Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Содержание

Слайд 2

§ 1. Понятие случайного события Определение. Событие А называется случайным, если

§ 1. Понятие случайного события

Определение. Событие А называется случайным, если при

осуществлении определенной совокупности условий оно может либо произойти, либо не произойти. Осуществление определенной совокупности условий называется испытанием или экспериментом.
Определение. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.
Определение. Случайные события называются несовместными (или взаимоисключающими), если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других.
Определение. Вся совокупность несовместных исходов экспериментов называется пространством элементарных событий Ω. Исходы ω i, входящие в эту совокупность, называются элементарными событиями.
Ω = { ω 1, ω 2,.... ω n}
Слайд 3

§2. Математическая модель испытания Аналогия между понятиями теории вероятностей и теории

§2. Математическая модель испытания

Аналогия между понятиями теории вероятностей и теории множеств
Пространство

элементарных событий ↔ Множество
Элементарное событие ↔ Элемент этого множества Событие ↔ Подмножество
Определение. Случайным событием называется любое подмножество
пространства элементарных исходов.
Определение. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте.
Определение. Событие называется достоверным, если в данном эксперименте оно происходит всегда.
Замечание. Пространство элементарных событий может быть построено не единственным способом, выбор математической модели зависит от условий поставленной задачи.
Слайд 4

§3. Операции над событиями. Алгебра случайных событий. Событие С, заключающееся в

§3. Операции над событиями. Алгебра случайных событий.

Событие С, заключающееся в том,

что произошло хотя бы одно из
случайных событий А или В, называется суммой событий А и В.
С = А+В = А U В
Событие С, заключающееся в том, что произошли и событие А, и
событие В одновременно, называется произведением событий А и В.
С = АВ = А ∩ В
Событие С, заключающееся в том, что А произошло, а В - нет,
называется разностью событий А и В.
С = А \ В = А – В
Слайд 5

Событие Ā противоположно событию А, если оно содержит все исходы, не

Событие Ā противоположно событию А, если оно содержит все исходы, не

принадлежащие А.
Ā = Ω \ А
События А и В называются тождественными, если они содержат одни и те же элементарные исходы.
А = В
Говорят, что А влечет за собой В , если при наступлении А произойдет В.
? ⊂ ?
Свойства введенных операций
Коммутативность: А + В = В + А; АВ = ВА
Ассоциативность : (А + В) + С = А + (В+С); (АВ)С = А(ВС)
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(А + В)С = АС + ВС
Слайд 6

Некоторые полезные соотношения а) А + А = А АА =

Некоторые полезные соотношения

а)

А + А = А
АА = А А Ā =

Ø

А + Ω = Ω
АΩ = А
А + Ā = Ω

б) правила де Моргана: ? + ? = ? ∩ ? ; ?? = ? + ?
в) разложение на несовместные события:
? + ? = ? + ? − ?? = ?? + ?? + ?? = ? + ??
г) ? − ? = ??
Определение. Пусть Ω – пространство элементарных событий,
u – множество всех подмножеств Ω, включая невозможное событие и достоверное событие. Множество u называют алгеброй событий, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения.
Замечание: для испытаний с конечным числом исходов n u всегда является алгеброй и содержит 2ⁿ элементов.

Слайд 7

Вероятность события Классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Статистический подход к понятию вероятности Аксиоматическое определение вероятности события

Вероятность события

Классическое определение вероятности
Геометрическая вероятность
Статистический подход к понятию вероятности
Аксиоматическое определение вероятности

события
Слайд 8

§4. Классическое определение вероятности Определение. Пусть Ω = {ω1, ω 2,…,

§4. Классическое определение вероятности

Определение. Пусть Ω = {ω1, ω 2,…, ωn} –

пространство элементарных равновозможных событий, u- алгебра событий ( N(u) = 2ⁿ)
Тогда:
а) P(ωi) = 1/n, i= 1, 2,…, n
б) P(А) = m/n, где А = {ωi1, ωi2,…, ωim }
(вероятность события А – есть отношение числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов n).
Пример 1: подбрасывание игральной кости Пример 2: вытаскивание карты из колоды Пример 3: двукратное подбрасывание монеты
Слайд 9

§5. Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность. 10.Геометрическая вероятность Чтобы преодолеть недостаток классического

§5. Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность.

10.Геометрическая вероятность
Чтобы преодолеть недостаток классического определения

вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятности.
Определение. Геометрической вероятностью P(А) наступления некоторого события A в испытании называют отношение GA/GΩ, где GΩ – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а GA – мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов.
P(А)= GA/GΩ
Слайд 10

20. Относительная частота события и статистическая вероятность Определение. Относительной частотой W(A)

20. Относительная частота события и статистическая
вероятность

Определение. Относительной частотой W(A) события A

называют отношение числа испытаний m, в которых данное событие появилось, к общему числу фактически проведённых испытаний n
W(A) = m/n
Относительная частота рассчитывается исключительно ПОСЛЕ опытов на основе фактически полученных данных.
В том случае, если серии испытаний проводятся в неизменных условиях, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, то есть колеблется около определённого значения.
Слайд 11

Пример. Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний,

Пример.

Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний, то

за статистическую вероятность события принимают относительную частоту данного события либо близкое число.
Слайд 12

Геометрические вероятности Если площадь S(A) фигуры A разделить на площадь S(X)

Геометрические вероятности

Если площадь S(A) фигуры A разделить на площадь S(X) фигуры

X, которая целиком содержит фигуру A, то получится вероятность того, что случайно выбранная точка фигуры X окажется в фигуре A:
P(A) =S(A)/S(X)
Слайд 13

Пример 1 Отрезок единичной длины случайным образом разделяют на три отрезка.

Пример 1

Отрезок единичной длины случайным образом разделяют на три отрезка. Какова

вероятность того, что из них можно сложить треугольник?
Слайд 14

Построение модели Пронумеруем отрезки слева направо и обозначим их длины за

Построение модели

Пронумеруем отрезки слева направо и обозначим их длины за

x, y и z. Так как x+y+z=1, то z=1-x-y>0. Значит, x>0, y>0 и при этом x+y<1. В координатной плоскости изобразим множество решений системы трех неравенств:
x>0
y>0
x+y<1
Слайд 15

Получим треугольник с вершинами (0;0) (1;0) (0;1) без учета его сторон.

Получим треугольник с вершинами (0;0) (1;0) (0;1) без учета его сторон.

Каждому способу деления заданного отрезка на три части x,y,z поставим в соответствие точку (x,y) из треугольника. Выбрав точку(x,y) мы однозначно зададим и разбиение заданного отрезка единичной длины на три отрезка [0;x] [x;x+y] [x+y;1].
Слайд 16

Слайд 17

Работа с моделью x+y>z x+y>1-x-y x+y>0.5 x+z>y x+1-x-y>y y y+z>x y+1-x-y>x

Работа с моделью

x+y>z x+y>1-x-y x+y>0.5
x+z>y x+1-x-y>y y<0.5
y+z>x y+1-x-y>x x<0.5
Получаем треугольник, подобный первому с коэффициентом подобия 0,5
S1/S2=1/4

Слайд 18

Вероятность того, что точка окажется окажется в меньшем треугольнике P(A)=0.25

Вероятность того, что точка окажется окажется в меньшем треугольнике P(A)=0.25

Слайд 19

Пример 2 Случайным образом нарисовали треугольник. Какова вероятность того, что он является остроугольным?

Пример 2

Случайным образом нарисовали треугольник. Какова вероятность того, что он является

остроугольным?
Слайд 20

Построение модели Переформулируем задачу: Число 180 случайным образом представили в виде

Построение модели

Переформулируем задачу:
Число 180 случайным образом представили в виде суммы трех

положительных слагаемых. Какова вероятность того, что все слагаемые меньше 90?
Слайд 21

Пусть 0 0 x y Получим треугольник с вершинами О(0;0) А(0;90)

Пусть 00xy<180-x-y x+2y<180
Получим треугольник с вершинами О(0;0) А(0;90) В(60;60). Каждая

точка однозначно «отвечает» за треугольник с углами x, y, 180-x-y.
Слайд 22

Слайд 23

Работа с моделью Отметим в нашей модели точки, соответствующие остроугольным треугольникам.

Работа с моделью

Отметим в нашей модели точки, соответствующие остроугольным треугольникам.
xy<180-x-y<90 x+2y<90
x+y>90
Получаем треугольник

с вершинами А(0;90) В(60;60) С(45;45)
Слайд 24

S(ABC)/S(AOB)=(0.5 AC*BC)/(0.5AC*OB)= BC/OB По теореме Фалеса BC/OB=0,25 P(A)=0.25

S(ABC)/S(AOB)=(0.5 AC*BC)/(0.5AC*OB)= BC/OB
По теореме Фалеса BC/OB=0,25
P(A)=0.25

Слайд 25

Пример 3 Два студента решили встретиться у фонтана. Каждый из них

Пример 3

Два студента решили встретиться у фонтана. Каждый из них может

гарантировать только то, что он появится у фонтана с 12-00 до 13-00. По инструкции студент после прихода ждет встречи у фонтана 15 минут и по их истечении (или ровно в 13:00) уходит. Какова вероятность встречи?
Слайд 26

Построение модели За единицу отсчета возьмем 1 час, а за начало

Построение модели

За единицу отсчета возьмем 1 час, а за начало отсчета

возьмем 12:00. Пусть x - время прихода первого шпиона, а y - время прихода второго. Тогда o≤x≤1, 0 ≤y ≤1 и точка (x,y) квадрата с вершинами О(0;0) А(0;1) В(1;1) С(1;0) будет соответствовать времени прихода первого и второго студента.
Слайд 27

Слайд 28

Работа с моделью Встреча произойдет, только если время прихода первого шпиона

Работа с моделью

Встреча произойдет, только если время прихода первого шпиона отличается

от времени прихода второго не более чем на 15 минут. Т.е.
0 ≤x ≤1 0 ≤x ≤1
0 ≤y ≤1 0 ≤y ≤1
|y-x| ≤0.25 x-0.25 ≤y ≤x+0.25
Получается часть квадрата ОАВС, лежащая между прямыми y=x-0.25 и y=x+0.25
Слайд 29

Незаштрихованная часть состоит из двух прямоугольных треугольников, катеты которых равны 0,75.

Незаштрихованная часть состоит из двух прямоугольных треугольников, катеты которых равны 0,75.

Значит их площадь равна 0,5625. Т.е. заштрихованная часть составляет 0,4375 от площади всего квадрата. Это и есть искомая вероятность P(A)=0.4375
Слайд 30

Комбинаторика Правило сложения Правило умножения Понятие факториала числа Размещения Перестановки Сочетания Алгоритм решения комбинаторных задач

Комбинаторика

Правило сложения
Правило умножения
Понятие факториала числа
Размещения
Перестановки
Сочетания
Алгоритм решения комбинаторных задач

Слайд 31

Элементы комбинаторики Принцип произведения комбинаций. Если какое-либо действие осуществляется за k

Элементы комбинаторики

Принцип произведения комбинаций. Если какое-либо действие осуществляется за k последовательных

шагов, при этом первый шаг может быть реализован n1 числом способом, второй шаг n2 числом способов, k-й шаг — nk способами, то общее число способов реализации действия равно:
N=n1·n2·...·nk.
Перестановками из n элементов называют всевозможные упорядоченные соединения из данных элементов. Число таких перестановок Pn равно:
Pn = n·(n−1)·(n−2)·...·1 = n!
Слайд 32

Правило суммы Пусть имеется n попарно непересекающихся множеств содержащих элементов соответственно.

Правило суммы


Пусть имеется n попарно непересекающихся множеств содержащих элементов соответственно. Число

способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно
Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из них можно выбрать одного студента?
Слайд 33

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек,

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек,

во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из них можно выбрать одного студента?
Решение:
У нас три множества содержащих
элементов соответственно.
Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Чтобы найти ответ, нужно сложить все эти способы: 25+30+20=75. Таким образом, выбрать одного студента из трех групп можно 75 способами.
Слайд 34

Правило произведения В дальнейшем будет часто использоваться Определение: Кортеж - конечная

Правило произведения

В дальнейшем будет часто использоваться
Определение:
Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения)

элементов какого-нибудь множества.
Пусть имеется n множеств
содержащих элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, то есть построить кортеж ( ), где равно
Слайд 35

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек,

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек,

во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами можно выбрать троих делегатов конференции - по одному из каждой группы?
Решение: У нас три множества содержащих
элементов соответственно. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Чтобы найти ответ, нужно перемножить эти числа . Получили, что выбрать по одному студенту из каждой группы можно 15000 способами.
Слайд 36

Понятие факториала числа Определение. Факториал – произведение натуральных чисел от единицы

Понятие факториала числа

Определение. Факториал – произведение натуральных чисел от единицы до

какого-либо данного натурального числа n.
По договоренности 0!=1.
Термин «факториал» ввел Л. Арбогаст в 1800г.
Обозначение n! было придумано в 1808 г. К. Крампом.
Слайд 37

Размещения Размещениями из n элементов по m элементов (m

Размещения

Размещениями из n элементов по m элементов (m

из данных n элементов множества по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов. Для обозначения числа всех размещений из n элементов по m, элементов применяется специальный символ: ,который читается как «число размещений из n по m».
Слайд 38

Размещения без повторений: Пример. В группе 30 студентов. Сколькими способами могут

Размещения без повторений:
Пример. В группе 30 студентов. Сколькими способами могут

быть выбраны староста и представитель студенческого актива, если каждый учащийся может быть избран на одну из этих должностей?
n=30, m=2
Слайд 39

Размещения с повторениями. Различные кортежи длины m, составленные из элементов данного

Размещения с повторениями. Различные кортежи длины m, составленные из элементов данного

множества, содержащего n элементов, так, что эти элементы в кортеже могут повторяться, называются размещениями с повторениями из n элементов по m элементов. Их число равно:
Пример. Группа из 25 студентов сдает экзамен. Возможные оценки – 2, 3, 4, 5. Сколькими способами может быть заполнена экзаменационная ведомость?
Решение: n=4, m=25. Получаем: .
Слайд 40

Перестановки Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов

Перестановки

Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по

n элементов. Перестановки – частный случай размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через .
Перестановки без повторений – это различные кортежи, которые можно построить из элементов данного множества, взятых ровно по одному разу:
Слайд 41

Пример. Для дежурства в общежитии в течение учебной недели (5 дней)


Пример. Для дежурства в общежитии в течение учебной недели (5 дней)

выделены 5 студентов. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый студент дежурит один раз?
Пример. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?
Слайд 42

Перестановки с повторениями: это кортежи, в которых элемент повторяется раз. Пример.

Перестановки с повторениями:
это кортежи, в которых элемент повторяется раз.
Пример. Сколько различных

«слов» можно составить, переставляя буквы слова «мама»?
Решение:
В слове «мама» 4 буквы: n=4
Буква «м» встречается в слове 2 раза:
Буква «а» - 2 раза: . По формуле получаем:
Слайд 43

Сочетания Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из

данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом: . Сочетания без повторений (n различных элементов, взятых по m):

 

Слайд 44

Пример. Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько различных

Пример. Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько различных

комиссий можно составить, если есть пять преподавателей?
n=5, m=2
Различные неупорядоченные наборы, составленные из m элементов этого множества так, что элементы в наборе могут повторяться, и порядок их не важен, называются сочетаниями с повторениями из n по m. Их число равно:

 

Слайд 45

Пример. Возьмем плоды банан, ананас, киви, яблоко и репа . Какие

Пример. Возьмем плоды банан, ананас, киви, яблоко и репа . Какие

сочетания из этих плодов, взятых по два, можно получить? Сколько таких наборов получится, если
1) плоды в наборе не повторяются;
2) можно брать по два одинаковых плода?
Решение:
n=5, m=2
1)
2)
Слайд 46

 

Слайд 47

Алгоритм решения комбинаторных задач При решении комбинаторных задач следует ответить на

Алгоритм решения комбинаторных задач

При решении комбинаторных задач следует ответить на следующие

вопросы:
Из какого множества осуществляется выбор (найти n – количество элементов из которых составляются комбинации)?
Определить сколько элементов в одной комбинации (найти m; если n=m – это перестановки, переходим к вопросу 4)?
Важен ли порядок (изменится ли комбинация, если в ней поменять элементы местами)?
если важен – это размещения ,
если нет – это сочетания .
Возможны ли повторения элементов в одной комбинации?
Слайд 48

Пример. В фортепианном кружке дома детского творчества занимается 10 человек, в

Пример. В фортепианном кружке дома детского творчества занимается 10 человек, в

кружке художественного слова – 15, в вокальном – 12 и в фотокружке – 20. Сколькими способами можно составить команду из 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и одного фотографа для выезда на экскурсию?
Решение: Разобьем решение задачи на подзадачи.
Сначала найдем сколькими способами можно выбрать чтецов:
производим выбор из 15 человек, n=15;
выбираем 4 человека, m=4;
порядок не важен, т.е. используем правило сочетаний ;
сочетания без повторений, так как люди выбираются разные.
Слайд 49

2. Проводя подобные рассуждения, выбираем пианистов: 3 из 10 – способов.

2. Проводя подобные рассуждения, выбираем пианистов: 3 из 10 – способов.
3.

Певцов: 5 из 12 – способов.
4. Фотографа: 1 из 20 – способов.
Поскольку выбор производится по всем четырем позициям, а не по одной, применяем правило произведения: .
Ответ: команду можно составить 2,595· способами.
- Предыдущая
Ассемблер1 (1)
Следующая -
Ноябрь в группе Белочка

Похожие презентации

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Стандартный вид числа Урок-путешествие вокруг Земли Алгебра, 9 класс Учитель математики МОУ «СОШ №8» г. Канаш ЧР ХАЛИУ
Формулы сокращенного умножения. Урок – пресс-конференция
Сходимость последовательностей. Вычисление пределов
Статистические критерии различий (3). Критерии различий. Сравнение более двух выборок
Методы решения уравнений
Інтеграл та його застосування
Классная работа. Сравнение обыкновенных дробей.
Урок математики 3 класс Тема: «Сложение и вычитание в пределах 100. Прибавление числа к сумме» Григорьева Марина Александровна
Могилатова Н.А. учитель математики МОУ СОШ №3, г.Балашов Муратова Т.В. учитель математики МОУ СОШ №3, г.Балашов Добрынина О.В. учит
Ломоносов - математик
Дробные числительные
«В задачах, которые ставит перед нами жизнь экзаменатором является сама природа.» У. Сойер
Применение определенного интеграла
Действия с обыкновенными дробями. Подготовка к ОГЭ задания первой части 1, 3, 8
Парадоксы теории множеств. (Лекция 9)
Метод координат
Презентация по математике "Периметр многоугольника" - скачать бесплатно
Презентация по математике "Равные фигуры" - скачать
Решение задач с помощью пропорций. 7 класс
Функция Презентация выполнена учителем математики МБОУ СОШ № 22 Татьяной Петровной Лисицыной, п. Пересыпь, Темрюкского рай
Бенефис линейной функции. 7 класс
Подготовка к ВПР. Математика 5 класс
Построение сечений параллелепипеда
Дискретная математика. Часть 2 Отношения на множествах и элементы комбинаторики
МАТЕМАТИКА 3 класс ГБОУ гимназия 1506 учитель начальных классов Моргачёва Елена Владимировна
Introdução às equações diferenciais
Отрезок. Длина отрезка.
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть