Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача и теорема Коши

Август 11, 2022

Главная
Математика
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача и теорема Коши

Содержание

2. Дифференциальные уравнения высших порядков § 1. Определение. Основные понятия. Пусть имеем дифференциальное уравнение разрешенное относительно старшей
3. Определение 2. Общим интегралом уравнения вида (1) называется выражение вида: F(x, y, c1, c2, …, cn)
4. Постановка задачи Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям: y(x0) = y0, y′(x0) = y1, y′′(x0)
5. Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если дифференциальное уравнение вида (1): y(n)(x) = f(x, y(x),
6. § 2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. I тип: Уравнения вида y(n)(x) = f (x). Решается
7. Последовательно интегрируя n раз, получаем: y = Fn(x) + c1xn-1 + c2xn-2 + … + cn-1x
8. y = ∫(cosx + c1x3 + c2x2 + c3x + c4)dx + c5 = = sinx
9. Пример. yIV – yIII/x = 0 – уравнение II типа. z = yIII ⇒ z′ =
10. III тип: F(y(x), y′(x), …, y(n)(x)) = 0. В него не входит x. Порядок понижается с
11. Решение. Введем новую переменную: yx′ = P(y) ⇒ yxx′′ = PPy′ Тогда уравнение принимает вид: yPPy′
12. y′ = c1/y. В задачах такого типа неизвестные константы необходимо определять на каждом шаге: так как
13. § 3. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные операторы. Определение 1. Уравнение вида y(n) + a1(x)y(n-1) + …
14. непрерывна на (a,b) как алгебраическая сумма непрерывных функций. 2) частные производные: непрерывны на (a,b).
15. В силу этих двух условий и теоремы существования и единственности имеем, что для (3) существует единственное
16. В случае, когда функции ставится в соответствие функция, говорят, что задан оператор: y ⇒ f (x).
17. Оператор L называется дифференциальным. Эти операторы с помощью операции дифференцирования переводят одни функции в другие. Пример.
18. Уравнение (1) в операторной записи имеет вид: L[y] = f (x) (5) Если f (x) ≡
19. Доказательство Ч.т.д.
20. 2. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) n раз дифференцируемы на (a,b), то Без доказательства. 3. Если
21. § 4. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Рассмотрим уравнение (6): L[y] = 0, где:
22. Условие, при которых (7) есть решение уравнения (6), содержится в теореме: Теорема (о структуре общего решения).
23. Замечание: функциональный определитель W[y1, y2, …, yn] называют определителем Вронского или Вронскианом. Определение. Система функций y1(x),
24. Теорема. Если y1, y2, …, yn – фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения L[y] = 0
25. Пример: y′′ + y = 0. y1 = cosx – есть решение данного уравнения, y2 =
26. Определение. Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на (a,b), если существуют c1, c2,
27. Теорема (необходимое условие линейной зависимости системы функций). Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x), n раз
28. Пример. Даны функции: 1, x, x2. Исследовать на линейную зависимость. Т.е. в силу теоремы система функций
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Дифференциальные уравнения высших порядков
§ 1. Определение. Основные понятия.
Пусть имеем дифференциальное уравнение

разрешенное относительно старшей производной.
y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), …, y(n-1)(x)) (1)
Определение 1. Общим решением уравнения вида (1) называется функция y = ϕ(x, c1, c2, …, cn), где c1, c2, …, cn ∈ R – произвольны и
ϕ(n)(x) ≡ f (x, ϕ(x), ϕ′(x), …, ϕ(n -1)(x)).

Слайд 3

Определение 2. Общим интегралом уравнения вида (1) называется выражение вида: F(x,

y, c1, c2, …, cn) = 0, неявно задающее функцию y = ϕ(x, c1, c2, …, cn) – общее решение уравнения (1) Для уравнения (1) ставится задача Коши, смысл которой – выделение из множества решений (1), единственное решение, удовлетворяющее некоторым условиям.

Слайд 4

Постановка задачи Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:
y(x0) = y0,

y′(x0) = y1, y′′(x0) = y2, …, y(n-1) (x0) = yn-1,
где y0, y1, …, yn-1 – числа.
Эти условия называются начальными условиями. Их ровно n штук, т.е. столько, сколько неизвестных констант, содержащихся в общем решении, которые и находятся из начальных условий.
Задача Коши для (1) не всегда существует и единственна. Решение задачи Коши существует и единственно, если выполняются условия теоремы.

Слайд 5

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если дифференциальное уравнение вида

(1):
y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), …, y(n-1)(x)) (1)
удовлетворяет условиям:
1) f(x, y(x), y′(x), …, y(n-1)(x)) - непрерывна по всем аргументам в точке
M(x0, y0, y0′, y0′′, …, y0(n-1)).
2) Частные производные
ограничены в окрестности точки М.
Тогда существует единственное решение задачи Коши для (1).
Без доказательства.

Слайд 6

§ 2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
I тип:
Уравнения вида y(n)(x) =

f (x).
Решается последовательным интегрированием:
y(n)dx = f (x)dx
dy(n-1) = f (x)dx
∫dy(n-1) = ∫ f (x)dx
y(n-1) = ∫ f (x)dx + c1.
Введем обозначение F1(x), такое что: F1′(x) = f (x) тогда: y(n-1) = F1(x) + c1. Еще раз интегрируем:
y(n-2) = ∫(F1(x) + c1)dx + c2 = F2(x) + c1x + c2,
где F2′(x) = F1(x).

Слайд 7

Последовательно интегрируя n раз, получаем:
y = Fn(x) + c1xn-1 + c2xn-2

+ … + cn-1x + cn.
Это общее решение дифференциального уравнения I типа.
Пример.
y(5) = cosx
y(4) = ∫cosxdx + c1
y(4) = sinx + c1
y(3) = ∫(sinx + c1)dx + c2 = - cosx + c1x + c2
y(2) = ∫(- cosx + c1x + c2)dx + c3 =
= - sinx + c1x2/2 + c2x + c3 = - sinx + c1x2 + c2x + c3
y(1) = ∫(- sinx + c1x2 + c2x + c3)dx + c4 =
= cosx + c1x3 + c2x2 + c3x + c4

Слайд 8

y = ∫(cosx + c1x3 + c2x2 + c3x + c4)dx

+ c5 =
= sinx + c1x4 + c2x3 + c3x2 + c4x + c5.
Мы получили общее решение.
II тип:
F(x, y(k)(x), y(k+1)(x), …, y(n)(x)) = 0.
Оно не содержит y(x), y′(x), …, y(k-1)(x).
Порядок понижается с помощью подстановки:
z = y(k) ⇒ z′ = y(k+1), z′′ = y(k+2), …, z(n-k) = y(n).
Тогда:
F(x, z(x), z′(x), z′′(x), …, z(n-k)(x)) = 0. (2)
Порядок уравнения (2) равен (n-k), т.е. при подстановке порядок уравнения понижается на k единиц.

Слайд 9

Пример.
yIV – yIII/x = 0 – уравнение II типа.
z = yIII

⇒ z′ = yIV, тогда:
z′ - z/x = 0
ln⏐z⏐= ln⏐x⏐+ ln⏐c1⏐⇒ z = c1x.
Возвращаемся к старой переменной:
yIII = c1x – уравнение I типа.
yII = ∫c1xdx + c2 = c1x2/2 + c2 = c1x2 + c2
y′ = ∫(c1x2 + c2)dx + c3 = c1x3/3 + c2x + c3 =
= c1x3 + c2x + c3
y = ∫(c1x3 + c2x + c3)dx + c4 = c1x4 + c2x2 + c3x + c4

Слайд 10

III тип:
F(y(x), y′(x), …, y(n)(x)) = 0.
В него не входит x.
Порядок

понижается с помощью подстановки:
y′ = P(y) ⇒
Тогда: F(y, P, Py′, …, Py(n-1)) = 0 ⇒ порядок уравнения понижается на единицу.
Пример.
– уравнение III типа.
– задача Коши.

Слайд 11

Решение.
Введем новую переменную:
yx′ = P(y) ⇒ yxx′′ = PPy′
Тогда уравнение принимает

вид:
yPPy′ + P2 = 0.
Пусть yP2 ≠ 0. Разделим на yP2 :
ln⏐P⏐= – ln⏐y⏐+ ln⏐c1⏐⇒ P = c1/y.
Возвращаемся к старой переменной:

Слайд 12

y′ = c1/y.
В задачах такого типа неизвестные константы необходимо определять на

каждом шаге: так как
y′ = 0 ⇒ y = c2,
y(0) = 1 ⇒ c2 = 1, тогда окончательно:
y(x) = 1.

Слайд 13

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные операторы.
Определение 1. Уравнение вида
y(n) +

a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y′ + an(x)y = f (x), (3)
где a1(x), a2(x), …, an(x) – непрерывные на (a,b) функции, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ).
Разрешим это уравнение относительно старшей производной, получим:
y(n) = f (x) - a1(x)y(n-1) - … - an-1(x)y′ - an(x)y. (4)
В уравнении (4) имеем:
правая часть F(x, y(x), y′(x), …, y(n-1)(x)) =
= f (x) - a1(x)y(n-1) - … - an-1(x)y′ - an(x)y.

Слайд 14

непрерывна на (a,b) как алгебраическая сумма непрерывных функций.
2) частные производные:
непрерывны на

(a,b).

Слайд 15

В силу этих двух условий и теоремы существования и единственности имеем,

что для (3) существует единственное решение задачи Коши, т.е. задачи вида:
Из (3) видно, что функции y(x), определенной на (a,b) по некоторому закону ставится в соответствие f (x), определенная на (a,b) так, что:

Слайд 16

В случае, когда функции ставится в соответствие функция, говорят, что задан

оператор: y ⇒ f (x).
Левую часть уравнения (3) обозначим L[y], получим:
дифференциальный оператор L.

Слайд 17

Оператор L называется дифференциальным.
Эти операторы с помощью операции дифференцирования переводят одни

функции в другие.
Пример. y = x2.
- дифференциальный оператор.

Слайд 18

Уравнение (1) в операторной записи имеет вид:
L[y] = f (x) (5)
Если

f (x) ≡ 0, то уравнение (5) имеет вид:
L[y] = 0, (6)
это однородное дифференциальное линейное уравнение.
Если f (x) ≠ 0, то L[y] = f (x) - это неоднородное дифференциальное линейное уравнение.
Свойства дифференциального оператора
(левой части уравнения (5))
1. Если y(x) n-раз дифференцируемая функция на (a,b), а с – некоторая константа, то
L[cy] = cL[y]

Слайд 19

Доказательство
Ч.т.д.

Слайд 20

2. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) n раз дифференцируемы на (a,b),

то
Без доказательства.
3. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) n раз дифференцируемы на (a,b), а с1, с2, …, сn – некоторые числа, то
L[c1y1 + c2y2 + … + cnyn] =
= c1L[y1] + c2L[y2] + … + cnL[yn]
Без доказательства.
Свойства 1,2,3 показывают, что L[y] – линейный дифференциальный оператор.

Слайд 21

§ 4. Однородные линейные дифференциальные уравнения.
Структура общего решения.
Рассмотрим уравнение (6):
L[y] =

0,
где: L[y] – линейный дифференциальный оператор.
Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) – частные решения уравнения (6), т.е.
L[y1] = 0, L[y2] = 0, …, L[yn] = 0.
Тогда линейная комбинация:
y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn (7)
является решением уравнения (6), т.е. L[y] = 0.

Слайд 22

Условие, при которых (7) есть решение уравнения (6), содержится в теореме:
Теорема

(о структуре общего решения). Для того, чтобы y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn,
где L[yi] = 0, i = 1, 2, …, n было общим решением однородного уравнения L[y] = 0 необходимо и достаточно, чтобы функциональный определитель
на (a,b).

Слайд 23

Замечание: функциональный определитель
W[y1, y2, …, yn]
называют определителем Вронского или Вронскианом.
Определение.

Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется фундаментальной системой решений однородного уравнения L[y] = 0 на (a,b), если:
1) L[y1] = 0, L[y2] = 0, …, L[yn] = 0,
2) W[y1, y2, …, yn] ≠ 0 на (a,b).

Слайд 24

Теорема. Если y1, y2, …, yn – фундаментальная система решений однородного

дифференциального уравнения L[y] = 0 на (a,b), то структура общего решения этого уравнения имеет вид:
y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn
Без доказательства.
Замечание: В сформулированной теореме и определении имеется в виду, что система функций содержит столько функций, каков порядок соответствующего дифференциального уравнения L[y] = 0.

Слайд 25

Пример: y′′ + y = 0.
y1 = cosx – есть решение

данного уравнения,
y2 = sinx – тоже решение.
Так как порядок дифференциального уравнения = 2, то для построения общего решение уравнения достаточно двух частных решений уравнения.
Следовательно, y1 и y2 – фундаментальная система решений. В соответствии с теоремой о структуре общего решения однородного уравнения, можно записать:
y = c1sinx + c2cosx – общее решение уравнения.

Слайд 26

Определение. Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на

(a,b), если существуют c1, c2, …, cn такие что
но: c1y1 + c2y2 + … + cnyn = 0, т.е. все
одновременно константы ≠ 0.
Определение. Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно независимой на (a,b) тогда и только тогда, когда линейная комбинация c1y1 + c2y2 + … + cnyn = 0 если
с1 = с2 = … = сn = 0.

Слайд 27

Теорема (необходимое условие линейной зависимости системы функций). Если система функций y1(x),

y2(x), …, yn(x), n раз дифференцируемая на (a,b) и линейно зависима на (a,b), то W[y1, y2, …, yn] = 0 для ∀ x ∈ (a,b).
Без доказательства.
Теорема (условие линейной независимости системы функций). Для того, чтобы система функций y1(x), y2(x), …, yn(x), n раз дифференцируемая на (a,b) была линейно независима на (a,b), необходимо и достаточно, чтобы W[y1, y2, …, yn] ≠ 0 для ∀ x ∈ (a,b).
Без доказательства.

Слайд 28

Пример. Даны функции: 1, x, x2. Исследовать на линейную зависимость.
Т.е. в

силу теоремы система функций (1, x, x2) линейно независима.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача и теорема Коши

Содержание

Дифференциальные уравнения высших порядков§ 1. Определение. Основные понятия.Пусть имеем дифференциальное уравнение

Определение 2. Общим интегралом уравнения вида (1) называется выражение вида: F(x,

Постановка задачи Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:y(x0) = y0,

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если дифференциальное уравнение вида

§ 2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.I тип:Уравнения вида y(n)(x) =

Последовательно интегрируя n раз, получаем:y = Fn(x) + c1xn-1 + c2xn-2

y = ∫(cosx + c1x3 + c2x2 + c3x + c4)dx

Пример.yIV – yIII/x = 0 – уравнение II типа.z = yIII

III тип:F(y(x), y′(x), …, y(n)(x)) = 0.В него не входит x.Порядок

Решение.Введем новую переменную:yx′ = P(y) ⇒ yxx′′ = PPy′Тогда уравнение принимает

y′ = c1/y.В задачах такого типа неизвестные константы необходимо определять на

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные операторы.Определение 1. Уравнение видаy(n) +

непрерывна на (a,b) как алгебраическая сумма непрерывных функций.2) частные производные:непрерывны на