Дифференциальные уравнения

некоторого явления. Часто рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости y от x, а можем установить зависимость между величинами x и y и производными от y по x : y’,y’’,…,y(n), то есть написать дифференциальное уравнение. Из полученной зависимости между переменными x и y и производными требуется установить непосредственно зависимость y от x, то есть найти y=f(x) или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение.

по какому закону будет изменяться скорость r падения этого тела, если на него кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости, с коэффициентом пропорциональности k, то есть требуется найти r = ƒ(x).

функцию y = ƒ(x) и ее производные , , …, .

Символически дифференциальное уравнение
можно написать так:

или

Если искомая функция y = ƒ(x) есть функция одной неизвестной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Например, уравнение - первого порядка,
- уравнение второго порядка.

Решением, или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

относительно , то его можно записать в виде

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

В этом случае говорят, что дифференциальное уравнение разрешимо относительно производной. Для таких уравнений справедлива теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

производная непрерывны в некоторой области D на плоскости XOY, содержащей некоторую точку ( , ) , то существует единственное решение этого уравнения y = (x), удовлетворяющее условию y = при x = .

Геометрический смысл теоремы: Существует и притом единственная функция y = (x)график которой проходит через точку ( , ).
Условие, что при x = функция y должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Оно часто записывается в виде:

от одной произвольной постоянной C и удовлетворяет следующим условиям:
а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной C;
б) каково бы ни было начальное условие y = при x = , то есть , можно найти такое значение C = C , что функция y = (x, C ) удовлетворяет данному начальному условию.
При этом предполагается, что значения и принадлежат к той области изменения переменных x и y, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности.

если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение C = C

Решить, или проинтегрировать дифференциальное уравнение, значит:
а) найти общее решение или общий интеграл, если начальные условия не заданы,
или
б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, если таковые имеются.

часть есть произведение функции, зависящей только от x, на функцию, зависящую только от y. Преобразуем его следующим образом, предполагая, что :

Интегрируя, левую часть по у, а правую по x, найдем

постоянную С, то есть получили общий интеграл уравнения

1) дифференциальное уравнения типа

называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его по доказанному есть

2) уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

относительно переменных x и y, если при любом λ справедливо тождество
Пример: Функция -2 − ого измерения.

Определение: Уравнение первого порядка

называется однородным относительно x и y, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения относительно x и y.

относительно неизвестной функции и ее производной.
Оно имеет вид

где P(x),Q(x) - заданные непрерывные функции от х (или постоянные). Если, в частности, Q≡ 0, то уравнение имеет вид

Уравнение называется линейным однородным, или без правой части, уравнение - неоднородным.

от x, или постоянные, a n ≠ 0, n ≠ 1, в противном случае получилось бы линейное уравнение. Уравнение называется
уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному следующим преобразованием: Разделив все члены уравнения на , получим

Сделаем замену , тогда

интеграл и подставив вместо z выражение ,
получим общий интеграл уравнения Бернулли

Замечание: Решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций: y = u(x)v(x), где v(x) - какая-либо функция, отличная от 0 и удовлетворяющая уравнению v´+Pv=0.

общем случае не интегрируется в квадратурах.
1) если известно частное решение уравнения Риккати, то все его решения находятся с помощью двух квадратур. Пусть - частное решение. Полагая , получим уравнение Бернулли.

M(x,y) и N(x,y) -
непрерывно – дифференцируемые функции, для которых
выполняется соотношение
причем и непрерывны в некоторой области.

декартовы координаты, С-параметр, принимающие различные фиксированные значения. При каждом данном значении параметра С уравнение определяет некоторую кривую на плоскости XOY. Придавая C всевозможные значения, мы получаем семейство кривых, зависящие от одного параметра, или, как часто говорят,
- однопараметрическое семейство кривых. Таким образом, уравнение есть уравнение однопараметрического семейства кривых:

каждой своей точке касается той или иной линий семейства, причем в различных точках линий L ее касается различные линии
данного семейства.

общий интеграл

каком значении С и имеющее своим графиком огибающую семейства интегральных кривых, входящих в общее решение, называется особым решением дифференциального уравнения.

Определение: Точка, в которой нарушается единственность решения дифференциального уравнения, то есть точка, через которую проходят по крайней мере 2 интегральные кривые, называется особой точкой.

методов интегрирования является метод введения параметра или, как его еще называют, интегрирование посредством дифференцирования. Суть метода состоит в следующем:

Вводится новая переменная (параметр) p по формуле
, при этом переменные x и y рассматриваются как функции от p: x = x(p), y = y(p).

2) Уравнение приводится к виду , и
полученное уравнение дифференцируем по x или y.

выражается в элементарных функциях, относится уравнение Якоби. Оно имеет вид

где - постоянные.

кривые данного семейства под постоянным углом, называются изогональными траекториями. Если же этот угол прямой, то траектории называются ортогональными.