Теория вероятностей в задачах ЕГЭ

где N(A) – число всех благоприятных исходов, а N – число всех возможных исходов эксперимента

наступлении
хотя бы одного
из этих событий

Произведением
событий А и В
называют
событие А ∙ В,
состоящее
в наступлении
обоих этих
событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В)

приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

P(A) = 80:88

Решение

N(A) = 80

N = 80 + 8 = 88

Ответ: 0,91

списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

События «вопрос о вписанной окружности» и
«вопрос о параллелограмме» - несовместные,
поэтому вероятность
выбрать один из них равна сумме вероятностей:
р = 0,2+0,15

Ответ: 0,35

Решение

мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,05

Решение

Попадание в цель при каждом последующем выстреле – независимое от предыдущего исхода событие.
Вероятность р = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4

В - «кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те»
Тогда A·B – «кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах»
A + B - «кофе за­кон­чит­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те» 
По усло­вию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12
Со­бы­тия A и B сов­мест­ные
 P (A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48
События «кофе останется в обоих автоматах» и «кофе закончится хотя бы в одном» - противоположные.
Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия равна 1 − 0,48

В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

0,03 + 0,3 ⋅ 0,05

Ответ: 0,028

Решение

С первого станка поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01; 0,03; 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.

1 станок

3 станок

0,3

0,3

брак

брак

брак

0,03

0,05

Х) = 0,35

Ответ: 0,75

Решение

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

II

В К

В К

0,4

0,6

0,2

0,8

1 - х

I

Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

0,05

+

-

-

0,9

0,1

0,01

0,99

Р = 0,05 ∙ 0,9 + 0,95 ∙ 0,01

Ответ: 0,0545

Р(А) = 0,56
Со­бы­тие В - «в ав­то­бу­се от 15 до 19 пас­са­жи­ров» , Р(В) - ?
Со­бы­тие A + B - «в ав­то­бу­се мень­ше 20 пас­са­жи­ров»,
Р(А + В) = 0,94
Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные
  P(A + B) = P(A) + P(B); P(В) = 0,94 − 0,56

Ответ: 0,38

Решение

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

0,3 · 0,7 · 0,7

Ответ: 0,468

Решение

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 16 июня, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 19 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

Для погоды на 16, 17, 18 и 19 июня есть
4 варианта (х – хорошая, о – отличная погода).
Вероятность смены погоды равна 1 – 0,7 = 0,3. Найдем вероятности наступления такой погоды:

р(xхxo) = 0,7 · 0,7 · 0,3

р(хoxo) = 0,3 · 0,3 · 0,3

Указанные события несовместные

р = 0,147 + 0,147 + 0,027 + 0,147 

набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что абитуриент сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

правилам:
1 строка – одно существительное, выражающее главную тему синквейн
2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль
3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы
4 строка – фраза, несущая определенный смысл
5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом)