- Главная
- Математика
- Бифуркации и структурная устойчивость
Содержание
- 2. Потеря устойчивости одного состояния системы (или режима функционирования) при изменении некоторых ее параметров (называемых управляющими) и
- 3. Динамическая система называется грубой, или структурно устойчивой, если ее малые возмущения приводят к топологически эквивалентным решениям.
- 4. «Мягкие» и «жесткие» бифуркации Пусть при некотором начальном значении параметра мы имеем исходное устойчивое состояние системы.
- 5. Пусть при а В точке бифуркации а = a* устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно.
- 6. Бифуркации неподвижных точек одномерных отображений Для одномерных отображений существует 2 способа изменения устойчивости неподвижной точки, когда
- 7. Будем теперь увеличивать параметр μ, следя за положением неподвижных точек, а также за их мультипликаторами, которые
- 8. Другое название касательной бифуркации – «складка». Это становится понятным, если посмотреть на график для неподвижных точек,
- 9. 2. Транскритическая бифуркация. Рассмотрим отображение (35) При всех μ, кроме μ = 0, оно имеет две
- 10. График для собственных значений неподвижных точек можно построить из (35), вычислив производную и подставив туда значения
- 11. 3. Вилообразная бифуркация (pitchfork) или бифуркация потери симметрии наблюдается в системе с симметрией. Рассмотрим отображение вида
- 12. Бифуркационная диаграмма для отображения (36) напоминает вилы, откуда и следует название рассматриваемой бифуркации. Данный вариант вилообразной
- 13. 4. Бифуркация удвоения соответствует второй границе зоны устойчивости неподвижной точки, когда ρ = - 1. Суперкритический
- 14. Рассмотрим дважды примененное отображение (37): (38) Определенные выше неподвижные точки отображения (37) будут таковыми и для
- 15. С точки зрения исходного отображения (37) обе родившиеся точки принадлежат одной и той же траектории –
- 16. Субкритическая бифуркация удвоения. Отметим, что условие ρ1 = - 1 описывает локальную динамику системы (37) в
- 17. Бифуркации неподвижных точек двумерных отображений В силу своей большей размерности двумерное отображение обладает более богатым выбором
- 18. Рассмотрим ситуацию, когда значения мультипликаторов ρ1 и ρ2 зависят от двух управляющих параметров μ1 и μ2
- 19. Случай действительных ρ1 и ρ2. Рассмотрим варианты бифуркаций неподвижной точки коразмерности 1 для двумерного отображения. В
- 20. 2. Вилообразная бифуркация. а) Исходное состояние равновесия устойчиво, в результате бифуркации рождается пара устойчивых точек. б)
- 21. 3. Бифуркация удвоения. а) Бифуркация удвоения превращает устойчивую неподвижную точку в седловую. б) В результате бифуркации
- 22. Пример. Отображение Эно (Henon map) x, y – динамические переменные, μ и b – параметры отображения.
- 23. Уравнение в вариациях для малых отклонений ξ и η от состояния равновесия в матричной форме имеет
- 24. Зависимость собственных значений неподвижных точек отображения Эно от параметра μ Точка P2 является седлом при любых
- 25. Случай комплексно сопряженных собственных чисел. Бифуркация Неймарка Когда ρ1 и ρ2 комплексно сопряжены, то обратимой заменой
- 26. Случай 1. При r 1 точка a0 становится неустойчивой, однако появляется новая устойчивая точка a1.
- 27. Мы обсудили роль изменения модуля отклонения a от состояния равновесия. Однако величина приращения угла Θ при
- 28. Если рассматривать неподвижную точку двумерного отображения как сечение Пуанкаре предельного цикла трехмерной динамической системы с непрерывным
- 29. Модуля́ция [лат. modulatio мерность, размерность] — процесс изменения одного или нескольких параметров высокочастотного модулируемого колебания под
- 30. 2) Если ψ принимает рациональные значения (т.е. возможно его представление в виде p/q, где p и
- 31. Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды — откликаюсь) —
- 32. Наиболее простым и иллюстративным примером механической резонансной системы являются обычные качели. Если вы будете подталкивать качели
- 34. Скачать презентацию
Потеря устойчивости одного состояния системы (или режима функционирования) при изменении некоторых
Потеря устойчивости одного состояния системы (или режима функционирования) при изменении некоторых
С точки зрения фазового пространства бифуркация соответствует всякой качественной топологической перестройке фазового портрета системы при изменении ее управляющих параметров.
Если один фазовый портрет может быть получен из другого с помощью некоторой непрерывной и взаимно однозначной замены координат, то они являются топологически эквивалентными.
Динамическая система называется грубой, или структурно устойчивой, если ее малые возмущения
Динамическая система называется грубой, или структурно устойчивой, если ее малые возмущения
Задачей бифуркационного анализа является выяснение разбиения пространства параметров изучаемой системы на области различных структурно устойчивых режимов.
«Мягкие» и «жесткие» бифуркации
Пусть при некотором начальном значении параметра мы имеем
«Мягкие» и «жесткие» бифуркации
Пусть при некотором начальном значении параметра мы имеем
Пусть при а < a* шарик находится в устойчивом стационарном состоянии.
Пусть при а < a* шарик находится в устойчивом стационарном состоянии.
В точке бифуркации а = a* устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они исчезают и система выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима.
Такой тип бифуркаций называют жестким, или катастрофой.
Бифуркации неподвижных точек одномерных отображений
Для одномерных отображений существует 2 способа изменения
Бифуркации неподвижных точек одномерных отображений
Для одномерных отображений существует 2 способа изменения
Касательная бифуркация (или «седло-узловая», или катастрофа складки).
Рассмотрим отображение
(34)
При отрицательном µ оно имеет две неподвижные точки:
Если провести анализ на устойчивость, то получим, что 1-я точка - устойчива, а 2-я – неустойчива.
Будем теперь увеличивать параметр μ, следя за положением неподвижных точек, а
Будем теперь увеличивать параметр μ, следя за положением неподвижных точек, а
При увеличении μ обе неподвижные точки сближаются, вплоть до слияния при μ = 0. В то же самое время соответствующие им мультипликаторы стремятся к 1, одно – справа, а другое – слева. В момент достижения равенства обе неподвижные точки сливаются и исчезают. При μ > 0 неподвижных точек у отображения (34) нет.
ρ2
ρ1
Другое название касательной бифуркации – «складка». Это становится понятным, если посмотреть
Другое название касательной бифуркации – «складка». Это становится понятным, если посмотреть
Еще одно название такой бифуркации – «седло-узловая» - пришло из рассмотрения двумерных динамических систем, в связи с тем, что бифуркация соответствует слиянию устойчивого узла с седлом.
Таким образом, в касательной бифуркации участвуют 2 неподвижные точки, устойчивая и неустойчивая. Одновременное достижение их мультипликаторами граничной величины ρ = +1 соответствует их слиянию и исчезновению.
2. Транскритическая бифуркация.
Рассмотрим отображение
(35)
При всех μ, кроме μ =
2. Транскритическая бифуркация.
Рассмотрим отображение
(35)
При всех μ, кроме μ =
Из графика видно, что по мере увеличения параметра точка x*2 сближается с x*1, «проходит сквозь нее» и затем удаляется. При этом в точке μ = 0 неподвижные точки «обмениваются» устойчивостью: если при μ ≤ 0 точка x*2 – устойчива, а x*1 – нет, то при μ ≥ 0 – наоборот! Именно эта характерная особенность и определила название бифуркации.
График для собственных значений неподвижных точек можно построить из (35), вычислив
График для собственных значений неподвижных точек можно построить из (35), вычислив
Получаем:
ρ1
ρ2
Обе прямые пересекаются в точке транскритической бифуркации μ = 0 и ρ1,2 = + 1.
3. Вилообразная бифуркация (pitchfork) или бифуркация потери симметрии наблюдается в системе
3. Вилообразная бифуркация (pitchfork) или бифуркация потери симметрии наблюдается в системе
Рассмотрим отображение вида
(36)
График функции симметричен относительно замены xn → - xn.
При μ < 0 имеется единственная неподвижная точка x*1 = 0. При μ > 0 появляются еще две точки:
Собственные значения неподвижных точек есть:
Если -2 < μ < 0, то x*1 – устойчива. Если μ = 0, то от нее «отщепляются» устойчивые x*2 и x*3, сама же x*1 теряет устойчивость. при μ = 0.
ρ2,3
ρ1
x*1
x*3
x*2
Бифуркационная диаграмма для отображения (36) напоминает вилы, откуда и следует название
Бифуркационная диаграмма для отображения (36) напоминает вилы, откуда и следует название
Данный вариант вилообразной бифуркации является суперкритическим, т.к. новые неподвижные точки рождаются в момент бифуркации и существуют далее.
Существует другой вариант этой бифуркации. Замена знака перед кубическим членом в отображении (36) дает новое отображение
Оно имеет 3 неподвижные точки при μ < 0 и одну x*1 = 0 при μ > 0.
При μ < 0 x*1 = 0 является устойчивой, а две точки x*2 и x*3 - неустойчивые.
При μ = 0 точка x*1 также претерпевает бифуркацию и теряет устойчивость.
Однако общая картина эволюции состояний равновесия иная.
При увеличении μ два неустойчивых состояния равновесия «влипают» в устойчивую точку x*1 и исчезают, а сама x*1 теряет устойчивость.
Данный вариант – субкритическая бифуркация, т.к. к моменту бифуркации пара неустойчивых неподвижных точек исчезает.
4. Бифуркация удвоения соответствует второй границе зоны устойчивости неподвижной точки, когда
4. Бифуркация удвоения соответствует второй границе зоны устойчивости неподвижной точки, когда
Рассмотрим отображение
(37)
Его неподвижные точки:
Будем следить за точкой x*1 и эволюцией ее собственного значения, которое можно вычислить следующим образом:
При -1 < μ < 0 ρ1 < 1 и неподвижная точка x*1 устойчива. В точке μ = - 3/4 ρ1 = 0. Это означает, что при переходе μ через это значение характер сходимости меняется от монотонного при -1 < μ < -3/4 к знакопеременному при μ > - 3/4.
При μ = 0 ρ1 = - 1. Этот случай соответствует потере устойчивости неподвижной точкой. Траектория начинает расходиться, причем отклонение меняет свой знак на каждой итерации. Если бы отображение (37) было линейным, то это было бы единственным событием. Однако наличие нелинейности обогащает картину бифуркации.
Рассмотрим дважды примененное отображение (37):
(38)
Определенные выше неподвижные точки отображения (37) будут
Рассмотрим дважды примененное отображение (37):
(38)
Определенные выше неподвижные точки отображения (37) будут
Таким образом, в дважды примененном отображении (37) критической ситуации ρ1 = - 1 соответствует совсем другое событие, ρ1,2 = + 1. В данном случае при μ = 0 для отображения (38) имеет место суперкритическая вилообразная бифуркация. Точка x*1 теряет устойчивость, однако в ее окрестности рождаются две новые устойчивые неподвижные точки.
С точки зрения исходного отображения (37) обе родившиеся точки принадлежат одной
С точки зрения исходного отображения (37) обе родившиеся точки принадлежат одной
Таким образом, потеря устойчивости точкой x*1 при μ = 0 приводит к рождению устойчивого цикла удвоенного периода. По этому признаку данный случай получил название «бифуркация удвоения».
Функция последования отображения (37) качественно не меняется в момент бифуркации μ = 0, но неподвижная точка теряет устойчивость и при μ > 0 возникает замкнутая траектория из двух неподвижных точек.
Субкритическая бифуркация удвоения.
Отметим, что условие ρ1 = - 1 описывает локальную
Субкритическая бифуркация удвоения.
Отметим, что условие ρ1 = - 1 описывает локальную
(39)
имеет неподвижную точку x*1 = 0, которая также претерпевает бифуркацию удвоения при μ = 0, так как
Однако дважды примененное отображение в этом случае претерпевает не суперкритическую, а субкритическую вилообразную бифуркацию. Это означает, что в отображении (39) до точки бифуркации при μ < 0 существует неустойчивый цикл периода 2, который «влипает» в x*1 в момент бифуркации удвоения при μ = 0. Далее траектория уходит от потерявшей устойчивость точки x*1 в бесконечность.
Бифуркации неподвижных точек двумерных отображений
В силу своей большей размерности двумерное отображение
Бифуркации неподвижных точек двумерных отображений
В силу своей большей размерности двумерное отображение
В случае действительных собственных чисел (мультипликаторов) ρ1 и ρ2 двумерное отображение в окрестности неподвижной точки (20) может быть представлено в виде двух независимых линейных отображений
Здесь используется обратимая замена координат, переводящая уравнения в вариациях (20) в форму проекций на собственные векторы u и ν.
Это означает, что все типы бифуркаций одномерных отображений, рассмотренные ранее, применимы к случаю, когда одно из собственных чисел пересекает значение ± 1. Однако картина каждой из бифуркаций для систем большей размерности дополняется еще одним направлением, устойчивым либо неустойчивым, в зависимости от значения второго собственного числа.
Рассмотрим ситуацию, когда значения мультипликаторов ρ1 и ρ2 зависят от двух
Рассмотрим ситуацию, когда значения мультипликаторов ρ1 и ρ2 зависят от двух
Коразмерность бифуркации равна числу независимых событий, необходимых для ее реализации. Очевидно, что чем больше условий требуется выполнить, тем менее часто такая ситуация встречается в пространстве параметров. Вместо понятия «коразмерность» используют понятие «степень вырожденности».
Для двумерных отображений возможна также ситуация, когда одновременное достижение собственными числами бифуркационного значения управляется одним параметром. Это происходит в случае комплексно сопряженных ρ1 и ρ2. Такая бифуркация не имеет аналога для одномерного отображения. Ее коразмерность равна 1.
Случай действительных ρ1 и ρ2.
Рассмотрим варианты бифуркаций неподвижной точки
Случай действительных ρ1 и ρ2.
Рассмотрим варианты бифуркаций неподвижной точки
1. Седло-узловая бифуркация.
Слияние седла и устойчивого узла в биф. точке приводит к образованию вырожденной особой точки – седло-узел
Слияние седла и неустойчивого узла
Заметим, что у седловой точки в случае а) в бифуркации участвует неустойчивое многообразие, в случае б) – устойчивое.
ρ1 = +1, ρ2 < +1
ρ1 = +1, ρ2 > +1
2. Вилообразная бифуркация.
а)
Исходное состояние равновесия устойчиво, в результате бифуркации рождается
2. Вилообразная бифуркация.
а)
Исходное состояние равновесия устойчиво, в результате бифуркации рождается
б)
Исходное состояние равновесия – седло и в результате бифуркации рождается пара седловых точек.
3. Бифуркация удвоения.
а)
Бифуркация удвоения превращает устойчивую неподвижную точку в седловую.
б)
В
3. Бифуркация удвоения.
а)
Бифуркация удвоения превращает устойчивую неподвижную точку в седловую.
б)
В
Пример. Отображение Эно (Henon map)
x, y – динамические переменные, μ и
Пример. Отображение Эно (Henon map)
x, y – динамические переменные, μ и
Найдем неподвижные точки отображения и проведем их анализ на устойчивость. Неподвижные точки находятся из условия
(40)
что дает два решения:
(41)
Уравнение (41) имеет действительные корни при μ > - (1- b)2 /4. Соответственно при этих значениях μ существуют 2 различные неподвижные точки отображения, P1 и P2.
Уравнение в вариациях для малых отклонений ξ и η от состояния
Уравнение в вариациях для малых отклонений ξ и η от состояния
(42)
Собственные числа ρ1 и ρ2 находятся из решения характеристического уравнения
(43)
что дает
для каждой из 2-х неподвижных точек.
Проанализируем характер устойчивости неподвижных точек в зависимости от значения параметра μ. Зафиксируем b = 0.3. При μ → 0 неподвижные точки «разъезжаются» в бесконечность, при этом значения собственных чисел стремятся к для P1 и для P2.
Зависимость собственных значений неподвижных точек отображения Эно от параметра μ
Точка P2
Зависимость собственных значений неподвижных точек отображения Эно от параметра μ
Точка P2
У точки P1 при μ = 0.3675 одно из собственных чисел достигает значения -1, что соответствует бифуркации удвоения и рождению цикла периода 2. По другому направлению точка всегда устойчива, т.к. собственное значение меньше 1.
ρ
ρ21
ρ11
ρ22
ρ12
Случай комплексно сопряженных собственных чисел. Бифуркация Неймарка
Когда ρ1 и ρ2 комплексно
Случай комплексно сопряженных собственных чисел. Бифуркация Неймарка
Когда ρ1 и ρ2 комплексно
(44)
Если перейти к полярным координатам и выразить ρ1 и ρ2 в экспоненциальной форме:
то отображение (44) может быть сведено к двум независимым отображениям: для радиуса a (a описывает эволюцию расстояния возмущенной траектории от неподвижной точки) и для угла поворота Θ (вариация Θ соответствует вращению вокруг неподвижной точки) :
(45)
Учтем в самом общем виде наличие нелинейности, введя кубический член в отображение для a:
Тогда при вариации r, в зависимости от знака , возможны два случая.
Случай 1. < 0.
При r < 1 отображение, как и
Случай 1. < 0.
При r < 1 отображение, как и
Данный случай описывает суперкритическую бифуркацию Неймарка, когда из потерявшей устойчивость неподвижной точки рождается устойчивая замкнутая траектория.
Случай 2. > 0.
При r < 1 существуют две неподвижные точки, т.е. в то время как неподвижная точка a0 = 0 устойчива, имеется также неустойчивая точка a1, которой соответствует неустойчивая замкнутая траектория. При достижении значения r = 1 неустойчивая траектория «влипает» в a0, при этом последняя теряет устойчивость.
Случай 2 соответствует субкритической бифуркации Неймарка, когда неустойчивая замкнутая кривая стягивается к устойчивой неподвижной точке, в результате чего последняя теряет устойчивость.
Мы обсудили роль изменения модуля отклонения a от состояния равновесия. Однако
Мы обсудили роль изменения модуля отклонения a от состояния равновесия. Однако
(46)
1) Если ψ - иррационально, точки отображения со временем плотно заполняют появившуюся замкнутую инвариантную кривую.
Операция mod 1 означает, что величина ψ принадлежит интервалу [0, 1]. Изменение величины ψ от 0 до 1 можно трактовать как полный круг вращения радиус-вектора по окружности.
Определение. Число вращения замкнутой кривой на плоскости относительно заданной точки - это целое число, представляющее общее число оборотов, которое совершает кривая вокруг точки против часовой стрелки.
Если рассматривать неподвижную точку двумерного отображения как сечение Пуанкаре предельного цикла
Если рассматривать неподвижную точку двумерного отображения как сечение Пуанкаре предельного цикла
Модуля́ция [лат. modulatio мерность, размерность] — процесс изменения одного или нескольких параметров
Модуля́ция [лат. modulatio мерность, размерность] — процесс изменения одного или нескольких параметров
2) Если ψ принимает рациональные значения (т.е. возможно его представление в
2) Если ψ принимает рациональные значения (т.е. возможно его представление в
В случае сильных резонансов, при ψ = 1/2, 1/3, 1/4 точка отображается сама в себя через 2, 3 или 4 итерации, соответственно.
Случаи резонансов
Например, в случае резонанса ψ = 1/3, вместо окружности будет только 3 точки. За одну итерацию радиус-вектор повернется на угол 2π/3 и полный оборот (2π) траектория сделает за 3 итерации.
В частности, если ψ = 0, то бифуркация Неймарка вырождается в касательную бифуркацию, а если ψ = 1/2, то ситуация эквивалента бифуркации удвоения.
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания
Наиболее простым и иллюстративным примером механической резонансной системы являются обычные качели.
Наиболее простым и иллюстративным примером механической резонансной системы являются обычные качели.
Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах.
Резонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторыРезонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипкиРезонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у флейтыРезонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у флейты, мембрана у барабанов.
Струна
Струны таких инструментов, как лютняСтруны таких инструментов, как лютня, гитараСтруны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины и силы натяжения струны.
Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.