Дискретная математика. Периоды развития математики

Содержание

Слайд 2

Периоды развития математики В истории цивилизации можно выделить три крупных периода:

Периоды развития математики

В истории цивилизации можно выделить три крупных

периода:
сельскохозяйственный, или аграрный — до XVII в.;
индустриальный — с XVII по XX в.;
информационный — с XX в.
Эти периоды определялись научно-техническими революциями и, следовательно, характером тех систем и явлений природы, которые вовлекались в сферу главных производственных интересов и потребностей людей. В каждый период создавались новые технологии производства, новая картина реального мира, новые системы знаний (науки) и, в частности, новая математика.
Слайд 3

Периоды развития математики

Периоды развития математики

Слайд 4

Дискретной математикой называют совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов.

Дискретной математикой называют совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов.
Фундаментом

дискретной математики являются:
Теория множеств;
Математическая логика;
Теория графов;
Теория кодирования;
Теория автоматов.

Новый период развития математики

Слайд 5

Стимулы развития дискретной математики: растущий поток информации и проблемы ее передачи,

Стимулы развития дискретной математики:
растущий поток информации и проблемы ее передачи, обработки

и хранения привели к возникновению и развитию теории кодирования;
различные экономические задачи, задачи электротехники стимулировали создание и развитие теории графов;
связь релейно-контактных схем с формулами алгебры логики и их использование для описания функционирования автоматов дали начало развитию и применению математической логики и теории автоматов.

Новый период развития математики

Слайд 6

Обозначения Кванторы: Квантор общности: ∀ - «любой», «всякий», «каждый»; Квантор существования:

Обозначения

Кванторы:
Квантор общности: ∀ - «любой», «всякий», «каждый»;
Квантор существования: ∃ -

«существует», «найдется», «можно найти»;
⇔ «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»;
⇒ «следует», «выполняется»;
: или | «такой, что»
Пример:

(∀х∈М) (∃y∈N: у < х)

«для любого х из множества М существует у из множества N такой что у меньше, чем х»

Слайд 7

Теория множеств Дискретная математика

Теория множеств

Дискретная математика

Слайд 8

Основные понятия «Под многообразием, или множеством, я понимаю вообще всякое многое,

Основные понятия

«Под многообразием, или множеством, я понимаю вообще всякое многое, которое

можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определённых элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона…»
Георг Кантор
Слайд 9

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических

понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором.
Множество, элементы множества – первичные базисные неопределяемые понятия, на которых строится теория множеств.
Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Георг Кантор (1845-1918)

Основные понятия

Слайд 10

Примеры множеств: Множество решений уравнения; Множество студентов в группе; Множество предметов

Примеры множеств:
Множество решений уравнения;
Множество студентов в группе;
Множество предметов мебели в кабинете;
Множество

натуральных чисел.

Пустое множество

Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента. ∅

Примеры неочевидных пустых множеств:
множество четырехугольников, все углы которых прямые и одновременно диагонали различной длины.
Множество решений уравнения

Множество чудовищ озера Лох-Несс…

Слайд 11

Универсальное множество Множество U, содержащее все возможные элементы, обладающие некоторым признаком,

Универсальное множество

Множество U, содержащее все возможные элементы, обладающие некоторым признаком, называется

универсальным (универсумом).

.

Пример:
В математическом анализе:
Все действительные числа.
Все непрерывные функции на отрезке.
В алгебре:
Все определители второго порядка,
Все трехмерные векторы

Слайд 12

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита. Элементы множества – строчными буквами.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита. Элементы множества – строчными буквами.

«элемент,

а принадлежит множеству М»
«а является элементом множества М»
«элемент, а содержится во множестве М».

а ∈ М

а ∉ M

«элемент а не принадлежит множеству М»

Основные понятия

Слайд 13

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна). Леонард Эйлер

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).

Леонард Эйлер (1707

– 1783г.)

Диаграммы Эйлера-Венна –
геометрические представления множеств, где множества изображаются в виде совокупностей точек на плоскости ограниченных некоторой замкнутой кривой, а универсум – в виде большого прямоугольника.

a, b ∈ A
d, e ∉ A

Диаграммы Эйлера-Венна

Слайд 14

Определение равенства множеств 1. Два множества называются равными (А=В) в том

Определение равенства множеств 1.
Два множества называются равными (А=В) в том и

только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Примеры:
Множества решений уравнений 4х-8=16 и х/15=2/5 равны, так как их решением является одно и то же число 6.
Равны множества букв, из которых составлены слова «навес» и «весна».

Равные множества

Слайд 15

Множество A называют подмножеством множества B (обозначается A ⊆ B ),

Множество A называют подмножеством множества B (обозначается A ⊆ B ),

если всякий элемент множества A является элементом множества B:

                  .

Подмножество

(A ⊆ B) ⇔ (∀a∈A ⇒ a∈B)

Множество A называется собственным подмножеством множества B, если A ⊆ B и А≠В. Обозначение: А ⊂ В.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Все рассматриваемые в задаче множества являются подмножествами универсального множества.

Слайд 16

Определение равенства множеств 2. Множества A и B равны ( A=B

Определение равенства множеств 2.
Множества A и B   равны ( A=B ) тогда и только тогда,

когда A ⊆ B , и B ⊆ A, т. е. элементы множеств A и B совпадают.

Равные множества

Слайд 17

Булеаном множества М называется множество β(М), элементами которого являются все возможные подмножества множества М. Булеан множества

Булеаном множества М называется множество β(М), элементами которого являются все возможные

подмножества множества М.

Булеан множества

Слайд 18

Множество, состоящее из конечного числа элементов называется конечным множеством. Бесконечное множество-

Множество, состоящее из конечного числа элементов называется конечным множеством.
Бесконечное множество- непустое

множество, не являющееся конечным.
Мощностью конечного множества называется число его элементов. Обозначение: ⎜А ⎜, ⎜В ⎜.
⎜∅ ⎜ = 0

Конечные и бесконечные

Слайд 19

Способы задания множеств Множества могут быть заданы списком; порождающей процедурой; описанием характеристических свойств элементов; графическим представлением.

Способы задания множеств

Множества могут быть заданы
списком;
порождающей процедурой;
описанием характеристических свойств

элементов;
графическим представлением.
Слайд 20

Задание множеств списком предполагает перечисление элементов. Например: множество А состоит из

Задание множеств списком предполагает перечисление элементов.
Например:
множество А  состоит

из букв a,b,c,d. Обозначается: А={a,b,c,d}   
множество N включает цифры 0,2,3,4 N={0,2,3,4}
Задание множества описанием характеристических свойств элементов: X={x| H(x)}, т. е. множество Х содержит такие элементы х, которые обладают свойством Н(х).
Например:
B={b| b=π/2±kπ , k∈N}, где N - множество всех натуральных чисел;
M2n - это множество чисел, являющихся степенями двойки или M2n  ={m| m=2n , n∈N}, где N- множество всех натуральных чисел.                       
C=A+B={x: x=a+b, a∈ A, b∈B}.

Способы задания множеств

Слайд 21

Задание множеств порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из

Задание множеств порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из

уже полученных элементов либо других объектов.
Например:
a)
(1)1∈ N; (2) если n∈N, то n+1∈N.
Графическое задание множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Например,

Способы задания множеств

Следовательно, A={a,b,c}, B={b,d,e,f}

Слайд 22

Слайд 23

Задание множеств порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из

Задание множеств порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из

уже полученных элементов либо других объектов.
Например:
 a) 2∈ M2n; б) если m∈M2n , то 2m∈M2n.
а) 1∈ N; б) если n∈N, то n+1∈N.
Графическое задание множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Например,

Способы задания множеств

Следовательно, A={a,b,c}, B={b,d,e,f}

Слайд 24

Задайте списком множество: 1) букв в слове «алгебра»; 2) четных однозначных

Задайте списком множество:
1) букв в слове «алгебра»;
2) четных однозначных натуральных

чисел;
3) нечетных однозначных натуральных чисел;
4) однозначных простых чисел.
Запишите множество описанием характеристических свойств :
а) натуральных делителей числа 12;
б) натуральных делителей числа 30;
в) целых делителей числа 6;
г) простых делителей числа 12.

Способы задания множеств

Слайд 25

По какому характеристическому свойству записаны такие множества: {понедельник, вторник, среда, четверг,

По какому характеристическому свойству записаны такие множества:
{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница,

суббота, воскресенье};
{январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь};
{до, ре, ми, фа, соль, ля, си};
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
А — множество четных натуральных чисел, расположенных между числами 25 и 35. Задайте это множество списком, характеристическим свойством, порождающей процедурой.

Способы задания множеств

Слайд 26

Операции над множествами Объединением множеств A и B (A∪B) называется множество,

Операции над множествами

Объединением множеств A и B (A∪B) называется множество, состоящее

из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пример. {1,2,3} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}.

Пример. Даны два множества А={1,2,4,6} B={0,3,4,6}. Найти С=А∪B.                            

C={0,1,2,3,4,6}   

A∪B = {x| x∈A или x∈B}

Слайд 27

Пересечением множеств A и В называется множество (А∩В), состоящее из тех

Пересечением множеств A и В называется множество (А∩В), состоящее из тех

и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пример. {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}

Пример. Даны два множества А={1,2,4,6} B={0,3,4,6}. Найти С=А ∩ B. 

С={4,6}

Операции над множествами

А∩В = {x| x∈A и x∈B}

Слайд 28

Операции над множествами Разностью множеств A и B (A\B) называется множество

Операции над множествами

Разностью множеств A и B (A\B) называется множество всех

элементов множества A, которые не содержатся в B.

Пример. {1,2,3} \ {2,3,4} = {1}.

Пример. Даны два множества
А={1,2,4,6} и B={0,3,4,6}. Найти С=А \ B. 

C={1,2}   

A\B= {x| x∈A и x∉B}

Слайд 29

Разностью множеств B и A (B\A) называется множество всех элементов множества

Разностью множеств B и A (B\A) называется множество всех элементов множества

B, которые не содержатся в A.

B\A= {x| x∈B и x∉A}

Пример. {2,3,4} \{1,2,3} = {4}.

Пример. Даны два множества
А={1,2,4,6} и B={0,3,4,6}. Найти С=B \ А. 

C={0,3}   

Операции над множествами

Слайд 30

Операции над множествами Симметрической разностью множеств А и В (А Δ

Операции над множествами

Симметрической разностью множеств А и В (А Δ В

или А ⊕ В) называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: либо А, либо В, но не являются общими элементами.

Пример. Пусть A = {1,2,3,4,5}, B = {3,4,5,6,7}.
Тогда AΔB = (А∪В) \ (А∩В) = {1,2,3,4,5,6,7} \ {3,4,5} = {1,2,6,7}.

Пример. Даны два множества: А={1,2,4,6} и B={0,3,4,6}. Найти С=А Δ B. 

C= ({1,2,4,6} ∪ {0,3,4,6}) \ ({1,2,4,6} ∩ {0,3,4,6}) = {0,1,2,3,4,6} \ {4,6} = {0,1,2,3}

Слайд 31

Операции над множествами Дополнением (до универсального множества) множества А ( А

Операции над множествами

Дополнением (до универсального множества) множества А ( А )

называется множество всех элементов, не принадлежащих множеству А, но принадлежащих универсальному множеству.

A={x| x ∉A и x∈U}

Пример. Пусть A = {1,2,4,5}, U = {1,2,3,4,5,6,7}.
Тогда A=U\A = {1,2,3,4,5,6,7} \ {1,2,4,5} = {3,6,7}

Пример. Пусть A = {a,d,f}, U ={a,b,c,d,e,f}. Найти А.

А = {a,b,c,d,e,f} \ {a,d,f} = {b,c,e}

Слайд 32

Слайд 33

Кортежем длины n (n-кой) называется упорядоченная последовательность из n элементов. Элемент,

Кортежем длины n (n-кой) называется упорядоченная последовательность из n элементов. Элемент,

занимающий первое место, называется первой компонентой n-ки, элемент, занимающий второе место, называется второй компонентой n-ки и т.д. Обозначение: (а1, а2, … аn) или 〈а1, а2, … аn〉.
Кортеж длины 2 называют двойкой или парой.
Прямым произведением двух множеств А и В называется множество всевозможных пар (a,b), таких, что: a∈ А, b∈В. Символическая запись:
А×В = {(a,b): a∈А, b∈В}

Операции над множествами

Пример: А={а,b}; Β={1,2}; Α х В={〈а,1 〉, 〈а,2 〉, 〈 b,1〉, 〈b,2〉}.

B х A={〈1,a〉, 〈1,b〉, 〈2,a〉, 〈2,b〉}.

Слайд 34

Известно, что M = {1;2;5}, N = {1;4;5;7;9}, K = {4;7;9}.

Известно, что M = {1;2;5}, N = {1;4;5;7;9}, K = {4;7;9}.

Найдите:
1) пересечение M и N;
2) пересечение M и K;
3) пересечение N и K;
4) объединение M и K;
10) дополнение M, N, K до универсума, если U –все цифры.
11) Прямое произведение K и N, N и K;
12) Симметрическую разность M и K, M и N, K и N

Операции над множествами

5) объединение N и K;
6) разность M и N;
7) разность M и K;
8) разность N и K;
9) дополнение K до N;

Слайд 35

т Операции над множествами

т

Операции над множествами

Слайд 36

Найти булеан множества М={a,b,c}. β(М)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},

Найти булеан множества М={a,b,c}.
β(М)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.
Найти

булеан множества М={1,3,5,7}

Операции над множествами

β(М)={∅,{1}, {3}, {5}, {7}, {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}, {1,3,5}, {1,3,7}, {1,5,7}, {3,5,7} {1,3,5,7} }

Объясните, почему выполняется равенство: 1) А∪∅=А ; 2) А ∪А=А ; 3) А∩ ∅=∅ ; 4) А∩А=А.

Слайд 37

Домашнее задание Дано: U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={1,

Домашнее задание

Дано: U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={1, 2,

3, 4, 5},
В={2, 4, 6}, С={1,3,7}.
Найти: а) А∪С; б) В\(СΔА); в) А×В;
г) (С∪В)∩(А\В); д) (А∩В)\С.
Выписать булеан множества А, если А – множество нечетных однозначных чисел.
Слайд 38

Свойства операций над множествами Пусть U — универсальное множество; A, B,C—

Свойства операций над множествами

Пусть U — универсальное множество; A, B,C— его

подмножества. Тогда имеют место следующие тождественные равенства:

ассоциативность объединения и пересечения

Дистрибутивность объединения относительно пересечения

Дистрибутивность пересечения относительно объединения

коммутативность объединения и пересечения

1.

2.

3.

Слайд 39

Свойства операций над множествами Идемпотентность объединения и пересечения законы де Моргана

Свойства операций над множествами

Идемпотентность объединения и пересечения

законы де Моргана

тождества поглощения


А ∪ (А ∩ В) = А

А ∩ (А ∪ В) = А

Свойства пустого множества.

А ∪ ∅ = А

А ∩ ∅ = ∅

Свойства универсума

А ∩ U = А

А ∪ U = U

А ∪ = U

4.

5.

6.

7.

Слайд 40

Доказательства

Доказательства

Слайд 41

Проиллюстрируем с помощью диаграмм Эйлера-Венна равенство А \ В = Доказательства

Проиллюстрируем с помощью диаграмм Эйлера-Венна равенство А \ В =

Доказательства

с помощью диаграмм Эйлера-Венна

А \ В

В

U

А

=

-- А \ В

Т.к. диаграммы Эйлера-Венна для множества А \ В и множества совпадают, то эти множества равны.

Слайд 42

Докажем равенство А∪(В∩С) = (А∪В)∩(А∪С). Свойства операций над множествами

Докажем равенство А∪(В∩С) = (А∪В)∩(А∪С).

Свойства операций над множествами

Слайд 43

Доказательства с помощью диаграмм Эйлера-Венна Докажите тождество, используя диаграммы Венна. А\(В\С)

Доказательства с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Докажите тождество, используя диаграммы Венна. А\(В\С) =

(А\В) ∪ (А∩С).

Диаграмма Венна А\(В\С)

Диаграмма Венна (А\В) ∪ (А∩С)

Слайд 44

Доказать, что: A\(BC)=(A\B)(A\C), A\(BC)=(A\B)(A\C), A\(A\B)=AB, A\B=A\(AB), A(B\C)=(AB)\(AC)=(AB)\C, (A\B)\C=(A\C)\(B\C), AB=A(B\A), (AB)(A )=A,

Доказать, что:
A\(BC)=(A\B)(A\C),
A\(BC)=(A\B)(A\C),
A\(A\B)=AB,
A\B=A\(AB),
A(B\C)=(AB)\(AC)=(AB)\C,
(A\B)\C=(A\C)\(B\C),
AB=A(B\A),
(AB)(A )=A,
(AB)(A )=A,
( B)A=AB,
(AB)\C=(A\C)(B\C),
A\(B\C)=(A\B)(AC),
A\(BC)=(A\B)\C.

Слайд 45

A\(BC)=(A\B)\C

A\(BC)=(A\B)\C

Слайд 46

Доказательства (аналитически) Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства:

Доказательства (аналитически)

Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства: Х

= Y, если
1) Х ⊆ Y: ∀ x ∈ X ⇒ x ∈ Y;
2) Y ⊆ Х: ∀ y ∈ Y ⇒ y ∈ X.
Сформулированный принцип называют интуитивным принципом объемности

Для доказательств будем использовать следующие обозначения ({ - и ; [ - или ) и соотношения :

x ∈ A ∩ B ⇒

x ∉ A ∩ B ⇒

x ∈ A ∪ B ⇒

x ∉ A ∪ B ⇒


x ∈ A \ B ⇒

x ∉ A \ B⇒ x ∉ A ∩

⇒

Слайд 47

Используя отношения принадлежности, доказать тождество (A Δ B) \ C =

Используя отношения принадлежности, доказать тождество
(A Δ B) \ C =

(A \ C) Δ (B \ C).

Доказательства

Пусть X = (A Δ B) \ C; Y = (A \ C) Δ (B \ C).

1) Если x∈X ⇒ x∈ (A Δ B) \ C ⇒

⇒

⇒

⇒

или

⇒

(A Δ B) \ C = (A \ C) Δ (B \ C).

Слайд 48

2) Если y ∈ Y ⇒ y ∈ (A \ C)

2) Если y ∈ Y ⇒ y ∈ (A \ C)

Δ (B \ C) ⇒

Доказательства

y ∈ [(A \ C) \ (B \ C)] ∪ [(B \ C) \ (A \ C)] ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

.

Слайд 49

Отсюда или = или . Доказательства Следовательно тождество верно.

Отсюда

или

=

или

.

Доказательства

Следовательно тождество верно.

Слайд 50

1) Если Доказательства Докажем закон дистрибутивности: Доказательство. и и или или

1) Если

Доказательства

Докажем закон дистрибутивности:

Доказательство.

и

и

или

или

Слайд 51

Докажем включение в обратную сторону: Доказательства Если или или и и ⊆ Так как и ⊆

Докажем включение в обратную сторону:

Доказательства

Если

или

или

и

и

⊆

Так как

и

⊆

Слайд 52

Операции над множествами Тест

Операции над множествами

Тест

Слайд 53

Вставьте слово или фразу Пересечением множеств A и В называется множество,

Вставьте слово или фразу

Пересечением множеств A и В называется множество, состоящее

из тех и только тех элементов, которые_________
принадлежат множествам А и В одновременно;
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B;
которые принадлежат множеству А, но не содержатся в B;
принадлежат одному из множеств: либо А, либо В, но не являются общими элементами.

1.

Слайд 54

Вставьте слово или фразу Разностью множеств B и A называется множество

Вставьте слово или фразу
Разностью множеств B и A называется множество всех

элементов множества B, которые_______________________
принадлежат множествам А и В одновременно;
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B;
не принадлежат множеству А, но принадлежат универсальному множеству;
которые принадлежат множеству В, но не содержатся в А.

2.

Слайд 55

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех

элементов, которые_________________
принадлежат множествам А и В одновременно;
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B;
не принадлежат множеству А, но принадлежат универсальному множеству;
которые принадлежат множеству А, но не содержатся в В.

Вставьте слово или фразу

3.

Слайд 56

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и

только те элементы, которые____
принадлежат множествам А и В одновременно;
принадлежат хотя бы одному из множеств A или B;
которые не содержатся в B;
принадлежат одному из множеств: либо А, либо В, но не являются общими элементами;

Вставьте слово или фразу

4.

Слайд 57

5.Установите соответствие 5 2 3 4 1 6

5.Установите соответствие

 

5

2

3

4

1

6

Слайд 58

6.Выбрать верное утверждение

6.Выбрать верное утверждение

Слайд 59

Выбрать верный вариант ответа: 7.

Выбрать верный вариант ответа:

7.

Слайд 60

8. Выбрать верный вариант ответа

8.

Выбрать верный вариант ответа

Слайд 61

9. Выбрать верный вариант ответа

9.

Выбрать верный вариант ответа

Слайд 62

10. Выбрать верный вариант ответа

10.

Выбрать верный вариант ответа

Слайд 63

Выбрать все верные утверждения: 11.

Выбрать все верные утверждения:

11.

Слайд 64

Выбрать все верные утверждения: 12. Найти элементы множества F:

Выбрать все верные утверждения:

12.

Найти элементы множества F:

Слайд 65

Выбрать верный вариант ответа: 13.

Выбрать верный вариант ответа:

13.

Слайд 66

14.

14.

Слайд 67

15.Установите соответствие x ∈ A ∩ B ⇒ x ∉ A

15.Установите соответствие

x ∈ A ∩ B ⇒

x ∉ A ∩

B ⇒

x ∈ A ∪ B ⇒

x ∉ A ∪ B ⇒

x ∈ A \ B ⇒

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

E

F

Слайд 68

|A∪B ∪C|= 16. Выбрать верный вариант ответа:

|A∪B ∪C|=

16.

Выбрать верный вариант ответа:

Слайд 69

Слайд 70

Решение задач Операции над множествами

Решение задач

Операции над множествами

Слайд 71

Даны множества K={а,б,д}, L={б,в,д}, M={а,в,г}, U={а,б,в,г,д}. Найти множества: (K∩M) \L L∪(K M) M×L ∇

Даны множества K={а,б,д}, L={б,в,д}, M={а,в,г}, U={а,б,в,г,д}. Найти множества:
(K∩M) \L
L∪(K M)
M×L

∇

Слайд 72

Построить диаграмму Эйлера-Венна для множества (A\C)(B\C)

Построить диаграмму Эйлера-Венна для множества (A\C)(B\C)

Слайд 73

Доказать равенство множеств (СB)∪(AC)=(A∪B)\C с помощью диаграммы Эйлера – Венна; аналитически

Доказать равенство множеств (СB)∪(AC)=(A∪B)\C
с помощью диаграммы Эйлера – Венна;
аналитически

Слайд 74

Доказать равенство множеств (СB)∪(AC)=(A∪B)\C б) аналитически

Доказать равенство множеств (СB)∪(AC)=(A∪B)\C
б) аналитически

Слайд 75

Слайд 76

Нахождение мощности объединения множеств Мощность объединения двух множеств равна сумме мощностей

Нахождение мощности объединения множеств

Мощность объединения двух множеств равна сумме мощностей этих

множеств баз мощности их пересечения:
Слайд 77

Мощность объединения трех множеств: Нахождение мощности объединения множеств

Мощность объединения трех множеств:

Нахождение мощности объединения множеств

Слайд 78

Пример. На потоке из 100 студентов 28 человек изучают английский язык,

Пример. На потоке из 100 студентов 28 человек изучают английский язык,

30 человек - немецкий язык, 42 человека - французский язык. Причем 8 человек изучают два языка - английский и немецкий, 10 человек изучает английский и французский языки, 5 человек - немецкий и французский языки. 3 человека изучают все 3 языка. Сколько студентов не изучает ни один из перечисленных языков?

Нахождение мощности объединения множеств

Слайд 79

H- мн-во студентов, изучающих нем. язык , ⏐H⏐=30; Ф- мн-во студентов,

H- мн-во студентов, изучающих нем. язык , ⏐H⏐=30;
Ф- мн-во студентов, изучающих

фр. язык, ⏐Ф⏐=42.
Соответственно множества студентов, изучающих по 2 или 3 ин. языка:

Решение. Обозначим Y - множество студентов, изучающих иностранные языки.
X - множество студентов, не изучающих иностранный язык.
Пусть – S множество студентов, ⏐S⏐=100 (студентов).
A- мн-во студентов, изучающих англ. язык, ⏐A⏐=28;

По формуле мощности объединения трех множеств

Ответ: 20 студентов не изучает ни один из перечисленных языков

Слайд 80

Задача. На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по

Задача. На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по

алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриен­тов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стерео­метрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Суще­ствуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
Слайд 81

Задача. В студенческой группе 25 человек. Во время летних каникул 9

Задача. В студенческой группе 25 человек. Во время летних каникул 9

из них выезжали в турпоездки за границу, 12 – путешествовали по России, 15 – отдыхали в Сочи, 6 – путешествовали за границей и по России,
7 – были и за границей и в Сочи, 8 – и путешествовали по России и были в Сочи и 3 – участвовали во всех трех поездках. Сколько студентов никуда не выезжало?
Слайд 82

Задача. Из 220 школьников 163 умеют играть в хоккей, 175 –

Задача. Из 220 школьников 163 умеют играть в хоккей, 175 –

в футбол, 24 не умеют играть в эти игры. Сколько школьников одновременно умеет играть в хоккей и футбол?

Ответ: 142

Слайд 83

Задача. По итогам экзаменов из 37 студентов отличную оценку по математике

Задача. По итогам экзаменов из 37 студентов отличную оценку по математике

имели 15 студентов, по физике – 16, по химии – 19, по математике и физике – 7, по математике и химии – 9, по физике и химии – 6, по всем трем предметам – 4. Сколько студентов получили хотя бы по одной отличной оценке?

Ответ: 32

Слайд 84

Задача. Староста курса представил следующий отчет о физкультурной работе: Всего –

Задача. Староста курса представил следующий отчет о физкультурной работе: Всего –

45 студентов. Футбольная секция – 25 человек, баскетбольная секция – 30 человек, шахматная секция – 28 человек, футбольная и баскетбольная – 16, футбольная и шахматная – 18, баскетбольная и шахматная – 17. В трех секциях одновременно занимаются 15 человек. Объясните, почему отчет не был принят?
Слайд 85

В течение 30 дней сентября было 12 дождливых, 8 ветреных, 4

В течение 30 дней сентября было 12 дождливых, 8 ветреных,

4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, 2 ветреных и холодных, а один день был и дождливый, и ветреный, и холодный. В течение скольких дней в сентябре была хорошая погода?
В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учеников не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учеников посещают и математический, и физический кружок? Сколько учащихся посещают только математический кружок?

Домашняя работа

Слайд 86

Подготовка к контрольной работе

Подготовка к контрольной работе

Слайд 87

3. Докажите, что Даны множества K={а,б,д}, L={б,в,д}, M={а,в,г}, U={а,б,в,г,д}. Найти множества:

3. Докажите, что

Даны множества K={а,б,д}, L={б,в,д}, M={а,в,г}, U={а,б,в,г,д}. Найти множества:
(K∪ M)

\L
L ∩ (K M)
M×L
6. Постройте диаграммы Эйлера-Венна для множеств
а) (С\В) ∪(А\С);   в) (А\С) ∪(ВΔС);  с) (С Δ А)\(В ∩ А).

∇

- Предыдущая
Выражения с дробями
Следующая -
Понятие алгоритма. Свойства алгоритма. Способы описания алгоритмов: на естественном и алгоритмическом языках, в виде схем

Похожие презентации

Решение задач. Закрепление. 2 класс
Признаки делимости на 4, на 25
Урок 15 Действия с многочленами
Лабороторная работа 2 ВТ 20-1
Сечения многогранника (задачи)
Линейная функция и её график. Урок-соревнование «Звездный час»
Состав числа. Палочки Кюизенера
Закон на построение
Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач
Уравнение прямой на координатной плоскости
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың формулаларын пайдалана отырып есептер шығару
Методика профессионально ориентированного обучения: математика
Раскрытие скобок. 6 класс
Теория вероятностей в задачах ЕГЭ
Реализация деятельностного подхода на уроках математики.
Математическая игра «Морской бой»
Measures of variation. Week 4 (2)
Таблица умножения на 3
Обучение математике в рамках предпрофильного, профильного и углубленного обучения
Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник
5 класс математика
Треугольник. Первый признак равенства треугольников
Дифференциальные уравнения
Математика. Логическая разминка
Логика предикатов
Элементы математической логики
Тренажер «Состав числа»
Решение уравнений (2 класс)
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть