Квазигиперболический аттрактор в системе ЛозиСистема Лози – нелинейное взаимно однозначное диссипативное

Спектр мощности и автокорреляционная функция отображения Лози

Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового состояния равновесия q отображения Лози

Влияние слабых шумовых воздействий на аттрактор Лози Плотность распределения вероятностей p(xn,yn)

Аттрактор ЛоренцаУравнения Лоренца были получены из уравнений Навье-Стокса в задаче о

Зависимость минимального угла между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории

Спектр мощности и АКФ аттрактора ЛоренцаПлотность распределения вероятностей аттрактора Лоренца D

3.3 Негиперболические аттракторы (квазиаттракторы) и их свойства При конечной вариации параметров

Квазиаттрактор в отображении ХенонаПри 0 < b < 1 отображение является

Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой точки отображения Хенона В аттракторе

Влияние слабых шумовых воздействий на режимы в отображении ХенонаD = 0D