Двугранный угол

Содержание

Слайд 2

1.Что называют углом? 2. Классифицируйте углы по градусной мере. 3. Как называются углы, на рисунках?

1.Что называют углом?

2. Классифицируйте углы по градусной мере.

3. Как называются углы,

на рисунках?
Слайд 3

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с

общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Слайд 4

Прямую, по которой пересекаются плоскости – границы полупространств , называют ребром

Прямую, по которой пересекаются плоскости – границы полупространств , называют ребром

двугранного угла ,
а полуплоскости этих плоскостей , образующие двугранный угол , - гранями двугранного угла.

Ребро двугранного угла

Ребро двугранного угла

Слайд 5

Прямую , по которой пересекаются плоскости – границы полупространств , называют

Прямую , по которой пересекаются плоскости – границы полупространств , называют

ребром двугранного угла ,
а полуплоскости этих плоскостей , образующие двугранный угол , - гранями двугранного угла.

Грань двугранного угла

Грань двугранного угла

Грань двугранного угла

Грань двугранного угла

Грань двугранного угла

Грань двугранного угла

Слайд 6

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

Слайд 7

Слайд 8

Двугранный угол с гранями α , β ребром а обозначают α

Двугранный угол с гранями α , β ребром а обозначают α

а β.
Можно использовать и такие обозначения двугранного угла , как
KABT; α AB β (рис.94,95).

Рис.94

Рис.95

Слайд 9

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла.

На ребре а

двугранного угла α а β отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O
соответственно лучи ОА и ОВ , перпендикулярные ребру а.

а

α

β

О

А

В

Угол АОВ , образованный этими лучами , называется линейным углом двугранного угла α а β.

Линейный угол двугранного угла

Слайд 10

а α β О А В Так как ОА ⊥ а

а

α

β

О

А

В

Так как ОА ⊥ а ,ОВ ⊥а , то плоскость АОВ

перпендикулярна прямой а .

γ

Это означает , что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости , перпендикулярной его ребру.

Слайд 11

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. 1 Лучи ОА

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

1

Лучи ОА и О1А1

– сонаправлены

Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены

Углы АОВ и А1О1В1 равны,
как углы с сонаправленными сторонами

Теорема : Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Слайд 12

Определение : Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Величина

Определение : Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного

угла (измеренная в градусах ) принадлежит промежутку (0°;180°).
Слайд 13

Алгоритм построения линейного угла А В М D Р С АВМС

Алгоритм построения линейного угла

А

В

М

D

Р

С

АВМС =

Р

Угол Р – линейный угол двугранного угла

АВМС
Слайд 14

Способ построения линейного угла. 1. Найти ( увидеть) ребро и грани

Способ построения линейного угла.

1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного

угла
2. В гранях найти прямые перпендикулярные ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные прямые параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков
Слайд 15

Двугранный угол является острым , прямым или тупым , если его

Двугранный угол является острым , прямым или тупым , если его

линейный угол соответственно острый , прямой или тупой.

острый

Слайд 16

Двугранный угол является острым , прямым или тупым , если его

Двугранный угол является острым , прямым или тупым , если его

линейный угол соответственно острый , прямой или тупой.

прямой

Слайд 17

Двугранный угол является острым , прямым или тупым , если его

Двугранный угол является острым , прямым или тупым , если его

линейный угол соответственно острый , прямой или тупой.

тупой

Слайд 18

Заметим , что аналогично тому , как и на плоскости ,

Заметим , что аналогично тому , как и на плоскости ,

в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы.
Слайд 19

Заметим , что аналогично тому , как и на плоскости ,

Заметим , что аналогично тому , как и на плоскости ,

в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы.

β

β1

а

α

α1

Слайд 20

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. А

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.

А

С

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВMN –

линейный угол двугранного угла ВАСК

К

Слайд 21

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. А

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.

А

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВСN –

линейный угол двугранного угла ВАСК

К

С

Слайд 22

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. А

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.

А

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВSN –

линейный угол двугранного угла ВАСК

К

С

Слайд 23

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник. А В

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – прямоугольник.

А

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВСN – линейный

угол двугранного угла ВDСК

К

С

D

Слайд 24

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С острый.

А

В

П-р

П-я

Угол

ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

К

С

D

Н-я

Слайд 25

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – трапеция, угол С

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – трапеция, угол С острый.

А

В

П-р

П-я

Угол

ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

К

С

D

Н-я

Слайд 26

АС АСР и АСВ прямая СВ перпендикулярна ребру СА ( по

АС

АСР

и АСВ

прямая СВ перпендикулярна ребру СА ( по условию)

В грани

АСВ

В грани АСР

прямая СР перпендикулярна ребру СА
( по теореме о трех перпендикулярах)

угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС

Слайд 27

АС АСР и АСВ В грани АСВ прямая ВО перпендикулярна ребру

АС

АСР

и АСВ

В грани АСВ

прямая ВО перпендикулярна ребру СА
( по свойству

равностороннего треугольника)

В грани АСР

прямая РК перпендикулярна ребру СА
( по теореме о трех перпендикулярах)

Угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ

К

Слайд 28

С А В D M В тетраэдре DАВС все ребра равны,

С

А

В

D

M

В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина

ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD.

№ 167.

Слайд 29

Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка,

Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит

точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

№ 168.

В

d

А

?

Слайд 30

1. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1. Ответ:

1. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями
ABC и CDD1.

Ответ:

Слайд 31

2.В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1. Ответ:

2.В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями
ABC и CDA1.

Ответ:

Слайд 32

3.В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D. Ответ: О

3.В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями
ABC и BC1D.

Ответ:

О

Слайд 33

Определение : Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных

Определение : Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных

углов , образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается равным нулю.