Cálculo numérico

Сентябрь 13, 2022

Содержание

2. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Equações diferenciais de 1a ordem - continuação Método de Runge- Kutta (Euler
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma F(x, y(x), y’(x),
4. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA O método de Runge-Kutta pode ser entendido como um aperfeiçoamento do método de
6. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA O método de Euler é o método de Runge-Kutta de 1ª ordem; No
7. MÉTODO DE EULER É um método de passo 1, isto é, para determinar y n+1 precisamos
8. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEM p É um método de passo 1, isto é, para determinar
9. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA Como é um aperfeiçoamento do método de Euler devemos ter que y’ =
10. EXEMPLO 1 – Resolva o problema de valor inicial Usando o método de Euler modificado encontre
11. EXEMPLO 1 – continuação
12. EXEMPLO 1 – continuação X1 = 0 + 0,1 = 0,1 e y1=0,005
13. EXEMPLO 2 – Resolver o problema de valor inicial Determinar y(1) Euler X0 = 0 ;
14. EXEMPLO 2 – continuação b) Euler modificado X0 = 0 ; y0= 1.000 e h =
15. EXEMPLO 2 – continuação
16. EXEMPLO 2 – continuação Solução exata: Para x = 1, temos: y = 1000.e 0,04 ⇒
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Equações diferenciais de 1a ordem - continuação
Método de

Runge- Kutta (Euler modificado)

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da

forma F(x, y(x), y’(x), y’’(x), ..., y(n)(x)) = 0 envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas. A variável x é independente enquanto y é dependente. O símbolo y(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).
Exemplos:

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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
O método de Runge-Kutta pode ser entendido como

um aperfeiçoamento do método de Euler, com uma melhor estimativa da derivada da função;
No método de Euler a estimativa do valor de yn+1 é realizado com o valor de yn e com a derivada no ponto xn;
No método de Runge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa da derivada com a avaliação da função em mais pontos no intervalo [xn , xn+1 ].

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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
O método de Euler é o método de

Runge-Kutta de 1ª ordem;
No método de Runge-Kutta de 2ª ordem, o valor da estimativa de yn+1 é encontrado com o valor de yn e com uma estimativa da derivada em um ponto mais próximo de xn+1, em xn + h/2 ;
A ideia básica é aproveitar as qualidades dos métodos da série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f(x, y) - torna os métodos de série de Taylor computacionalmente ineficientes.

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MÉTODO DE EULER
É um método de passo 1, isto é,

para determinar y n+1 precisamos de apenas yn;
Não é necessário o cálculo de qualquer derivada de f(x,y);
É um método de série de Taylor de 1ª ordem:
Calcula f(x,y) em vários pontos.

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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEM p
É um método de passo

1, isto é, para determinar y n+1 precisamos de apenas yn;
Após expandir f(x,y) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (xn,yn) sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem;
Não é necessário o cálculo de qualquer derivada de f(x,y);
Calcula f(x,y) em vários pontos.

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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Como é um aperfeiçoamento do método de Euler

devemos ter que y’ = f (x, y) e y(x0) = y0;
Esse método consiste em se fazer mudanças no método de Euler para se conseguir um método baseado na série de aylor de 2ª ordem, de tal forma que elimine o cálculo de derivadas de 2ª ordem;

Слайд 10