Элементы символической логики

Август 3, 2022

Главная
Математика
Элементы символической логики

Содержание

2. Символическая логика она же символическая формируется в XIX веке, благодаря Готлобу Фреге и Бертрану Расселу состоит
4. Логика высказываний
5. Высказывание мысль, выраженная повествовательным предложением, которая может быть истинной или ложной
6. Формальный аппарат А, В, С…. – пропозициональные переменные (формулы), отражающие независимый факт; ¬ – униарная связка-юнктор;
7. Юнкторы логики высказываний
8. Преобразование конъюнкции в дизъюнкцию (А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В) в импликацию (А ∧ В)
9. Преобразование дизъюнкции в конъюнкцию (А ∨ В) = ¬(¬А ∧ ¬В) в импликацию (А ∨ В)
10. Преобразование импликации в конъюнкцию (А → В) = ¬(А ∧ ¬В) в дизъюнкцию (А → В)
11. Преобразование строгой дизъюнкции в конъюнкцию (А ⊕ В) = (А ∨ В) ∧ (¬А ∨ ¬В)
12. Формулы тождественно-истинные (законы) истинные при всех наборах истинностных значений переменных тождественно-ложные (противоречия) ложные при всех наборах
13. Правило подстановки любую буквенную переменную в символическом выражении можно заменять на произвольную формулу Например, (p ∨
14. Законы символической логики дистрибутивности ассоциативности коммутативности двойственности контрапозиции импортации экспортации транспозиции исключения поглощения выявления
15. Закон ассоциативности (А ∧ (В ∧ С)) = ((А ∧ В) ∧ С) (А ∨ (В
16. Закон дистрибутивности для двух переменных (А ∧ (В ∨ С)) = (А ∧ В) ∨ (А
17. Закон двойственности для конъюнкции и дизъюнкции (А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В) (А ∨ В)
18. Закон контрапозиции (А → В) = (¬А → ¬В) ((А ∧ В) → С) = (¬С
19. Закон транспозиции ((А ∧ В) → С) = ((А ∧ ¬С) → ¬В) Закон исключения (А
20. Закон поглощения (А ∧ (А ∨ В)) = А (А ∨ (А ∧ В)) = А
21. результат реконструкции естественного языка Здесь есть точные правила построения высказываний (формул) и сложных имен (термов) Этот
22. Нелогические символы естественного языка Предикатор Предметные функторы Имя
23. Имена обозначают отдельный объект, бывают простые и сложные. Простые не содержат никакой информации об обозначаемых индивидах
24. Предметные функторы знаки так называемых предметных функций (функциональная константа) Наряду с математическими функциями «синус», «логарифм», «умножение»
25. Предикатор (предикатная константа) - выражение языка (слова и словосочетания), предметными значениями которого являются свойства (одноместные предикаторы)
26. Язык логики предикатов
27. Определение терма 1 любая предметная переменная и предметная константа – термы 2 если F – предметный
28. Пример а – «Аполлон» в – «Венера» f1 – «красавец» g2 – «молодой» f1(a) – Аполлон
29. Определение формулы 1 если Pn – n-местный предикатор, а t1, ..., tn – термы, то выражение
30. Область действия квантора Если формула А имеет вид ∀хВ или ∃хВ, то областью действия квантора ∀
31. Пример «Если целое число больше 13, то его квадрат делится без остатка на 4 или на
32. Некоторые законы логики предикатов 1. Взаимовыразимость кванторов ∀хА ↔ ¬∃х¬А, ∃хА ↔ ¬∀х¬А. 2. Отрицание кванторов
33. Некоторые законы логики предикатов 4. Законы пронесения и вынесения кванторов а) конъюнкция ∀a(А ∧ В) ↔
34. Примеры «Все люди интересуются строением космоса», ∀х(Р1(х) → Q1(х, f(a)) где Р1 – «быть человеком», Q1
35. Исчисление естественного вывода порождение одних формул из других Здесь нет аксиом. Знание не истинное, а доказуемое.
36. Правила вывода
37. Правила вывода
38. Пример «Семён сидит дома или разговаривает по телефону. Если он сидит дома, то он скучает. Он
40. Скачать презентацию

Слайд 2

Символическая логика
она же символическая
формируется в XIX веке,
благодаря Готлобу Фреге и

Бертрану Расселу
состоит в обширном использовании символов для привычных логических форм, которые делают логическое рассуждение более сжатым и наглядным

Слайд 3

Слайд 4

Логика высказываний

Слайд 5

Высказывание
мысль, выраженная повествовательным предложением, которая может быть истинной или ложной

Слайд 6

Формальный аппарат
А, В, С…. – пропозициональные переменные (формулы), отражающие независимый факт;
¬

– униарная связка-юнктор;
∧, ∨ , ⊕… – бинарные связки-юнкторы;
() – технические знаки;
(А ∧ В), (¬ А)…. – формулы.

Слайд 7

Юнкторы логики высказываний

Слайд 8

Преобразование конъюнкции
в дизъюнкцию
(А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В)
в импликацию
(А

∧ В) = ¬(А → ¬В)

Слайд 9

Преобразование дизъюнкции
в конъюнкцию
(А ∨ В) = ¬(¬А ∧ ¬В)
в импликацию
(А

∨ В) = (¬А → В)

Слайд 10

Преобразование импликации
в конъюнкцию
(А → В) = ¬(А ∧ ¬В)
в дизъюнкцию
(А

→ В) = (¬А ∨ В)

Слайд 11

Преобразование строгой дизъюнкции в конъюнкцию
(А ⊕ В) = (А ∨ В) ∧

(¬А ∨ ¬В)

Слайд 12

Формулы
тождественно-истинные (законы)
истинные при всех наборах истинностных значений переменных
тождественно-ложные (противоречия)
ложные при всех

наборах истинностных значений переменных
выполнимые (нейтральные)
то истинные, то ложные при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных

Слайд 13

Правило подстановки
любую буквенную переменную в символическом выражении можно заменять на произвольную

формулу
Например,
(p ∨ ¬p)
p = (a ↔ b)
((a ↔ b) ∨ ¬(a ↔ b))

Слайд 14

Законы символической логики
дистрибутивности
ассоциативности
коммутативности
двойственности
контрапозиции
импортации
экспортации
транспозиции
исключения
поглощения
выявления

Слайд 15

Закон ассоциативности
(А ∧ (В ∧ С)) = ((А ∧ В) ∧

С)
(А ∨ (В ∨ С)) = (А ∨ В) ∨ С)

Закон коммутативности

(А ∧ В) = (В ∧ А)
(А ∨ В) = (В ∨ А)

Слайд 16

Закон дистрибутивности
для двух переменных
(А ∧ (В ∨ С)) = (А ∧

В) ∨ (А ∧ С)
(А ∨ (В ∧ С)) = (А ∨ В) ∧ (А ∨ С)
для большего количества переменных
(А ∨ В) ∧ (С ∨ D) = (А ∧ C) (А ∧ D) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ D)
(А ∧ В) ∨ (C ∧ D) = (А ∨ C) ∧ (А ∨ D) ∧ (B ∨ C) ∧ (B ∨ D)

Слайд 17

Закон двойственности
для конъюнкции и дизъюнкции
(А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В)
(А

∨ В) = ¬(¬А ∧ ¬В)
для эквивалентности и строгой дизъюнкции
(А ↔ В) = ¬(¬ В ⊕ ¬ А)
(А ⊕ В) = ¬(¬ В ↔ ¬ А)

Слайд 18

Закон контрапозиции
(А → В) = (¬А → ¬В)
((А ∧ В) →

С) = (¬С →(¬А ∨¬В))

Закон импортации

(А → (В → С)) = ((А ∧ В) → С)

Закон экспортации

((А ∧ В) → С) = (А → (В → С))

Слайд 19

Закон транспозиции
((А ∧ В) → С) = ((А ∧ ¬С) →

¬В)

Закон исключения

(А ∨ В) ∧ (¬А ∨ В) = В)

Слайд 20

Закон поглощения
(А ∧ (А ∨ В)) = А
(А ∨ (А ∧

В)) = А

Закон выявления

(А ∨ С) ∧ (В ∨ ¬ С) = (А ∨ С) ∧ (В ∨ ¬ С) ∧ (А ∨ В)
(А ∧ С) ∨ (В ∧ ¬ С) = (А ∧ С) ∨ (В ∧ ¬ С) ∨ (А ∧ В)

Слайд 21

результат реконструкции естественного языка
Здесь есть точные правила построения высказываний (формул) и

сложных имен (термов)
Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств

Логика предикатов

Слайд 22

Нелогические символы естественного языка
Предикатор
Предметные функторы
Имя

Слайд 23

Имена
обозначают отдельный объект, бывают простые и сложные.
Простые не содержат никакой

информации об обозначаемых индивидах (имена собственные).
Сложные имена не только обозначают предмет, но и указывают на какие-либо его свойства

Слайд 24

Предметные функторы
знаки так называемых предметных функций (функциональная константа)
Наряду с математическими функциями

«синус», «логарифм», «умножение» и т.п. сюда относятся такие особые характеристики предметов, как скорость, плотность, возраст, пол, профессия, агрегатное состояние, место жительства и др.

Слайд 25

Предикатор
(предикатная константа)
- выражение языка (слова и словосочетания), предметными значениями которого являются

свойства (одноместные предикаторы) или отношения (многоместные предикаторы)

Слайд 26

Язык логики предикатов

Слайд 27

Определение терма
1
любая предметная переменная и предметная константа – термы
2
если F –

предметный функтор, а t1, t2, …, tn –термы, то Fn (t1, t2, …, tn) – это термы
3
термами являются только выражения, которые построены по пунктам 1 и 2

Слайд 28

Пример
а – «Аполлон»
в – «Венера»
f1 – «красавец»
g2 –

«молодой»
f1(a) – Аполлон – красавец.
g2(a,в) – Аполлон и Венера – молоды.
g2(f1(a),в) – Красавец Аполлон и Венера – молоды.
f1(g2(a,в)) – Красавцы, молодые Аполлон и Венера.

Слайд 29

Определение формулы
1
если Pn – n-местный предикатор, а t1, ..., tn –

термы, то выражение Pn(t1, ..., tn) – формула

если А и В – формулы, то ¬А, (А ∧ В), (А ∨ В) (А → В), (А ↔ В) – формулы

если А формула, х – переменная, то ∀х(А) и ∃x(А) – формулы

формулы - только такие выражения, которые построены по пунктам 1 – 3

Слайд 30

Область действия квантора
Если формула А имеет вид ∀хВ или ∃хВ, то

областью действия квантора ∀ или ∃ по переменной х является формула В

Слайд 31

Пример
«Если целое число больше 13, то его квадрат делится без остатка

на 4 или на 5»
∀х((Рх ∧ Q2(х, 13)) → (R(g(х, х), 4) ∨ R (g(х, х), 5)),
где
Р - «быть целым числом»,
Q2 - «больше чем»,
R - «делится на»

Слайд 32

Некоторые законы логики предикатов
1. Взаимовыразимость кванторов
∀хА ↔ ¬∃х¬А,
∃хА ↔ ¬∀х¬А.
2. Отрицание

кванторов
¬∀хА ↔ ∃х¬А,
¬∃хА ↔ ∀х¬А.
3. Перестановка кванторов
∀x∀yА ↔ ∀y∀xА,
∃x∃yА ↔ ∃y∃xА,
∃x∀yА → ∀y∃xА.

Слайд 33

Некоторые законы логики предикатов
4. Законы пронесения и вынесения кванторов
а) конъюнкция
∀a(А ∧

В) ↔ (∀aА ∧ ∀aВ);,
∃a(А ∧ В) → (∃aА ∧ ∃aВ),
б) дизъюнкция
∃a(А ∨ В) ↔ (∃aА ∨ ∃aВ),
(∀aА ∨ ∀aВ) → ∀a(А ∨ В),
в) импликация
∀a(А → В) → (∀aА → ∀aВ),
(∃aА → ∃aВ) → ∃a(А → В).

Слайд 34

Примеры
«Все люди интересуются строением космоса»,
∀х(Р1(х) → Q1(х, f(a))
где Р1 – «быть

человеком», Q1 – «интересоваться», f – «строение …», a – «космос»
«Некоторые звёзды не видны невооружённым глазом, но видны в телескоп»
∃х(Р2(х) ∧ ∀у∀z((Р3(у) ∧ Р4(z)) → (¬Q2(х, y) ∧ Q2(х, z))))
где Р2 – «быть звездой», Р3 – «быть невооружённым органом зрения», Р4 – «быть телескопом», Q2 – «виден с помощью»

Слайд 35

Исчисление естественного вывода
порождение одних формул из других
Здесь нет аксиом. Знание не

истинное, а доказуемое.

Слайд 36

Правила вывода

Слайд 37

Правила вывода

Слайд 38

Пример
«Семён сидит дома или разговаривает по телефону. Если он сидит дома,

то он скучает. Он не разговаривает по телефону. Стало быть, он скучает».

Элементы символической логики

Содержание

Символическая логикаона же символическаяформируется в XIX веке, благодаря Готлобу Фреге и

Логика высказываний

Высказываниемысль, выраженная повествовательным предложением, которая может быть истинной или ложной

Формальный аппаратА, В, С…. – пропозициональные переменные (формулы), отражающие независимый факт;¬

Юнкторы логики высказываний

Преобразование конъюнкции в дизъюнкцию(А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В)в импликацию(А

Преобразование дизъюнкции в конъюнкцию(А ∨ В) = ¬(¬А ∧ ¬В)в импликацию(А

Преобразование импликации в конъюнкцию(А → В) = ¬(А ∧ ¬В)в дизъюнкцию(А

Преобразование строгой дизъюнкции в конъюнкцию(А ⊕ В) = (А ∨ В) ∧

Формулытождественно-истинные (законы)истинные при всех наборах истинностных значений переменныхтождественно-ложные (противоречия)ложные при всех

Правило подстановкилюбую буквенную переменную в символическом выражении можно заменять на произвольную

Закон ассоциативности(А ∧ (В ∧ С)) = ((А ∧ В) ∧

Закон дистрибутивностидля двух переменных(А ∧ (В ∨ С)) = (А ∧

Закон двойственностидля конъюнкции и дизъюнкции(А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В)(А

Закон контрапозиции(А → В) = (¬А → ¬В)((А ∧ В) →

Закон транспозиции((А ∧ В) → С) = ((А ∧ ¬С) →

Закон поглощения(А ∧ (А ∨ В)) = А(А ∨ (А ∧

результат реконструкции естественного языкаЗдесь есть точные правила построения высказываний (формул) и

Нелогические символы естественного языкаПредикаторПредметные функторыИмя

Именаобозначают отдельный объект, бывают простые и сложные. Простые не содержат никакой

Предметные функторызнаки так называемых предметных функций (функциональная константа)Наряду с математическими функциями

Предикатор(предикатная константа)- выражение языка (слова и словосочетания), предметными значениями которого являются

Язык логики предикатов

Определение терма1любая предметная переменная и предметная константа – термы2если F –

Примера – «Аполлон» в – «Венера» f1 – «красавец» g2 –

Определение формулы1если Pn – n-местный предикатор, а t1, ..., tn –

Область действия квантораЕсли формула А имеет вид ∀хВ или ∃хВ, то

Пример«Если целое число больше 13, то его квадрат делится без остатка

Некоторые законы логики предикатов1. Взаимовыразимость кванторов∀хА ↔ ¬∃х¬А,∃хА ↔ ¬∀х¬А.2. Отрицание

Некоторые законы логики предикатов4. Законы пронесения и вынесения кванторов а) конъюнкция∀a(А ∧

Примеры«Все люди интересуются строением космоса»,∀х(Р1(х) → Q1(х, f(a))где Р1 – «быть

Исчисление естественного выводапорождение одних формул из другихЗдесь нет аксиом. Знание не

Правила вывода

Правила вывода

Пример«Семён сидит дома или разговаривает по телефону. Если он сидит дома,

Похожие презентации

Символическая логика
она же символическая
формируется в XIX веке,
благодаря Готлобу Фреге и

Высказывание
мысль, выраженная повествовательным предложением, которая может быть истинной или ложной

Формальный аппарат
А, В, С…. – пропозициональные переменные (формулы), отражающие независимый факт;
¬

Преобразование конъюнкции
в дизъюнкцию
(А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В)
в импликацию
(А

Преобразование дизъюнкции
в конъюнкцию
(А ∨ В) = ¬(¬А ∧ ¬В)
в импликацию
(А

Преобразование импликации
в конъюнкцию
(А → В) = ¬(А ∧ ¬В)
в дизъюнкцию
(А

Преобразование строгой дизъюнкции в конъюнкцию
(А ⊕ В) = (А ∨ В) ∧

Формулы
тождественно-истинные (законы)
истинные при всех наборах истинностных значений переменных
тождественно-ложные (противоречия)
ложные при всех

Правило подстановки
любую буквенную переменную в символическом выражении можно заменять на произвольную

Закон ассоциативности
(А ∧ (В ∧ С)) = ((А ∧ В) ∧

Закон дистрибутивности
для двух переменных
(А ∧ (В ∨ С)) = (А ∧

Закон двойственности
для конъюнкции и дизъюнкции
(А ∧ В) = ¬(¬А ∨ ¬В)
(А

Закон контрапозиции
(А → В) = (¬А → ¬В)
((А ∧ В) →

Закон транспозиции
((А ∧ В) → С) = ((А ∧ ¬С) →

Закон поглощения
(А ∧ (А ∨ В)) = А
(А ∨ (А ∧

результат реконструкции естественного языка
Здесь есть точные правила построения высказываний (формул) и

Нелогические символы естественного языка
Предикатор
Предметные функторы
Имя

Имена
обозначают отдельный объект, бывают простые и сложные.
Простые не содержат никакой

Предметные функторы
знаки так называемых предметных функций (функциональная константа)
Наряду с математическими функциями

Предикатор
(предикатная константа)
- выражение языка (слова и словосочетания), предметными значениями которого являются

Определение терма
1
любая предметная переменная и предметная константа – термы
2
если F –

Пример
а – «Аполлон»
в – «Венера»
f1 – «красавец»
g2 –

Определение формулы
1
если Pn – n-местный предикатор, а t1, ..., tn –

Область действия квантора
Если формула А имеет вид ∀хВ или ∃хВ, то

Пример
«Если целое число больше 13, то его квадрат делится без остатка

Некоторые законы логики предикатов
1. Взаимовыразимость кванторов
∀хА ↔ ¬∃х¬А,
∃хА ↔ ¬∀х¬А.
2. Отрицание

Некоторые законы логики предикатов
4. Законы пронесения и вынесения кванторов
а) конъюнкция
∀a(А ∧

Примеры
«Все люди интересуются строением космоса»,
∀х(Р1(х) → Q1(х, f(a))
где Р1 – «быть

Исчисление естественного вывода
порождение одних формул из других
Здесь нет аксиом. Знание не

Пример
«Семён сидит дома или разговаривает по телефону. Если он сидит дома,