Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Лекция 2

Август 11, 2022

Главная
Математика
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Лекция 2

Содержание

2. План 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. 2. Интегрирующий множитель 3.Решение примеров
3. 1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида P(x,y)dx
4. 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма
5. 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек", второе - по переменной
6. 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет
7. . 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
8. 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
9. 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
10. 1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
11. Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
15. Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки - принять частный интеграл по одной
25. Скачать презентацию

Слайд 2

План
1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
2. Интегрирующий множитель
3.Решение примеров

Слайд 3

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется

уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе - должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Слайд 4

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти,

обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению
dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
Решая два последних равенства, можем записать

Слайд 5

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек",

второе - по переменной "икс":
Так как , получим ,

Слайд 6

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
что является условием того, что

данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы .
Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Слайд 7

.
1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 8

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 9

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 10

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 11

Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки -

принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.
Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная "действующей" переменной, умноженной на константу.
Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость - примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Лекция 2

Содержание

План1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.2. Интегрирующий множитель 3.Решение примеров

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядкаДифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахИтак, неизвестную функцию, которую требуется найти,

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахПервое равенство дифференцируем по переменной "игрек",

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах что является условием того, что

.1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки -

Похожие презентации

План
1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
2. Интегрирующий множитель
3.Решение примеров

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти,

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек",

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
что является условием того, что

.
1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах