Содержание
- 2. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или
- 3. Примеры ДУ:
- 4. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Решением ДУ называется такая функция, подстановка которой
- 5. Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ
- 6. Решение: Т.о. функции вида являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С1 и С2: Подставим:
- 7. Дифференциальные уравнения I порядка
- 8. Общим решением ДУ I порядка называется функция , которая зависит от одного произвольного постоянного С. или
- 9. Частным решением ДУ I порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретном значении постоянной
- 10. Пример 2. ДУ: -общее решение частные решения
- 11. Геометрически: Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; Частное решение ДУ -одна кривая
- 12. Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши (Cauchy). или Условие,
- 13. Пример 3. Решить задачу Коши: -общее решение Решение: Подставим в общее решение начальные условия: -частное решение
- 14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция f(x,y) и её частная производная
- 15. 1. ДУ I порядка с разделёнными переменными. Если каждая часть ДУ представляет собой произведение некоторого выражения,
- 16. Пример 4. Решить ДУ: Решение: С общее решение: или Геометрически: получили семейство концентрических окружностей с центром
- 17. Пример 5. Решить ДУ: Решение: С общее решение: или х у 0 С=1 С=1 С=3 С=3
- 18. 2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными. Уравнения, в которых переменные разделяются, называются ДУ с разделяющимися
- 19. интегрируем:
- 20. Замечание: При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить
- 21. Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ: Решение: ⇒ 1) Найдём общее решение ДУ:
- 22. Итак, общее решение ДУ: 2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее
- 23. Геометрически: х у общее решение частное решение у = 2х (5;10)
- 24. Пример 7. Найти общее решение ДУ: Решение:
- 25. или ⇒ Ответ. Общее решение:
- 26. Нахождение особого решения: Здесь уравнение имеет вид ху=0 Его решения х=0, у=0 являются решениями данного ДУ,
- 27. Пример 8. Найти общее решение ДУ: Решение:
- 28. или ⇒
- 29. Геометрически: общее решение С=5 С=3 С=1 С=-2 С=-5 х у
- 30. Пример 9. Решить задачу Коши: Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:
- 31. или Итак, общее решение ДУ: С
- 32. 2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение и найдем С:
- 33. Геометрически: общее решение частное решение (0;1) С=5 С=-3 С=-6 С=0 х у
- 34. Пример 10. Решить задачу Коши: Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:
- 35. Итак, общее решение ДУ: ⇒
- 36. 2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение и найдем С:
- 38. Скачать презентацию