Частные производные функции нескольких переменных

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Частные производные функции нескольких переменных

Содержание

3. Частные производные высших порядков Т.е. Замечание:
4. Дифференциал функции нескольких переменных Определение. Дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма произведений частных производных этой функции
5. Градиент функции нескольких переменных Определение. Градиентом функции называется вектор с координатами Обозначается Пример.
6. Экстремум функции нескольких переменных. Определение. Пусть функция z=f (x; y) определена на множестве D⊂R2. Точка M(x0;y0)
7. − точка минимума, Теорема. (необходимое условие экстремума).
8. называются критическими или стационарными. Замечание: Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции z=f (x; y),
9. Пример. но существует точка (1,−1) такая, что z( 1,−1)=−1 или точка (2,3) такая, что z(2,3)=6>z(0,0). Следовательно,
10. Пример.
11. Теорема. (достаточное условие экстремума функции 2-х переменных). Пусть функция а) определена в некоторой окрестности критической точки
12. Тогда: если и А>0, то это min, то в точке (x0;y0) существует экстремум, причем если и
13. Схема исследования функции на экстремум 1. Определить область определения функции 2. Найти и и решить систему
14. Пример. или или Таким образом − критические точки. 1. 2.
15. 3. Для точки Следовательно, нужны дополнительные исследования. Следовательно, точка является точкой максимума. Для точки 4.
16. Условный экстремум функции нескольких переменных.
17. Определение. Точка (x0; y0) называется точкой условного максимума (минимума) функции z=f (x;y), если существует такая окрестность
18. Пример. 1 способ. 2 способ. Метод Лагранжа. Строим функцию Лагранжа:
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Слайд 3

Частные производные высших порядков
Т.е.
Замечание:

Слайд 4

Дифференциал функции нескольких переменных
Определение. Дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма произведений

частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

Учитывая, что для функций

выполнено

, имеем

Слайд 5

Градиент функции нескольких переменных
Определение. Градиентом функции называется вектор с координатами
Обозначается

Пример.

Слайд 6

Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Пусть функция z=f (x; y) определена

на множестве D⊂R2. Точка M(x0;y0) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x;y) , если существует окрестность точки М такая, что для каждой точки (x; y) отличной от (x0; y0) из этой окрестности выполняется неравенство:

Слайд 7

− точка минимума,
Теорема. (необходимое условие экстремума).

Слайд 8

называются критическими или стационарными.
Замечание:
Точки, в которых выполнены необходимые условия

экстремума функции
z=f (x; y), т.е.

Слайд 9

Пример.
но существует точка (1,−1) такая, что
z( 1,−1)=−1или

точка (2,3) такая, что z(2,3)=6>z(0,0).
Следовательно, необходимого условия недостаточно, для того чтобы сказать, что критическая точка является экстремумом.

− критическая точка. z(0,0)=0,

Слайд 10

Пример.

Слайд 11

Теорема. (достаточное условие экстремума функции 2-х переменных).
Пусть функция
а) определена

в некоторой окрестности критической точки (x0;y0), в которой частные производные равны нулю, т.е.

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка такие, что

Слайд 12

Тогда:
если
и А>0, то это min,
то в точке (x0;y0) существует

экстремум, причем

если

и А<0, то это max,

2) если

то экстремума в точке (x0;y0) нет;

3) если

то вопрос об экстремуме остается открытым (нужны дополнительные исследования).

1) если выражение

Слайд 13

Схема исследования функции на экстремум
1. Определить область определения функции
2. Найти

и и решить систему

Найти критические точки.

3. Найти частные производные второго порядка.
Для каждой критической точки вычислить

С помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти значение функции в точках экстремума.

Слайд 14

Пример.
или
или
Таким образом
− критические точки.
1.
2.

Слайд 15

3.
Для точки
Следовательно, нужны дополнительные исследования.
Следовательно, точка
является точкой

максимума.

Для точки

Слайд 16

Условный экстремум функции нескольких переменных.

Слайд 17

Определение. Точка (x0; y0) называется точкой условного максимума (минимума) функции z=f

(x;y), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (x; y) из этой окрестности и удовлетворяющих условию g(x,y)=0 выполняется неравенство:

1 способ. (Сведение задачи на условный экстремум к задаче отыскания экстремума функции одной переменной).

Слайд 18

Частные производные функции нескольких переменных

Содержание

Частные производные высших порядковТ.е. Замечание:

Дифференциал функции нескольких переменныхОпределение. Дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма произведений

Градиент функции нескольких переменныхОпределение. Градиентом функции называется вектор с координатами Обозначается

Экстремум функции нескольких переменных. Определение. Пусть функция z=f (x; y) определена

− точка минимума,Теорема. (необходимое условие экстремума).

называются критическими или стационарными. Замечание: Точки, в которых выполнены необходимые условия

Пример. но существует точка (1,−1) такая, что z( 1,−1)=−1или

Пример.

Теорема. (достаточное условие экстремума функции 2-х переменных). Пусть функция а) определена

Тогда: еслии А>0, то это min,то в точке (x0;y0) существует

Схема исследования функции на экстремум1. Определить область определения функции 2. Найти

Пример.или или Таким образом − критические точки. 1.2.

3. Для точки Следовательно, нужны дополнительные исследования. Следовательно, точка является точкой

Условный экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Точка (x0; y0) называется точкой условного максимума (минимума) функции z=f

Пример. 1 способ.2 способ. Метод Лагранжа.Строим функцию Лагранжа:

Похожие презентации

Частные производные высших порядков
Т.е.
Замечание:

Дифференциал функции нескольких переменных
Определение. Дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма произведений

Градиент функции нескольких переменных
Определение. Градиентом функции называется вектор с координатами
Обозначается

Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Пусть функция z=f (x; y) определена

− точка минимума,
Теорема. (необходимое условие экстремума).

называются критическими или стационарными.
Замечание:
Точки, в которых выполнены необходимые условия

Пример.
но существует точка (1,−1) такая, что
z( 1,−1)=−1или

Теорема. (достаточное условие экстремума функции 2-х переменных).
Пусть функция
а) определена

Тогда:
если
и А>0, то это min,
то в точке (x0;y0) существует

Схема исследования функции на экстремум
1. Определить область определения функции
2. Найти

Пример.
или
или
Таким образом
− критические точки.
1.
2.

3.
Для точки
Следовательно, нужны дополнительные исследования.
Следовательно, точка
является точкой

Пример.
1 способ.
2 способ. Метод Лагранжа.
Строим функцию Лагранжа: