Диференціальні рівняння другого порядку

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Диференціальні рівняння другого порядку

Содержание

2. а) Рівняння, що не містить шукану функцію у Рівняння (1) явно не містить шукану функцію у.
3. загальний розв’язок: . Тоді загальний інтеграл буде мати вигляд: б) Рівняння, що не містить незалежну змінну
4. Підставимо знайдені вирази у рівняння (2) і отримаємо: . Звідси знайдемо: . Тоді . Проінтегрувавши останнє
5. 2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння. Означення. Диференціальне рівняння другого порядку наз. лінійним, якщо шукана функція у
6. Теорема 1. Якщо -2 частинних розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку: то -також є розв’язком
7. Означення. Розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку лінійно незалежні на : якщо . Теорема 3.
8. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі
9. Рівняння (5) наз. характеристичним рівнянням для рівняння (4). Характеристичне рівняння- це квадратне рівняння, що має 2
10. У випадку: , де: Корені комплексно спряжені. Загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:
11. 3.Неоднорідні лінійні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами . Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
12. Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами: (8) Якщо , то рівняння (9)
13. Розглянемо декілька випадків. Нехай права частина рівняння (8) є добуток показникової функції на поліном n-того степеня,
14. Підставивши вираз для у рівняння (8), скоротивши на і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо
16. Скачать презентацию

Слайд 2

а) Рівняння, що не містить шукану функцію у
Рівняння (1) явно не

містить шукану функцію у.
Для розв’язування цього рівняння позначимо:
і підставимо знайдені вирази у (1), тоді отримаємо рівняння першого порядку:
Проінтегруємо це рівняння і знайдемо його

Слайд 3

загальний розв’язок: .
Тоді загальний інтеграл буде мати вигляд:
б) Рівняння, що не

містить незалежну змінну х.
Рівняння (2) не містить явно незалежну змінну х. Для розв’язування цього рівняння позначимо: , але будемо вважати, що p
є функція від у. Тоді:

Слайд 4

Підставимо знайдені вирази у рівняння (2) і отримаємо: . Звідси знайдемо:

.
Тоді .
Проінтегрувавши останнє рівняння, отримаємо розв’язок рівняння (2):

Слайд 5

2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння.
Означення. Диференціальне рівняння другого порядку наз. лінійним,

якщо шукана функція у та її похідні , що входять у рівняння, мають тільки перший степінь:
(3)
Коефіцієнти: задані функції від х, або сталі величини, є неперервними для всіх значень х.
Якщо то рівняння (3) наз. лінійним неоднорідним рівнянням, в іншому випадку- лінійним однорідним .
Властивості лінійних однорідних
диференціальних рівнянь

Слайд 6

Теорема 1.
Якщо -2 частинних розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:

то -також є розв’язком цього рівняння.
Теорема 2.
Якщо -є розв’язком лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:
То -також є розв’язком цього рівняння.

Слайд 7

Означення.
Розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку лінійно незалежні на :

якщо .
Теорема 3.
Якщо -2 лінійно незалежні розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:
, то
-його загальний розв’язок, де
довільні сталі.

Слайд 8

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Лінійне однорідне диференціальне

рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:
(4) , де p,q-сталі числа.
Частинний розв’язок будемо шукати у вигляді:
Підставимо знайдені значення у рівняння (4), отримаємо:
.
(5)

Слайд 9

Рівняння (5) наз. характеристичним рівнянням для рівняння (4). Характеристичне рівняння- це

квадратне рівняння, що має 2 розв’язки: .
Розглянемо окремі випадки:
корені характеристичного рівняння дійсні і різні ( ):
загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:
б) корені характеристичного рівняння дійсні і рівні( ):
загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:
c) корені характеристичного рівняння комплексні:

Слайд 10

У випадку: , де:
Корені комплексно спряжені.
Загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:

Слайд 11

3.Неоднорідні лінійні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами .
Розглянемо неоднорідне

лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
. (6)
Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (6) дорівнює сумі якого-небудь частинного розв’язку цього рівняння і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння:
,
тобто: (7)

Слайд 12

Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:
(8)

Якщо , то рівняння (9)
наз. однорідним, що відповідає даному неоднорідному лінійному диференціальному рівнянню, де p,q-дійсні числа, f(x) -задана функція.
Загальний розв’язок рівняння (8) можна записати у вигляді:
де: - загальний розв’язок рівняння (9), а - частинний розв’язок рівняння (8).

Слайд 13

Розглянемо декілька випадків.
Нехай права частина рівняння (8) є добуток показникової функції

на поліном n-того степеня, тобто:
Тоді можливі такі випадки:
Число не дорівнює значенням коренів характеристичного рівняння:
тобто: , тоді частинний розв’язок треба шукати у вигляді:
де поліном n-того степеня з невизначеними коефіцієнтами.

Слайд 14

Підставивши вираз для у рівняння (8), скоротивши на
і прирівнявши коефіцієнти

при однакових степенях х, отримаємо систему з (n+1) рівнянь для визначення коефіцієнтів: кількість яких дорівнює:
n+1.
b). Число є простий корінь характеристичного рівняння:
тобто: , тоді частинний розв’язок треба шукати у вигляді:
де поліном n-того степеня з невизначеними коефіцієнтами.

Диференціальні рівняння другого порядку

Содержание

а) Рівняння, що не містить шукану функцію уРівняння (1) явно не

загальний розв’язок: .Тоді загальний інтеграл буде мати вигляд:б) Рівняння, що не

Підставимо знайдені вирази у рівняння (2) і отримаємо: . Звідси знайдемо:

2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння.Означення. Диференціальне рівняння другого порядку наз. лінійним,

Теорема 1.Якщо -2 частинних розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку:

Означення.Розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку лінійно незалежні на :

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Лінійне однорідне диференціальне

Рівняння (5) наз. характеристичним рівнянням для рівняння (4). Характеристичне рівняння- це

У випадку: , де:Корені комплексно спряжені.Загальний розв’язок рівняння (4) має вигляд:

3.Неоднорідні лінійні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами . Розглянемо неоднорідне

Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами: (8)

Розглянемо декілька випадків.Нехай права частина рівняння (8) є добуток показникової функції

Підставивши вираз для у рівняння (8), скоротивши на і прирівнявши коефіцієнти

Похожие презентации