Діофантові рівняння

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Діофантові рівняння

Содержание

2. Мета роботи: Поглибити знання про методи розв’язування діофантових рівнянь
3. Перший розділ: історичний екскурс Надгробок Діофанта: Прах Діофанта гробниця ховає: вдивися їй і камінь Мудрим мистецтвом
4. Задача зводиться до рівняння Отже Діофант прожив 84 роки. У книзі “Арифметика” Діофант викладає теорію рівнянь
5. Найпростіше діофантове рівняння ax +by=1 де a, b – цілі взаємно прості числа, має нескінченну множину
6. Знайти частинний цілий розв'язок рівняння 37x+23y=1. Розв'язання. Підстановкою в рівняння визначаємо, що - частинний розв'язок. Відповідь.
7. Знайти частинний і загальний розв'язки 7x-4y=2 Розв'язання 1) 2) x=0; 1; 2 - частинний розв'язок; 3)
8. Приклади Приклад 1. Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками рівняння . Розв’язання. Оскільки , а
9. Приклад 2. Розв’яжіть рівняння на прикладі нату- ральних чисел. Розв’язання. Скористаємося тотожністю Позначивши х - у=m,
10. Приклад 3. Доведіть, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків. Розв’язання. Узявши до уваги рівність переконаємося
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Мета роботи:
Поглибити знання
про методи
розв’язування
діофантових рівнянь

Слайд 3

Перший розділ: історичний екскурс
Надгробок Діофанта:
Прах Діофанта гробниця ховає: вдивися їй і камінь
Мудрим

мистецтвом розкриє покійного вік:
З волі богів шосту частину життя був він дитина,
А ще половину шостої – стрів із пушком на щоках.
Тільки минула сьома, з коханою він одружився,
З нею п'ять років проживши, сина діждався мудрець.
Та півжиття свого тішився батько лиш сином:
Рано могила дитину у батька забрала.
Років двічі по два батько оплакував сина.
А по роках цих і сам стрів він кінець свій печальній…

Слайд 4

Задача зводиться до рівняння
Отже Діофант прожив 84 роки.
У книзі “Арифметика” Діофант

викладає теорію рівнянь першого степеня, розв'язує квадратні рівняння, але більше уваги приділено так званим невизначеним рівнянням та їх системам

Слайд 5

Найпростіше діофантове рівняння
ax +by=1
де a, b – цілі взаємно прості

числа, має нескінченну множину розв’язків ( якщо хо, уо – розв'язок, то числа
х=хо+ b·n, у=уо- a·n, nЄ Z також будуть розв’язками.)
Розв’язування: Застосувати алгоритм Евкліда до чисел
a і b за схемою: 1) a= bq₁+r₁, 0≤ r₁< b;
2) b= r₁q₂+r₂, 0≤ r₂< r₁;
3) r₁= r₂q₃+r₃, 0≤ r₃< r₂;
4) r₂= r₃q₄+r₄, 0≤ r₄< r₃;
5) r₃= r₄q₅+1, r₅=1;
6) r₄= r₅q₆ (оскільки (a, b)=1, то число кроків
скінчене)

Слайд 6

Знайти частинний цілий розв'язок рівняння 37x+23y=1.
Розв'язання.
Підстановкою в рівняння визначаємо, що

- частинний розв'язок.
Відповідь. - частинний розв'язок.

Слайд 7

Знайти частинний і загальний розв'язки
7x-4y=2
Розв'язання
1)
2) x=0;

1; 2 - частинний розв'язок;
3) або - загальний розв'язок.
Відповідь: - частинний розв'язок;
або

Слайд 8

Приклади
Приклад 1.
Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками рівняння
.
Розв’язання. Оскільки

, а 7 і 13 – прості числа, то рівність можлива у випадках:
Розглянувши ці системи, знаходимо розв’язки рівняння: (5;6), (-6; -5), (-3;4), (-4;3).

Слайд 9

Приклад 2.
Розв’яжіть рівняння на прикладі нату-
ральних чисел.
Розв’язання. Скористаємося тотожністю
Позначивши

х - у=m, x·y=n, де , дістанемо рівняння
, звідки . Оскільки , то m3‹61, а отже, можливим значенням m будуть числа 1, 2, 3. . Перевіривши ці значення, дістанемо єдину пару натуральних чисел, які задовольняють рівняння: m=1; n=30. Отже, маємо: , звідки х=6, у=5.
Зробивши перевірку, переконаємося, що ці числа є розв’язками рівняння.

Слайд 10

Приклад 3.
Доведіть, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків.
Розв’язання. Узявши до

уваги рівність переконаємося в тому, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків вигляду
де - довільне ціле число.

Діофантові рівняння

Содержание

Мета роботи:Поглибити знання про методи розв’язування діофантових рівнянь

Перший розділ: історичний екскурсНадгробок Діофанта:Прах Діофанта гробниця ховає: вдивися їй і каміньМудрим

Задача зводиться до рівнянняОтже Діофант прожив 84 роки.У книзі “Арифметика” Діофант

Найпростіше діофантове рівнянняax +by=1 де a, b – цілі взаємно прості

Знайти частинний цілий розв'язок рівняння 37x+23y=1.Розв'язання. Підстановкою в рівняння визначаємо, що

Знайти частинний і загальний розв'язки 7x-4y=2 Розв'язання 1) 2) x=0;

ПрикладиПриклад 1.Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками рівняння .Розв’язання. Оскільки

Приклад 2.Розв’яжіть рівняння на прикладі нату-ральних чисел. Розв’язання. Скористаємося тотожністю Позначивши

Приклад 3.Доведіть, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків.Розв’язання. Узявши до

Похожие презентации