Десять способов решения квадратных уравнений

истории решения квадратных уравнений.
2. Изложить десять способов решения квадратных уравнений.
Актуальность проекта: Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.
Методы исследования: дедукция, анализ

современного человека. Практически все, что окружает человека – это так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

10х - 24 = 0.
Разложим левую часть на множители: х2 + 10х - 24 = =(х + 12)(х - 2).
Следовательно, (х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12.
Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0
Способы:
•Вынесение общего множителя за скобки;
•Использование формул сокращенного умножения;
•Способ группировки.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9.
Имеем: х2 + 6х - 7 = =х2 + 2• х • 3 + 9 - 9 - 7 = = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, или х + 3 = -4 х1 = 1, х2 = -7.

+ с = 0, а ? 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах * b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± v b2 - 4ac,
2ax = - b ± v b2 - 4ac,
1) В случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
2)Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
3)Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

уравнение имеет вид х2+ px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1; x2= q, x1+ x2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). Если (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p.
Если р < 0, то оба корня отрицательны. Если р < 0, то оба корня положительны

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у = 5, у =6, то х1 = 5/2, х = 6/2 Ответ: 2,5; 3.

bх + с = 0, где а ≠ 0.
Если, а+ b + с = 0 , то x1=1, x2=c/a
Если b = a + c, то x1=-1, x2=-c/a
1978х2-1984x+6=0
X1=1, x2=6/1978
319x2+1988x+1669=0
X1=-1, X2=-1669/319
7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения
Преобразуем уравнение х2 + px + q = 0 х2= - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение

Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

bх + с =0 Итак: 1) построим точки (центр окружности
2) и A(0; 1); 2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая.
Окружность пересекает ось Ох в двух точках В(х1;0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.
Окружность касается оси Ох в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
Окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения2)окружность касается оси Ох в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
Окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.5,в), в этом случае уравнение не имеет решения

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Таблица XXII. с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).
Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: z2+ pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

у2 + 6y – 16 = 0. Решение представлено на рисунке, где у2 + 6у = 16, или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = + 5 и у + 3 = – 5, или у =2, у2= –8